Devoir de Probabilités du 2/12/09, Master MIMATS, durée 1H

Devoir de Probabilités du 2/12/09, Master
MIMATS, durée 1H
Avertissement : Les deux exercices sont indépendants.
Exercice 1 : Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition
F.
1) Justifier rigoureusement pourquoi X 2 est une variable aléatoire.
2) On suppose que X est de loi uniforme sur l’intervalle [−1, 1] (i.e. X
a une densité constante sur [−1, 1] et nulle à l’extérieur de [−1, 1]).
a) Donner l’expression explicite de F (t) pour tout t ∈ R.
b) Calculer la fonction de répartition G(t) de X 2 . En déduire que X 2
a une densité de probabilité qu’on calculera explicitement.
Exercice 2 : Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire de R2 ayant une densité
de probabilité f constante à l’intérieur du triangle dont les sommets
sont l’origine (0, 0), le point A = (0, 1) et le point B = (1, 0) et nulle
à l’extérieur (on dit alors que le vecteur aléatoire (X, Y ) est de loi
uniforme dans le triangle OAB.
1) Déterminer explicitement la fonction densité f .
2) Déterminer les densités marginales du vecteur (X, Y ). En déduire
les fonctions de répartition de X et Y .
3) Calculer la densité de probabilité de la variable aléatoire 3X + 2.
4) Les variables aléatoires Y et 3X + 2 sont-elles indépendantes ? (indication : on pourra calculer la loi du vecteur aléatoire (3X + 2, Y )).
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