Exambis2016 Fichier

HLMA311
Examen 2ème session
Calculatrice et tous documents autorisés. Durée : 2 heures.
Exercice 1. Les quatre questions de l’exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Soit Xune variable aléatoire de loi définie par
P(X= 1) = pet P(X=−1) = 1 −p
où pest un réel compris entre 0 et 1.
1) Calculer E(X)et V(X). Pour quelles valeurs de pla variance de Xest-elle maximale ? Et mini-
male ?
2) Soit Yune variable aléatoire de loi définie par
P(Y=−1) = pet P(Y= 1) = 1 −p.
On suppose que X et Y sont indépendantes et on pose S=X+Y.
a) Quelles sont les valeurs possibles de S?
b) Quelle est la loi de probabilité de S?
c) Calculer E(S)et V(S).
3) Soit Zune variable aléatoire qui peut valoir soit 1, soit -1, telle que
P(Z= 1|X= 1) = pet P(Z=−1|X=−1) = 1 −p.
a) Calculer P(X= 1, Z = 1) et P(X=−1, Z =−1).
b) Calculer P(X= 1, Z =−1) et P(X=−1, Z = 1).
c) Quelle est la loi de probabilité de Z?
d) Les variables aléatoires Xet Zsont-elles indépendantes ?
4) On suppose maintenant que P(X= 1) = 2/5et P(X=−1) = 3/5. On considère une variable
aléatoire Wqui peut valoir soit 1, soit -1, telle que
P(X= 1, W =−1) = P(X=−1, W = 1) = P(X=−1, W =−1).
a) Donner la loi du couple (X, W )dans un tableau à double entrée.
b) Les variables aléatoires Xet Wsont-elles indépendantes ?
c) Calculer P(W= 1|X= 1).
d) Calculer cov(X, W ).
Exercice 2. On suppose que le nombre de personnes se présentant à un bureau de poste en 15 mn
est une variable aléatoire X de loi binomiale B(2,1/2). La probabilité pour qu’une personne donnée
retire un mandat est de 2/5. Notons Yle nombre de personnes ayant retiré un mandat pendant 15
mn.
1) Donner les valeurs possibles de Xet les probabilités associées.
2) Calculer la loi du couple (X, Y ).
3) En déduire la loi de Y.
Exercice 3. L’objectif de cet exercice est de retrouver le résultat
+∞
X
i=0
λ2i
2i!=eλ+e−λ 2(1)
en utilisant la théorie des probabilités. Soit X une variable qui suit une loi de Poisson de paramètre
λ > 0. On pose Y= (−1)X.
1) Quelles sont les valeurs possibles de Y?
2) En utilisant la fonction génératrice de X(cf chapitre 3 du cours), calculer E(Y)puis V(Y).
3) En déduire la fonction de masse de Yet retrouver le résultat (1) .
1