Devoir de Probabilités du 2/12/09, Master MIMATS, durée 1H

Devoir de Probabilités du 2/12/09, Master
MIMATS, durée 1H
Avertissement : Les deux exercices sont indépendants.
Exercice 1 : Soit Xune variable aléatoire de fonction de répartition
F.
1) Justifier rigoureusement pourquoi X2est une variable aléatoire.
2) On suppose que Xest de loi uniforme sur l’intervalle [−1,1] (i.e. X
a une densité constante sur [−1,1] et nulle à l’extérieur de [−1,1]).
a) Donner l’expression explicite de F(t)pour tout t∈R.
b) Calculer la fonction de répartition G(t)de X2. En déduire que X2
a une densité de probabilité qu’on calculera explicitement.
Exercice 2 : Soit (X, Y )un vecteur aléatoire de R2ayant une densité
de probabilité fconstante à l’intérieur du triangle dont les sommets
sont l’origine (0,0), le point A= (0,1) et le point B= (1,0) et nulle
à l’extérieur (on dit alors que le vecteur aléatoire (X, Y )est de loi
uniforme dans le triangle OAB.
1) Déterminer explicitement la fonction densité f.
2) Déterminer les densités marginales du vecteur (X, Y ). En déduire
les fonctions de répartition de Xet Y.
3) Calculer la densité de probabilité de la variable aléatoire 3X+ 2.
4) Les variables aléatoires Yet 3X+ 2 sont-elles indépendantes ? (in-
dication : on pourra calculer la loi du vecteur aléatoire (3X+ 2, Y )).
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