Exambis2016 Fichier

HLMA311
Examen 2ème session
Calculatrice et tous documents autorisés. Durée : 2 heures.
Exercice 1. Les quatre questions de l’exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Soit X une variable aléatoire de loi définie par
P(X = 1) = p
P(X = −1) = 1 − p
et
où p est un réel compris entre 0 et 1.
1) Calculer E(X) et V(X). Pour quelles valeurs de p la variance de X est-elle maximale ? Et minimale ?
2) Soit Y une variable aléatoire de loi définie par
P(Y = −1) = p
P(Y = 1) = 1 − p.
et
On suppose que X et Y sont indépendantes et on pose S = X + Y .
a) Quelles sont les valeurs possibles de S ?
b) Quelle est la loi de probabilité de S ?
c) Calculer E(S) et V(S).
3) Soit Z une variable aléatoire qui peut valoir soit 1, soit -1, telle que
P(Z = 1|X = 1) = p
P(Z = −1|X = −1) = 1 − p.
et
a) Calculer P(X = 1, Z = 1) et P(X = −1, Z = −1).
b) Calculer P(X = 1, Z = −1) et P(X = −1, Z = 1).
c) Quelle est la loi de probabilité de Z ?
d) Les variables aléatoires X et Z sont-elles indépendantes ?
4) On suppose maintenant que P(X = 1) = 2/5 et P(X = −1) = 3/5. On considère une variable
aléatoire W qui peut valoir soit 1, soit -1, telle que
P(X = 1, W = −1) = P(X = −1, W = 1) = P(X = −1, W = −1).
a) Donner la loi du couple (X, W ) dans un tableau à double entrée.
b) Les variables aléatoires X et W sont-elles indépendantes ?
c) Calculer P(W = 1|X = 1).
d) Calculer cov(X, W ).
Exercice 2. On suppose que le nombre de personnes se présentant à un bureau de poste en 15 mn
est une variable aléatoire X de loi binomiale B(2, 1/2). La probabilité pour qu’une personne donnée
retire un mandat est de 2/5. Notons Y le nombre de personnes ayant retiré un mandat pendant 15
mn.
1) Donner les valeurs possibles de X et les probabilités associées.
2) Calculer la loi du couple (X, Y ).
3) En déduire la loi de Y .
Exercice 3. L’objectif de cet exercice est de retrouver le résultat
+∞ 2i
X
λ
i=0
2i!
=
eλ + e−λ
2
(1)
en utilisant la théorie des probabilités. Soit X une variable qui suit une loi de Poisson de paramètre
λ > 0. On pose Y = (−1)X .
1) Quelles sont les valeurs possibles de Y ?
2) En utilisant la fonction génératrice de X (cf chapitre 3 du cours), calculer E(Y ) puis V(Y ).
3) En déduire la fonction de masse de Y et retrouver le résultat (1) .
1