Feuille de TD 7

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6)
UE LM231 – Probabilités-Statistiques
Licence de Mathématiques L2
Année 2012–13
TD7. Lois à densité - Moments.
Densités
Exercice 1.
Déterminer c (si c’est possible) pour que les fonctions suivantes soient des densités de probabilité sur
R:
(i) f (x) = c1[a,b] (x) où a et b sont deux réels tels que a < b
(ii) f (x) = ce−αx 1[0,+∞[ (x), où α ∈ R
c
(iii) f (x) = 1+x
2
α+1
(iv) f (x) = c xa
1[a,+∞[ (x) pour a > 0 et α ∈ R.
(v) f (x) = c sin(2x + π4 )1[− π8 , π8 ] (x)
Moments
Exercice 2. Soit X une variable aléatoire suivant une loi dont la densité de probabilité est donnée
par
fX : R −→
R+
2 /2
−x
x 7−→ xe
1R?+ (x).
Après avoir démontré leurs existences, déterminer l’espérance et la variance de la variable aléatoire
X 2.
Exercice 3. Pour quelles valeurs de α ≥ 0, l’espérance E(X α ) est-elle finie, si la densité de la loi de
X est
fX : R −→
R+
x 7−→ C(1 + x2 )−m
où C ∈ R et m ∈ R.
Exercice 4. Soient a < b deux réels. Calculer E e−X si X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a, b],
c’est-à-dire si la densité de X est fX = 1[a,b] .
Fonction de répartition
Exercice 5. Soit X une variable aléatoire positive ayant une densité continue f et telle que E[X r ]
est finie pour r ≥ 1.
a) Montrer que
lim xr P(X > x) = 0.
x→+∞
Indication : trouver une expression de P(X > x) en fonction de f .
b) En déduire que
Z ∞
r
E[X ] =
rxr−1 P(X > x)dx.
0
Indication : Que vaut la dérivée de x 7−→ P(X > x) ?
Exercice 6. Soit X une variable aléatoire telle que X et 2X ont même fonction de répartition. Donner
une équation vérifiée par la fonction de répartition de X et en déduire sa loi.
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