TD n˚5 : Variables aléatoires à densité

Probabilités élémentaires – HLMA 311
TD n˚5 : Variables aléatoires à densité
Exercice 1. (*) Soit X = (X1 , X2 ) une variable aléatoire de loi uniforme sur S = [−1, 1] × [−1, 1].
1. Quelle est la probabilité pour que les coordonnées de X diffèrent d’au moins 1 ?
2. Soit C le cercle unitaire, de centre (0, 0) et de rayon 1. Calculer P(X ∈ C).
3. Soit Cr le cercle de centre (0, 0) et de rayon r. Déterminer r tel que P(X ∈ Cr ) = 1/2.
Exercice 2. (*) On donne les valeurs suivantes de la fonction de répartition de la loi normale
N (0, 1).
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
F (t) 0.5
0.54 0.579 0.618 0.655 0.691 0.726 0.758 0.788 0.816 0.841
t
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3.1
F (t) 0.864 0.885 0.903 0.919 0.933 0.96 0.977 0.988 0.994 0.997 0.999
Soit X une variable aléatoire de loi normale N (0, 1). Calculer : P(0.3 ≤ X ≤ 0.9), P(−0.9 ≤ X ≤
−0.3), P(−0.3 ≤ X ≤ 0.9), P(−0.9 ≤ X ≤ 0.3), P(X ∈
/ [1, 2]), P(|X| > 2.25) et P(|X| < 1).
Exercice 3. (*) Soit X une variable aléatoire de loi normale N (6, 4). Calculer : P(X ≤ 8), P(3 ≤
X ≤ 10) et P(|X − 6| ≤ 1).
Exercice 4. (*) Loi triangulaire et indépendance
Soit deux réels a > 0 et α > 0. Soit f la fonction définie sur R+ par, pour tout x ∈ R+ ,
f (x) = α x11[0,a/2[ (x) + (a − x)11[a/2,a[ (x) .
1. Calculer la constante α pour que f soit une densité de probabilité.
2. Soit X une variable aléatoire de densité f et un réel b ∈]0, a2 [ ; calculer les probabilités P X >
a
a
a
et
P
−
b
<
X
≤
+
b
.
2
2
2
3. Démontrer que, pour tout b ∈]0, a2 [, les événements A = X > a2 et B = a2 −b < X ≤ a2 +b
sont indépendants.
Exercice 5. (**) Loi exponentielle et temps d’arrivée
La date d’arrivée T du premier client après l’ouverture d’un guichet est une variable aléatoire définie
sur un espace probabilisé (Ω, A, P),de loi exponentielle de paramètre p > 0.
1. Calculer la probabilité P T > p1 ?
2. On fixe > 0. On considère, pour k ∈ N∗ , les tranches horaires [(k − 1), k[ et les événements
Ak = {T ∈ [(k − 1), k[}, correspondant à la propriété "le client arrive dans l’intervalle de
temps [(k − 1), k[". Calculer P(Ak ).
3. Soit X la variable aléatoire à valeurs dans N définie par : pour tout ω ∈ Ω,
X(ω) = k ⇔ ω ∈ Ak .
Quelle est la loi de la variable aléatoire X ?
4. Calculer, pour tout t > 0 et pour tout h > 0, la probabilité P(T > t) et la probabilité
conditionnelle P(T > t + h|T > t).
Exercice 6. (**) Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0, 1].
Quelle est la loi de Z = X + Y ?
Exercice 7. (**) Soit X une variable aléatoire réelle. Calculer sa moyenne et sa variance dans le
cas où sa loi est successivement la loi uniforme sur [a, b], la loi exponentielle de paramètre p > 0, la
loi du chi-deux à n degrés de liberté et la loi de Cauchy.
1
Exercice 8. (**) Soit T une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre p > 0.
1. On pose Y = bT c, la partie entière de T . Quelle est la loi de Y ?
2. Soit Un = min(T1 , · · · , Tn ), où n ∈ N∗ et T1 , · · · , Tn sont des variables indépendantes distribuées comme T . Déterminer la loi de Un , en déduire son espérance et sa variance.
Exercice 9. (**) Soit X = (X1 , X2 ) une variable aléatoire de loi uniforme sur S = [−1, 1] × [−1, 1].
1. Démontrer que X1 et X2 sont indépendantes.
2. Calculer la fonction de répartition de Y = X1 + X2 , puis en déduire la densité de Y .
3. Même question pour Z = X1 − X2 .
Exercice 10. (***) Soit X une variable aléatoire réelle de densité f continue, et de fonction de
répartition F . Soit Y = X 2 .
1. Démontrer que Y admet une densité fY et l’exprimer à l’aide de f et F . Expliciter ce résultat
dans le cas où X ∼ N (0, 1).
2. Si X1 et X2 sont deux variables indépendantes de loi N (0, 1), donner la densité de Z = X12 +X22 .
√
3. Même question pour T = Z.
Exercice 11. (**) Soit X une variable aléatoire de loi N (0, 1). Vérifier que, pour tout t ∈ R, la
variable aléatoire exp(tX) admet une moyenne et la calculer.
Exercice 12. (**) Soit X = (X1 , X2 ) une variable aléatoire de loi uniforme sur le disque D(O, 1).
Vérifier que les variables aléatoires X1 et X2 ne sont pas indépendantes. Calculer cov(X1 , X2 ).
Exercice 13. (*) L’espérance du poids des porcs d’un élevage est de 150 kg et l’écart-type de 15
kg. On suppose que ces poids sont distribués selon une loi normale. Si on choisit au hasard un lot
de 500 porcs, combien (en moyenne) vont peser entre 135 et 180 kg ?
Exercice 14. (**) Soit X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes de densités respectives
fX et fY . On pose U = min(X, Y ) et V = max(X, Y ). Calculer la fonction de répartition de U puis
sa densité. Idem pour V .
Exercice 15. (**) On considère un système constitué de n composants. On suppose que les durées de vie des composants sont des variables exponentielles T1 , · · · , Tn de paramètres respectifs
λ1 , · · · , λn > 0 et qu’elles sont indépendantes.
1. On suppose que le système est en parallèle i.e. qu’il fonctionne lorsqu’un au moins des composants fonctionne. Exprimer sa durée de vie T en fonction des Ti . Déterminer la fonction de
répartition de T et en déduire sa loi.
2. Même question dans le cas où le système est en série i.e. où il fonctionne seulement lorsque
tous les composants fonctionnent.
Exercice 16. (**) Soit X une variable qui suit la loi de Cauchy de paramètres x0 = 0 et a > 0.
Quelle est la loi de Y = 1/X ?
Exercice 17. (***) On coupe un bâton de longueur 1 au hasard en trois morceaux : les abscisses
U et V des découpes sont supposées indépendantes et uniformément réparties sur [0, 1]. On veut
calculer la probabilité p pour que l’on puisse faire un triangle avec les trois morceaux (on peut faire
un triangle avec trois segments de longueur l1 , l2 et l3 si et seulement si l1 ≤ l2 + l3 , l2 ≤ l1 + l3 et
l3 ≤ l1 + l2 ).
1. Exprimer en fonction de U et V les longueurs respectives L1 , L2 et L3 du morceau le plus à
gauche, du morceau du milieu et du morceau le plus à droite.
2. Montrer que
1
1
1
p = 2P U ≤ V, L1 ≤ , L2 ≤ , L3 ≤
.
2
2
2
3. Calculer p.
2