TD8. Variables à densités classiques.

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L2
UE LM231 – Probabilités-Statistiques Année 2012–13
TD8. Variables à densités classiques.
Loi uniforme
Exercice 1. Pour a<b, donner la fonction de répartition d’une variable uniforme sur [a, b].
Exercice 2. Deux personnes ont décidé de se rencontrer entre 13h et 14h. La première arrivée au
point de rendez-vous attend au maximum 15 minutes avant de partir. On veut calculer la probabilité
que ces deux personnes se rencontrent effectivement ?
On modélise le problème de la manière suivante : soient U1et U2deux v.a. indépendantes et uniformes
sur [0,1] qui représentent les heures d’arrivées des deux personnes.
a) Rappeler la densité de U2et en déduire la densité de −U2.
b) Donner la densité de U1−U2.
c) Répondre au problème initial.
Exercice 3. Soit Xla v.a. à valeurs dans Ret ayant pour densité :
f:y7−→ 1
π(1 + y2)
(on dit que Xest une v.a. de Cauchy de paramètre 1).
a) Calculer la fonction de répartition de X.
b) En déduire que si Uest une v.a. uniforme sur [0,1], alors
Y= tan πU−1
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a même loi que X.
Variable exponentielle
Exercice 4.
a) Donner la fonction de répartition Fd’une v.a. exponentielle de paramètre λ > 0.
b) Soient nun entier naturel non nul, λun réel strictement positif et (Xi)1≤i≤nune famille de
variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle E(λ). Donner la loi de min
1≤i≤n(Xi)et celle
de max
1≤i≤n(Xi).
Exercice 5. On considère trois variables aléatoires X,Yet Zindépendantes et suivant la loi expo-
nentielle de paramètre λ.
a) Déterminer la loi de Y+Z(on pourra calculer sa densité).
b) i) Déterminer la densité de la variable aléatoire D=Y+Z−Xsur R+.
ii) Calculer P(X≤Y+Z).
c) Déterminer l’événement complémentaire de l’événement
{X≤Y+Z}∩{Y≤Z+X}∩{Z≤X+Y}
et calculer sa probabilité.
d) Quelle est la probabilité pour qu’on puisse construire un triangle (éventuellement aplati) dont
les côtés aient pour longueurs X,Yet Z?
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Loi normale
Pour les exercices 6 et 7, utiliser la table de la loi normale.
Exercice 6. Soit Xune variable aleatoire normale de moyenne µ= 2 de variance σ2= 4.
a) Soit la variable T= (X−µ)/σ. Quelle loi de probabilité suit T?
b) On considère l’évenement {X < 1,5}. Quel est l’évenement équivalent pour T? Quelle est la
probabilité correspondante ?
c) Même question pour l’évenement {X > −2}.
d) Soit l’évenement {−1≤T < 1}. Quel est l’évenement équivalent pour X? Quelle est sa proba-
bilité ?
e) Déterminer les valeurs xtelles que P(X < x) = 0,76 ;P(X≥x) = 0,6et P(0 ≤X < x)=0,40.
Exercice 7. Le taux de glycémie d’une population est répartie suivant une loi normale. Une enquête
auprès de l’ensemble de cette population montre que 84,1% des individus ont un taux inférieur à 1,40
g/l et 2,3% ont un taux supérieur à 1,60 g/l.
a) A l’aide de la table de la loi normale, déterminer la moyenne et la variance du modèle.
b) En admettant qu’un taux de glycémie supérieur à 1,30 g/l nécessite un traitement, quel pour-
centage de cette population devra t’on traiter ?
Exercice 8. Soit Xune variable aléatoire gaussienne centrée et réduite (on note X∼ N (0,1)).
Trouver la densité de la variable aléatoire Y=X2.
Exercice 9. On considère Nde loi normale N(0,1) et ε, indépendante de N, telle que P(ε=−1) =
P(ε= 1) = 1/2.
a) Montrer que N0:= εN a même loi que N(on pourra d’abord montrer que −Na même loi que
N).
b) Est-ce que N+N0est une v.a. normale ?
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