2007-08.cours.chapitre-2.EVN.mdr2016-11-07 09

EFREI 2007-2008
Chapitre 02 :
Espaces vectoriels normés
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1 Espaces vectoriels normés
Soit Eun R-espace vectoriel.
Définition 1.1 — On appelle norme sur Etoute application Nde Edans R+vérifiant les trois conditions suivantes :
1. N(u)=0 ⇒u=0(axiome de séparation) ;
2. ∀λ∈R,∀u∈E, N(λu)=|λ|N(u)(axiome d’homogénéité) ;
3. ∀(u, v)∈E2,N(u+v)≤N(u)+N(v)(inégalité triangulaire ou de Minkowski).
Notation : On note N=k·k, c’est-à-dire pour tout x∈EN(x)=kxk.
Définition 1.2 — Lorsque Eest un espace vectoriel muni d’une norme N, le couple (E, N)s’appelle un espace vectoriel normé.
Proposition 1.1 — Sur l’espace R2, les applications N2et N∞définies ci après sont des normes :
N2(x, y)=px2+y2,N
∞(x, y) = sup (|x|,|y|).
Démonstration —
N2est la norme euclidienne associée au produit scalaire usuel sur R2.
Il est clair que N∞vérifie les axiomes de séparation et d’homogénéité. Vérifions maintenant l’inégalité triangulaire :
N∞((x1,y
1)+(x2,y 2)) = N∞(x1+x2,y 1+y2)=sup(|x1+x2|,|y1+y2|). Or, d’après l’inégalité triangulaire :
|x1+x2|≤|x1|+|x2|≤sup (|x1|,|y1|) + sup (|x2|,|y2|)=N∞(x1,y
1)+N∞(x2,y 2)et de même
|y1+y2|≤N∞(x1,y
1)+N∞(x2,y 2). On en déduit N∞((x1,y 1)+(x2,y 2)) ≤N∞(x1,y 1)+N∞(x2,y 2), ce qui est
l’inégalité triangulaire pour N∞. En conclusion, N∞est aussi une norme sur R2.
– Remarque –
1. On remarque que N2(x)=p(x|x),où(·|·)est le produit scalaire usuel sur R2;N2est une norme euclidienne
sur R2. De façon plus générale, tout produit scalaire (·|·)définit une norme k·ken posant kxk=p(x|x)(grâce à
l’inégalité de Cauchy-Schwarz). Une norme provenant d’un produit scalaire est appelée norme euclidienne.
2. À partir d’une norme euclidienne, on retrouve le produit scalaire dont elle est issue à l’aide d’une des identités
de polarisation :(x|y)=1
2kx+yk2−kxk2−kyk2et (x|y)=1 4kx+yk2−kx−yk2.
Proposition 1.2 — Identité du parallélogramme
Soit Eun R-ev muni d’un produit scalaire et soit k·kla norme euclidienne associée. Pour tous (x, y)∈E2:
kx+yk2+kx−yk2=2kxk2+kyk2.
– Remarque –
L’interprétation géométrique de l’identité du parallélogramme est : « dans un parallélogramme la somme des carrés
des longueurs des côtés est égale à la somme des carrés des longueurs des diagonales ».
– Remarque –
Attention, il existe des normes non euclidiennes, c’est-à-dire ne provenant pas d’un produit scalaire. Ainsi N∞est
une norme non euclidienne sur R2. En effet, N∞ne vérifie pas l’identité du parallélogramme : 2=N(e1+e2)2+
N(e1−e2)26=2N(e1)2+N(e2)2=4.
Définition 1.3 — Soit Net N0deux normes sur un espace vectoriel E. On dit que Net N0sont équivalentes lorsque :
∃(α, β)∈R∗
+2,αN≤N0≤βN.
Proposition 1.3 — Les normes N2et N∞sur R2sont équivalentes ; plus précisément :
N∞≤N2≤√2N∞.
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Démonstration —
Soit (x, y)∈R2.
N∞(x, y)2= (sup(|x|,|y|))2= sup x2,y
2≤x2+y2=N2(x, y)2, ce qui démontre la première inégalité.
Par ailleurs N2(x, y)2=x2+y2≤2 (sup(|x|,|y|))2=2N∞(x, y)2, ce qui démontre la deuxième inégalité. 
Théorème 1.1 —
Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
2 Espaces métriques
Soit (E,k·k)un R-espace vectoriel normé.
Définition 2.1 — On appelle distance associée à la norme k·kl’application dde E×Edans Rdéfinie par : ∀(x, y)∈E2,
d(x, y)=kx−yk.
