TD n˚5 : Variables aléatoires à densité

Probabilités élémentaires – HLMA 311
TD n˚5 : Variables aléatoires à densité
Exercice 1. (*) Soit X= (X1, X2)une variable aléatoire de loi uniforme sur S= [−1,1] ×[−1,1].
1. Quelle est la probabilité pour que les coordonnées de Xdiffèrent d’au moins 1?
2. Soit Cle cercle unitaire, de centre (0,0) et de rayon 1. Calculer P(X∈C).
3. Soit Crle cercle de centre (0,0) et de rayon r. Déterminer rtel que P(X∈Cr) = 1/2.
Exercice 2. (*) On donne les valeurs suivantes de la fonction de répartition de la loi normale
N(0,1).
t0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
F(t) 0.5 0.54 0.579 0.618 0.655 0.691 0.726 0.758 0.788 0.816 0.841
t1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3.1
F(t) 0.864 0.885 0.903 0.919 0.933 0.96 0.977 0.988 0.994 0.997 0.999
Soit Xune variable aléatoire de loi normale N(0,1). Calculer : P(0.3≤X≤0.9),P(−0.9≤X≤
−0.3),P(−0.3≤X≤0.9),P(−0.9≤X≤0.3),P(X /∈[1,2]),P(|X|>2.25) et P(|X|<1).
Exercice 3. (*) Soit Xune variable aléatoire de loi normale N(6,4). Calculer : P(X≤8),P(3 ≤
X≤10) et P(|X−6| ≤ 1).
Exercice 4. (*) Loi triangulaire et indépendance
Soit deux réels a > 0et α > 0. Soit fla fonction définie sur R+par, pour tout x∈R+,
f(x) = αx11[0,a/2[(x)+(a−x)11[a/2,a[(x).
1. Calculer la constante αpour que fsoit une densité de probabilité.
2. Soit Xune variable aléatoire de densité fet un réel b∈]0,a
2[; calculer les probabilités PX >
a
2et Pa 2−b<X≤a 2+b.
3. Démontrer que, pour tout b∈]0,a
2[, les événements A=X > a 2et B=a 2−b<X≤a 2+b
sont indépendants.
Exercice 5. (**) Loi exponentielle et temps d’arrivée
La date d’arrivée Tdu premier client après l’ouverture d’un guichet est une variable aléatoire définie
sur un espace probabilisé (Ω,A,P),de loi exponentielle de paramètre p > 0.
1. Calculer la probabilité PT > 1
p?
2. On fixe  > 0. On considère, pour k∈N∗, les tranches horaires [(k−1), k[et les événements
Ak={T∈[(k−1), k[}, correspondant à la propriété "le client arrive dans l’intervalle de
temps [(k−1), k[". Calculer P(Ak).
3. Soit Xla variable aléatoire à valeurs dans Ndéfinie par : pour tout ω∈Ω,
X(ω) = k⇔ω∈Ak.
Quelle est la loi de la variable aléatoire X?
4. Calculer, pour tout t > 0et pour tout h > 0, la probabilité P(T > t)et la probabilité
conditionnelle P(T > t +h|T > t).
Exercice 6. (**) Soit Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0,1].
Quelle est la loi de Z=X+Y?
Exercice 7. (**) Soit Xune variable aléatoire réelle. Calculer sa moyenne et sa variance dans le
cas où sa loi est successivement la loi uniforme sur [a, b], la loi exponentielle de paramètre p > 0, la
loi du chi-deux à ndegrés de liberté et la loi de Cauchy.
1

Exercice 8. (**) Soit Tune variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre p > 0.
1. On pose Y=bTc, la partie entière de T. Quelle est la loi de Y?
2. Soit Un= min(T1,··· , Tn), où n∈N∗et T1,··· , Tnsont des variables indépendantes distri-
buées comme T. Déterminer la loi de Un, en déduire son espérance et sa variance.
Exercice 9. (**) Soit X= (X1, X2)une variable aléatoire de loi uniforme sur S= [−1,1] ×[−1,1].
1. Démontrer que X1et X2sont indépendantes.
2. Calculer la fonction de répartition de Y=X1+X2, puis en déduire la densité de Y.
3. Même question pour Z=X1−X2.
Exercice 10. (***) Soit Xune variable aléatoire réelle de densité fcontinue, et de fonction de
répartition F. Soit Y=X2.
1. Démontrer que Yadmet une densité fYet l’exprimer à l’aide de fet F. Expliciter ce résultat
dans le cas où X∼ N(0,1).
2. Si X1et X2sont deux variables indépendantes de loi N(0,1), donner la densité de Z=X2
1+X2 2.
3. Même question pour T=√Z.
Exercice 11. (**) Soit Xune variable aléatoire de loi N(0,1). Vérifier que, pour tout t∈R, la
variable aléatoire exp(tX)admet une moyenne et la calculer.
Exercice 12. (**) Soit X= (X1, X2)une variable aléatoire de loi uniforme sur le disque D(O, 1).
Vérifier que les variables aléatoires X1et X2ne sont pas indépendantes. Calculer cov(X1, X2).
Exercice 13. (*) L’espérance du poids des porcs d’un élevage est de 150 kg et l’écart-type de 15
kg. On suppose que ces poids sont distribués selon une loi normale. Si on choisit au hasard un lot
de 500 porcs, combien (en moyenne) vont peser entre 135 et 180 kg ?
Exercice 14. (**) Soit Xet Ydeux variables aléatoires réelles indépendantes de densités respectives
fXet fY. On pose U= min(X, Y )et V= max(X, Y ). Calculer la fonction de répartition de Upuis
sa densité. Idem pour V.
Exercice 15. (**) On considère un système constitué de ncomposants. On suppose que les du-
rées de vie des composants sont des variables exponentielles T1,··· , Tnde paramètres respectifs
λ1,··· , λn>0et qu’elles sont indépendantes.
1. On suppose que le système est en parallèle i.e. qu’il fonctionne lorsqu’un au moins des com-
posants fonctionne. Exprimer sa durée de vie Ten fonction des Ti. Déterminer la fonction de
répartition de Tet en déduire sa loi.
2. Même question dans le cas où le système est en série i.e. où il fonctionne seulement lorsque
tous les composants fonctionnent.
Exercice 16. (**) Soit Xune variable qui suit la loi de Cauchy de paramètres x0= 0 et a > 0.
Quelle est la loi de Y= 1/X ?
Exercice 17. (***) On coupe un bâton de longueur 1 au hasard en trois morceaux : les abscisses
Uet Vdes découpes sont supposées indépendantes et uniformément réparties sur [0,1]. On veut
calculer la probabilité ppour que l’on puisse faire un triangle avec les trois morceaux (on peut faire
un triangle avec trois segments de longueur l1,l2et l3si et seulement si l1≤l2+l3,l2≤l1+l3et
l3≤l1+l2).
1. Exprimer en fonction de Uet Vles longueurs respectives L1,L2et L3du morceau le plus à
gauche, du morceau du milieu et du morceau le plus à droite.
2. Montrer que
p= 2PU≤V, L1≤1
2, L2≤1 2, L3≤1 2.
3. Calculer p.
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