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EFREI
2007-2008
Chapitre 02 :
Espaces vectoriels normés
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Espaces vectoriels normés
Soit E un R-espace vectoriel.
Définition 1.1 — On appelle norme sur E toute application N de E dans R+ vérifiant les trois conditions suivantes :
1. N (u) = 0 ⇒ u = 0 (axiome de séparation) ;
2. ∀λ ∈ R, ∀u ∈ E, N (λu) = |λ|N (u) (axiome d’homogénéité) ;
3. ∀(u, v) ∈ E 2 , N (u + v) ≤ N (u) + N (v) (inégalité triangulaire ou de Minkowski).
Notation : On note N = k · k, c’est-à-dire pour tout x ∈ E N (x) = kxk.
Définition 1.2 — Lorsque E est un espace vectoriel muni d’une norme N , le couple (E, N ) s’appelle un espace vectoriel normé.
Proposition 1.1 — Sur l’espace R2 , les applications N2 et N∞ définies ci après sont des normes :
N2 (x, y) =
p
x2 + y 2 ,
N∞ (x, y) = sup (|x|, |y|) .
Démonstration —
N2 est la norme euclidienne associée au produit scalaire usuel sur R2 .
Il est clair que N∞ vérifie les axiomes de séparation et d’homogénéité. Vérifions maintenant l’inégalité triangulaire :
N∞ ((x1 , y1 ) + (x2 , y2 )) = N∞ (x1 + x2 , y1 + y2 ) = sup (|x1 + x2 |, |y1 + y2 |). Or, d’après l’inégalité triangulaire :
|x1 + x2 | ≤ |x1 | + |x2 | ≤ sup (|x1 |, |y1 |) + sup (|x2 |, |y2 |) = N∞ (x1 , y1 ) + N∞ (x2 , y2 ) et de même
|y1 + y2 | ≤ N∞ (x1 , y1 ) + N∞ (x2 , y2 ). On en déduit N∞ ((x1 , y1 ) + (x2 , y2 )) ≤ N∞ (x1 , y1 ) + N∞ (x2 , y2 ), ce qui est
l’inégalité triangulaire pour N∞ . En conclusion, N∞ est aussi une norme sur R2 . – Remarque –
p
1. On remarque que N2 (x) = (x|x), où ( · | · ) est le produit scalaire usuel sur R2 ; N2 est une norme euclidienne
p
sur R2 . De façon plus générale, tout produit scalaire ( · | · ) définit une norme k · k en posant kxk = (x|x) (grâce à
l’inégalité de Cauchy-Schwarz). Une norme provenant d’un produit scalaire est appelée norme euclidienne.
2. À partir d’une norme euclidienne, on retrouve le produit scalaire dont elle est issue à l’aide d’une des identités
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1
de polarisation : (x|y) =
kx + yk2 − kxk2 − kyk2 et (x|y) =
kx + yk2 − kx − yk2 .
2
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Proposition 1.2 — Identité du parallélogramme
Soit E un R-ev muni d’un produit scalaire et soit k · k la norme euclidienne associée. Pour tous (x, y) ∈ E 2 :
2
2
2
2
kx + yk + kx − yk = 2 kxk + kyk .
– Remarque –
L’interprétation géométrique de l’identité du parallélogramme est : « dans un parallélogramme la somme des carrés
des longueurs des côtés est égale à la somme des carrés des longueurs des diagonales ».
– Remarque –
Attention, il existe des normes non euclidiennes, c’est-à-dire ne provenant pas d’un produit scalaire. Ainsi N∞ est
une norme non euclidienne sur R2 . En effet, N∞ ne vérifie pas l’identité du parallélogramme : 2 = N (e1 + e2 )2 +
N (e1 − e2 )2 6= 2 N (e1 )2 + N (e2 )2 = 4.
Définition 1.3 — Soit N et N 0 deux normes sur un espace vectoriel E. On dit que N et N 0 sont équivalentes lorsque :
2
∃(α, β) ∈ R∗+ ,
αN ≤ N 0 ≤ βN.
Proposition 1.3 — Les normes N2 et N∞ sur R2 sont équivalentes ; plus précisément :
√
N∞ ≤ N2 ≤
2
2N∞ .
Démonstration —
Soit (x, y) ∈ R2 .
N∞ (x, y)2 = (sup(|x|, |y|))2 = sup x2 , y 2 ≤ x2 + y 2 = N2 (x, y)2 , ce qui démontre la première inégalité.
2
Par ailleurs N2 (x, y)2 = x2 + y 2 ≤ 2 (sup(|x|, |y|)) = 2N∞ (x, y)2 , ce qui démontre la deuxième inégalité. Théorème 1.1 —
Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
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Espaces métriques
Soit (E, k · k) un R-espace vectoriel normé.
Définition 2.1 — On appelle distance associée à la norme k · k l’application d de E ×E dans R définie par : ∀(x, y) ∈ E 2 ,
d(x, y) = kx − yk.