Ainsi définie, l’application dvérifie les quatre propriétés suivantes :
Proposition 2.1 —
1. ∀(x, y)∈E2,d(x, y)≥0;
2. ∀(x, y)∈E2,d(x, y)=0⇐⇒ x=y;
3. ∀(x, y)∈E2,d(x, y)=d(y, x);
4. ∀(x, y, z)∈E3,d(x, z)≤d(x, y)+d(y, z)(inégalité triangulaire).
– Remarque – kxk=kx+y−yk≤kx+yk+kyket de même kyk≤kx+yk+kxkd’où |kxk−kyk| ≤ kx+yk.
En termes de distance : |d(x, y)−d(y, z)|≤d(x, z).
– Remarque – Un ensemble Emuni d’une application d:E×E→Rvérifiant les quatre propriétés de la
proposition ci-dessus est appelé espace métrique. L’application dest appelée distance.
En particulier, tout espace vectoriel normé est un espace métrique.
En revanche, il existe des espaces métriques qui ne sont pas des espaces vectoriels et des distances qui ne proviennent
pas de normes.
Exemple 2.1 – La distance associée à la norme euclidienne est appelée distance euclidienne.
3 Espace Rn(n=2ou 3), notions topologiques
Soit (E,N =k·k)un espace vectoriel normé de dimension finie. Soit a∈Eet r∈R+.
Définition 3.1 —
1. On appelle boule fermée de centre aet de rayon rde El’ensemble B(a, r)={u∈E;ku−ak≤r}(orange avec
son écorce). Lorsque r=1et a=0, on parle de boule unité fermée.
2. On appelle boule ouverte de centre aet de rayon rde El’ensemble B(a, r)={u∈E;ku−ak<r}(orange sans
son écorce). Lorsque r=1et a=0, on parle de boule unité ouverte.
3. On appelle sphère de centre aet de rayon rde El’ensemble S(a, r)={u∈E;ku−ak=r}(écorce de l’orange).
Lorsque r=1et a=0, on parle de sphère unité.
– Remarque –
1. B(a, r)=B(a, r)∪S(a, r);
2. B(a, r)(resp. B(a, r), resp. S(a, r)) est la translatée de B(0,r)(resp. B(0,r), resp. S(0,r)) par la translation de
vecteur a.
3. B(a, r)(resp. B(a, r), resp. S(a, r)) est l’homothétique de B(a, 1) (resp. B(a, 1), resp. S(a, 1)) par l’homothétie
de centre aet de rapport r.
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4. Ces ensembles dépendent de la norme considérée sur Eet ne sont pas nécessairement des « boules » au sens
géométrique usuel du terme.
Exemples 3.1 –
On donne ci-dessous les représentations des boules unités fermées de R2pour les normes N1,N2et N∞,où
N1:(x, y)7→ |x|+|y|. Les identifier !
Définition 3.2 — Soit (E,k·k)un e.v.n.
1. Une partie Ωde Eest un ouvert de Esi : ∀u∈Ω,∃ρ>0,B(u, ρ)⊂Ω.
2. Une partie Ωde Eest un fermé de Esi c’est le complémentaire d’un ouvert.
Exemples 3.2 –
1. Sont ouverts : E,∅, toute boule ouverte (ouf !) et en particulier les intervalles ouverts ]a, b[⊂R, la réunion d’une
famille quelconque d’ouverts, l’intersection d’une famille finie d’ouverts.
2. Sont fermés : E,∅, toute boule fermée (re-ouf !) et en particulier les intervalles fermés [a, b]⊂R, la réunion d’une
famille finie de fermés, l’intersection d’une famille quelconque de fermés, les singletons {x}.
Proposition 3.1 —
Un sous-ensemble Fde Eest fermé si et seulement si les suites d’éléments de Fqui convergent le font dans F.
Exemples 3.3 –
1. X=1
n;n∈N∗n’est pas fermé dans Rcar la limite 0de la suite de terme général 1 nn’est pas dans X.Par
contre Y=1
n;n∈N∗∪{0}est fermé dans R.
2. X=1
n;n∈N∗n’est pas ouvert dans Rcar pour u=1 1∈Xil n’existe aucune boule de rayon strictement
positif incluse dans X.
Proposition 3.2 —
Soit Net N0deux normes équivalentes sur un ev Eet Ωune partie de E.SiΩest un ouvert pour (E, N), alors
Ωest un ouvert pour (E, N0).
– Remarque –
1. B(a, r)n’est pas un ouvert car si on prend u∈S(a, r), aucune boule centrée en an’est incluse dans B(a, r).
2. Les pavés ouverts ]a, b[×]c, d[sont des ouverts de R2au sens de la norme infinie, mais donc aussi au sens de
toute norme sur R2, car elles sont équivalentes.
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