Feuille de TD 7

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L2
UE LM231 – Probabilités-Statistiques Année 2012–13
TD7. Lois à densité - Moments.
Densités
Exercice 1.
Déterminer c(si c’est possible) pour que les fonctions suivantes soient des densités de probabilité sur
R:
(i) f(x) = c1[a,b](x)où aet bsont deux réels tels que a<b
(ii) f(x) = ce−αx1[0,+∞[(x), où α∈R
(iii) f(x) = c
1+x2
(iv) f(x) = ca
xα+1 1[a,+∞[(x)pour a > 0et α∈R.
(v) f(x) = csin(2x+π
4)1[−π
8,π 8](x)
Moments
Exercice 2. Soit Xune variable aléatoire suivant une loi dont la densité de probabilité est donnée
par
fX:R−→ R+
x7−→ xe−x2/21R?
+(x).
Après avoir démontré leurs existences, déterminer l’espérance et la variance de la variable aléatoire
X2.
Exercice 3. Pour quelles valeurs de α≥0, l’espérance E(Xα)est-elle finie, si la densité de la loi de
Xest
fX:R−→ R+
x7−→ C(1 + x2)−m
où C∈Ret m∈R.
Exercice 4. Soient a < b deux réels. Calculer Ee−Xsi Xsuit une loi uniforme sur l’intervalle [a, b],
c’est-à-dire si la densité de Xest fX=1[a,b].
Fonction de répartition
Exercice 5. Soit Xune variable aléatoire positive ayant une densité continue fet telle que E[Xr]
est finie pour r≥1.
a) Montrer que
lim
x→+∞
xrP(X > x) = 0.
Indication : trouver une expression de P(X > x)en fonction de f.
b) En déduire que
E[Xr] = Z∞
0
rxr−1P(X > x)dx.
Indication : Que vaut la dérivée de x7−→ P(X > x)?
Exercice 6. Soit Xune variable aléatoire telle que Xet 2Xont même fonction de répartition. Donner
une équation vérifiée par la fonction de répartition de Xet en déduire sa loi.
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