208 – Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues

208 – Espaces vectoriels normés, applications
linéaires continues. Exemples.
Remarque. Tout espace vectoriel est normable ! On peut prendre par exemple
kxk:= sup |xi|où x=Pxieiavec (ei)i∈Iune base algébrique.
Question.
Soit B⊂Rn. Montrer que Best la boule unité d’une norme si et seulement si
Best convexe, compacte, symétrique et ˚ B6=∅.
Réponse.
⇒: Si Best la boule unité d’une norme, alors Best compacte car Rnest de di-
mension finie, convexe par inégalité triangulaire, symétrique par homogénéité
et d’intérieur non vide car contenant la boule unité ouverte.
⇐: On pose kxk:= inf{λ∈R+|x
λ∈B}la jauge de B.
k·k est définie car ˚ B6=∅donc contient une boule et Best symétrique et
convexe donc Bcontient une boule ouverte centrée en 0(faire un dessin) donc
{λ∈R|x∈λB} 6=∅. Par ailleurs, {λ∈R+|x
λ∈B}= [kxk,+∞[. En effet,
si (λn)est une suite convergeant vers kxktelle que x
λn∈B, alors x kxk∈Bcar
Best fermée et si λ≥ kxk, alors x
λ=kxk λ
x
kxk+(1−kxk λ)×0∈Bpar convexité
de B. Ceci montre en particulier que kxk ≤ 1si et seulement si x∈B.
L’homogénéité se vérifie immédiatement grâce au caractère symétrique.
Si kxk= 0, il existe (λn)n∈Nconvergeant vers 0 telle que x
λn∈Bet Best
bornée donc x= 0.
Finalement, x
kxk∈Bet y kyk∈Bdonc pour tout t∈[0,1], t x kxk+(1−t)y kyk∈B.
En particulier, en posant t:= kxk
kxk+kyk, on a x+y kxk+kyk∈B, donc kx+yk ≤
kxk+kyk.
Question.
Soit Eun espace de Banach. Montrer que GL(E)est ouvert dans Lc(E).
1

Réponse.
Soit u∈GL(E)et v∈ Lc(E). Alors u+v=u(1+u−1v), donc si kvk<1
ku−1k,
alors u+vest inversible et (u+v)−1=P(u−1v)nu−1.
Question.
Donner un exemple d’espace seulement préhilbertien.
Réponse.
On peut prendre par exemple l’espace des suites complexes nulles à partir
d’un certain rang, qui est un sous-espace de l2non fermé donc non complet.
Question.
Montrer qu’un hyperplan d’un espace vectoriel normé est soit dense soit fermé.
Réponse.
Soit Hun hyperplan, alors il existe une forme linéaire ftelle que H= ker f.
Si fest continue, Hest fermé. Par ailleurs, ¯ Hest un espace vectoriel, ce qui
répond à la question.
Question.
Soit (Tn)n∈Nune suite d’opérateurs sur un espace de Banach telle que sup kTnk<∞
et Tn(x)−→ T(x)pour tout xavec Tun opérateur. A-t’on kTn−Tk −→ 0?
Réponse.
Non : on définit
Tn:l2(N)−→ l2(N)
(up)7−→ (ap)
avec ap=upsi p≤net ap= 0 si p>n.
Alors pour tout x, Tn(x)−→ xet kTn−Ik= 1.
Question.
Est-ce qu’une suite qui est de Cauchy pour une métrique l’est aussi pour toute
métrique topologiquement équivalente ?
2

Réponse.
Non : soit un:= net d(x, y) := |arctan x−arctan y|, alors (un)est de
Cauchy pour dmais pas pour |·| alors que ces métriques sont topologiquement
équivalentes.
Question.
Donner un exemple de forme linéaire non continue sur un espace de Banach.
Réponse.
Soit Eun espace de Banach de dimension infinie, (ei)i∈Iune base algébrique
de Eet (xn)n∈N⊂(ei)i∈Itelle que pour tout n,kxnk= 1.
On définit la forme linéaire Tpar T(xn) = net T(ei)=0pour ei/∈(xn), elle
n’est pas continue.
Question.
Montrer que si R|f|= 0, alors f= 0 presque partout.
Réponse.
On a
[
n∈N∗
{|f| ≥ 1
n}={|f|>0}.
Si fn’est pas nulle presque partout, alors µ({|f|>0})>0donc il existe n
tel que µ({|f| ≥ 1
n})>0et alors
Z|f| ≥ Z|f|≥ 1
n
|f| ≥ 1
nµ({|f| ≥ 1 n})>0.
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