Ainsi définie, l’application d vérifie les quatre propriétés suivantes :
Proposition 2.1 —
1. ∀(x, y) ∈ E 2 , d(x, y) ≥ 0 ;
2. ∀(x, y) ∈ E 2 , d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ;
3. ∀(x, y) ∈ E 2 , d(x, y) = d(y, x) ;
4. ∀(x, y, z) ∈ E 3 , d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire).
– Remarque – kxk = kx + y − yk ≤ kx + yk + kyk et de même kyk ≤ kx + yk + kxk d’où |kxk − kyk| ≤ kx + yk.
En termes de distance : |d(x, y) − d(y, z)| ≤ d(x, z).
– Remarque – Un ensemble E muni d’une application d : E × E → R vérifiant les quatre propriétés de la
proposition ci-dessus est appelé espace métrique. L’application d est appelée distance.
En particulier, tout espace vectoriel normé est un espace métrique.
En revanche, il existe des espaces métriques qui ne sont pas des espaces vectoriels et des distances qui ne proviennent
pas de normes.
Exemple 2.1 – La distance associée à la norme euclidienne est appelée distance euclidienne.
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Espace Rn (n = 2 ou 3), notions topologiques
Soit (E, N = k · k) un espace vectoriel normé de dimension finie. Soit a ∈ E et r ∈ R+ .
Définition 3.1 —
1. On appelle boule fermée de centre a et de rayon r de E l’ensemble
B(a, r) = {u ∈ E; ku − ak ≤ r} (orange avec
son écorce). Lorsque r = 1 et a = 0, on parle de boule unité fermée.
2. On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r de E l’ensemble
B(a, r) = {u ∈ E; ku − ak < r} (orange sans
son écorce). Lorsque r = 1 et a = 0, on parle de boule unité ouverte.
3. On appelle sphère de centre a et de rayon r de E l’ensemble S(a, r) = {u ∈ E; ku − ak = r} (écorce de l’orange).
Lorsque r = 1 et a = 0, on parle de sphère unité.
– Remarque –
1. B(a, r) = B(a, r) ∪ S(a, r) ;
2. B(a, r) (resp. B(a, r), resp. S(a, r)) est la translatée de B(0, r) (resp. B(0, r), resp. S(0, r)) par la translation de
vecteur a.
3. B(a, r) (resp. B(a, r), resp. S(a, r)) est l’homothétique de B(a, 1) (resp. B(a, 1), resp. S(a, 1)) par l’homothétie
de centre a et de rapport r.
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4. Ces ensembles dépendent de la norme considérée sur E et ne sont pas nécessairement des « boules » au sens
géométrique usuel du terme.
Exemples 3.1 –
On donne ci-dessous les représentations des boules unités fermées de R2 pour les normes N1 , N2 et N∞ , où
N1 : (x, y) 7→ |x| + |y|. Les identifier !
Définition 3.2 — Soit (E, k · k) un e.v.n.
1. Une partie Ω de E est un ouvert de E si :
∀u ∈ Ω, ∃ρ > 0, B(u, ρ) ⊂ Ω.
2. Une partie Ω de E est un fermé de E si c’est le complémentaire d’un ouvert.
Exemples 3.2 –
1. Sont ouverts : E, ∅, toute boule ouverte (ouf !) et en particulier les intervalles ouverts ]a, b[⊂ R, la réunion d’une
famille quelconque d’ouverts, l’intersection d’une famille finie d’ouverts.
2. Sont fermés : E, ∅, toute boule fermée (re-ouf !) et en particulier les intervalles fermés [a, b] ⊂ R, la réunion d’une
famille finie de fermés, l’intersection d’une famille quelconque de fermés, les singletons {x}.
Proposition 3.1 —
Un sous-ensemble F de E est fermé si et seulement si les suites d’éléments de F qui convergent le font dans F .
Exemples3.3 –
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∗
n’est pas fermé dans R car la limite 0 de la suite de terme général n’est pas dans X. Par
;n∈N
1. X =
n n
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∗
; n ∈ N ∪ {0} est fermé dans R.
contre Y =
n
1
1
∗
2. X =
n’est pas ouvert dans R car pour u = ∈ X il n’existe aucune boule de rayon strictement
;n∈N
n
1
positif incluse dans X.
Proposition 3.2 —
Soit N et N 0 deux normes équivalentes sur un ev E et Ω une partie de E. Si Ω est un ouvert pour (E, N ), alors
Ω est un ouvert pour (E, N 0 ).
– Remarque –
1. B(a, r) n’est pas un ouvert car si on prend u ∈ S(a, r), aucune boule centrée en a n’est incluse dans B(a, r).
2. Les pavés ouverts ]a, b[×]c, d[ sont des ouverts de R2 au sens de la norme infinie, mais donc aussi au sens de
toute norme sur R2 , car elles sont équivalentes.
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