Définition : Soit I un intervalle de R. On appelle

Définition :
Soit Iun intervalle de R. On appelle densité de probabilité
sur Itoute fonction fdéfinie sur Ivérifiant les trois conditions
suivantes :
fcontinue sur I;
fest positive sur I(pour tout réel de I,f(x)⩾0);
l’aire siutée sous sa courbe Cest égale à une unité d’aire :
I
f(x)dx= 1
Z6
0
f(x)dx=1
2 3 4 5 6
I
0.1
0.2
0.3
O
Cf
Définition :
On dit qu’une variable aléatoire Xà valeurs dans Isuit une
la loi de probabilité Pde densité fsur Ilorsque pour
tout entier aet bappartenant à I(a<b):
Pα⩽X⩽b=b
a
f(x)dx
On définit l’espérance de cette variable aléatoire par :
E(X) = I t·f(t)dt
PX ∈[1,2 ; 3,2]
2 3 4 5 6
I
0.1
0.2
0.3
O
Cf
Définition :
Soit aet bdeux nombres réels tels que a<b :
On dit qu’une variable aléatoire Xsuit une loi uniforme
sur l’intervalle I=a;bsi la variable Xest continue sur
Iet admet pour densité la fonction constante fdéfinie par :
f(x) = 1
b−a
-2 -1 01 2 3
0,1
0,2
Loi uniforme sur −2 ; 3
Proposition :
Soit Xune variable aléatoire suivant une loi de probabilité uniforme sur l’intervalle I=a;b.
Pour αet βdeux réels de de l’intervalle Itels que α<β,ona:
Pα⩽X⩽β=PX ∈α;β=β
α
1
b−adx=x b−aβ
α=β−α
b−a
L’espérance de la variable aléatoire Xa pour valeur : E(X) = a+b
2
Définition :
Soit λun réel positif. On dit qu’une variable aléatoire suit une
loi exponentielle de paramètre λ, si la variable Xprend
ses valeurs dans R+et si elle admet pour densité la fonction f
définie par :
f(x) = λ·e−λ·x
ab2
I
2
J
O
Loi exponentielle de param`etre 2
Proposition :
Soit aet bdeux nombres réels positifs tels que a<b.
Soit Xune variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ.Ona:
Pa⩽X⩽b=PX ∈[a;b]=b
a
λ·e−λ·xdx=−e−λ·xb
a
L’espérance de cette variable aléatoire a pour valeur : E(X) = lim
x7→+∞t·λeλt dt=1
λ
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