TD2 - Jean-Romain HEU

GCE3-GE3, Probabilités
Exercice 1
2012
TD 2
Donner la fonction de répartition, la densité, l'espérance et la variance des va-
riables aléatoires suivantes.
1. On lance deux dés équilibrés. La variable
X
représente la diérence (en valeur absolue)
des deux faces.
n
2. On lance une pièce pipée
3. Gains à la roulette : soit
fois. La variable
a ∈ {0, . . . , 36}.
X
représente le nombre de piles obtenus.
On dénit
X(a) = 35
et
X(i) = −1
si
i 6= a.
a et b entre 0 et 1 selon la loi uniforme.
aléatoire X1 est le maximum de ces deux valeurs.
X2 vaut 2 si a > b, 0 si a = b et −1 si a < b.
X3 vaut b si a < 12 et vaut a sinon.
4. On tire deux nombres
La variable
La variable
La variable
5. On tire un nombre
x > 1,
Exercice 2
et vaut
0
x
selon la loi exponentielle de paramètre
λ.
La variable
X
vaut
x
si
sinon.
On donne ci-dessous des fonctions de densité et de répartition. Tracer pour
chacune l'allure de la fonction de répartition (respectivement de densité) correspondante et
évaluer grossièrement son espérance et son écart-type.
Exercice 3
La probabilité qu'un réacteur d'avion tombe en panne est égale à
p. On considère
qu'un avion peut encore voler si la moitié de ces réacteurs fonctionne. Vaut-il mieux voler en
bimoteur ou en quadrimoteur ?
Exercice 4
de densité
Soit
fX
X
une variable aléatoire
représentée ci-contre.
1. Tracer la fonction de répartition de
2. Donner
X.
E[X].
Y la
0
Y =
1
Soit
variable aléatoire dénie par
si
si
X<0
X>0
3. Quelle est la loi de
Y
?
4. Quelle est la loi de (X|Y
Exercice 5
= 1) ?
X et Y deux variables indépendantes suivant des lois dénies par
f et g . On dénit la variable Z = X + Y . Montrer que la loi de Z
donnée par la fonction de densité f ∗ g .
Vérier ce résultat pour X ∼ U[a, b] et Y ∼ U[c, d].
Soient
fonctions de densité
Exercice 6
Soit
Soient
U = min(X, Y ).
X
et
Y
deux variables indépendantes de lois géométriques
Déterminer la loi de
G(p)
et
des
est
G(q).
U.
Deux composants électroniques ont des probabilités
p
et
q
de tomber en panne durant une
journée. On les monte en série dans un circuit. Quelle est la probabilité que le courant soit
coupé ? Quel est le rapport avec la question précédente ?
Refaire l'exercice en prenant des lois exponentielles de paramètres
λ
et
µ.
Comparer les
résultats avec ceux obtenus ci-dessus.
Exercice 7
On note
on note
On lance une pièce équilibrée jusqu'à ce qu'on obtienne la séquence Pile-Face.
X la variable aléatoire correspondant au nombre de lancers qui ont été nécessaires. Et
Y la variable aléatoire donnant le nombre de lancers qui ont permis d'obtenir le tout
premier Pile.
1. Quelle est la loi de
2. Soit
n > k > 0.
Y
?
Montrer que
3. En déduire l'expression de
4. Déterminer la loi de
X,
P(X = n|Y = k) =
1
.
2n−k
P(X = n ∩ Y = k).
i.e. la valeur de
P(X = n)
pour tout entier
n.
5. Aurait-on obtenu la même loi si on avait cherché à obtenir la séquence Pile-Pile ?
Exercice 8
Modélisation d'une le d'attente : on s'intéresse au nombre de clients dans un
magasin. Pour un temps
entre les instants 0 et
t.
t > 0, on note Xt
loi de Poisson de paramètre
Soit
T
le nombre de clients qui sont entrés dans le magazin
Xt est une variable
k
λt : ∀k ∈ N, P(Xt = k) = e−λt (λt)
.
k!
On suppose que la variable
aléatoire suivant une
l'instant où entre le premier client. On souhaite décrire la loi de cette variable aléatoire.
1. Soit
t1 < t2 .
2. Soit
t > 0.
Les variables
Xt1
Justier le fait que
et
Xt2
sont-elles indépendantes ?
P(T1 > t) = P(Xt = 0).
3. En déduire la fonction de répartition de la variable
4. Soit
0 < t0 < t.
T.
Donner également sa densité.
Calculer la probabilité qu'un client arrive avant l'instant
t0 .
n'y a encore personne à l'instant
5. Le modèle proposé vous semble-t-il réaliste ?
t
sachant qu'il