Mathematiques II - 2001 - Classe Prepa MP

J. 5029
A2OOlMathMP2
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEWRES DE L’AÉRONAUTIQUE
ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCO MMUNICATIONS
DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
(Filière STI).
CONCOURS D’ADMISSION
2001
ÉPREWEDEMAYIBÉMATIQUES
DEUXIÈME ÉPREUVE
Filière MP
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MA’IHÉMATIQUES
Z-Filière MP.
Cet énoncé comporte 7 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amené à prendre.
Soit C l’espace vectoriel normé des fonctions réelles, défhies sur le segment 1 = [-1, 11,
continues ; la norme de cet espace est la norme de la convergence uniforme, définie pour une
fonctionfde C par la relation :
VII =sUP lml.
xd
Pour tout entier naturel n, l’espace vectoriel des fonctions polynomiales réelles de degré
inférieur ou égal à n, est notée E,. Par abus de langage, la locution “ fonction polynomiale” est
remplacée par polynôme.
Première partie
Il est admis que, pour une fonctionfdonnée continue sur le segment I et un entier naturel
donné n, il existe un polynôme P,, de degré inférieur ou égal à n, tel que :
IV-KII
= An(f) = inf(Ilf-PI/
I P E En}.
Le but de cette partie est d’étudier l’erreur commise lors de la meilleure approximation d’une
fonction continue par une fonction polynomiale et de montrer le résultat : sifest une fonction k-fois
continûment dérivable sur 1 = I-1, 11, la meilleure approximation de la fonctionfpar un polynôme
de degré inférieur ou égal à n est telle que :
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la page S.V.P.
Soit Q,une fonction réelle, détïnie sur l’intervalle Z, bornée (il existe une constante A4 telle que,
pour tout réel x de Z, I&x)] 5 A4). À cette fonction q est associée la fonction wq>,dite “module de
continuité de p”. Elle est définie sur la demi-droite ouverte 10, oo[ de la manière suivante :
Étantdonné un réel h strictement positif, q,(h) estégal à la borne supérieure des réels
I~(X) - &y)] sachant que x et y sont deux réels de l’intervalle Z dont la valeur absolue de la
différence est majorée par h :
Mh) = sup{I~W - vWl ; (x>Y) E 12,Cw
-U~S h).
I-l. Propriétés du module de continuité :
Soit (p une fonction réelle définie et bornée sur le segment Z.
a Démontrer que le module de continuité de cette fonction q est une fonction croissante définie
sur la demi-droite ouverte 10, a$.
b. Soient h et h’ deux réels strictement positifs, démontrer la propriété :
q,(h + h’) I w,(h) +O&h’).
Soient h et A deux réels strictement positifs, n un entier supérieur ou égal à 1; démontrer les
relations suivantes :
q(nh)
5 nov(h)
; q, (2 h) I (1 + A> q,(h).
c. Démontrer que la fonction p est uniformément continue sur le segment Z si et seulement si la
limite du module de continuité oP en 0 est nulle :
tp est uniformément continue sur Z ohm q,(h)
h+o
= 0.
d. Démontrer que, si la fonction q est continûment dérivable sur le segment Z, il vient pour tout
réel positif h :
Mh) 5 h lb II.
I-2. Noyaux de Dirichlet et de Fejer :
Étantdonné un entier n supérieur ou égal à 1 (n 1 1), soient D, et F, les fonctions définies
pour tout réel 8 par les relations suivantes Y
.
on(e) = 2 eike ; F&I)
h=-?l
= +&(e).
Ml
Il est admis que la fonction F, vérif5e les relations suivantes :
pourtout0différentde2krr,kentierrelatif,F,@)
= c
(1-
g)eike
= &
h=-?l+l
Soit K, la fonction définie dans l’ensemble R \ 2a 2 par la relation suivante :
-2J7-
(
sin(n 912)
sîn(6/2)
où le réel An est défini par la condition :
Lk
23r
I 0 Iqe)de
= 1.
a Calculer le réel A,, et déterminer une constante C telle que ce réel soit équivalent à l’infini à
Cn3. Rappel:
n
c k2 = +z(n+ 1)(2n+ 1).
h=l
b. Soit a la fonction définie sur l’intervalle semi-ouvert 10,x/2] par la relation suivante :
a(t) = J- - +
sin4t
Démontrer qu’il existe une constante A 1 telle que la fonction a soit équivalente en 0 à A 1 tm2.
En déduire que la fonction t - t3 a(t) est bornée sur l’intervalle 10,IL/~]. Soit A2 un majorant de
cette fonction sur l’intervalle 10,x/2].
Soient I,, et J,, les deux intégrales suivantes :
I,, = Jo,, vdt
; J,, = srD ta(t) sin4(nt)dt.
Démontrer les deux propriétés suivantes :
lorsque l’entier n tend vers l’infini,
In w n2. m$@-dt
I0
;
pour tout entier naturel n, (n 3 1), J,, 5 A2 n I m $$Y.&.
0
c. Démontrer l’existence d’une constante A40 telle que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1,
il vienne :
O< $~~(l+nt)K.(t)dtSï&.
I-3. Polynômej,[g]
:
Soit g une fonction paire définie sur la droite réelle périodique et de période 2w ; étant donné un
entier n supérieurou égal à 1, soitj&] la fonction définie par la relation suivante :
j&](e)
a Démontrer que la fonctimj,[g]
= &
jI
a
g(e - t) G(t)
dt.
est paire et est un polynôme de degré au plus égal à 2n - 2.
b. V&%er les inégalités suivantes :
k(e)--g(Q--t)l 5 q?Wl>5 (1 +n 14)%(&),
puis, en utilisant les résultats des questions précédentes, démontrer la majoration :
k@> -j&](@l
5 Mo mg ( $ > *
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- 317 -
la page S.V.P.
Dans la suite l’entier n est supposé supérieur ou égal à 3 ; à l’entier n est associé l’entierp égal à la
partie entière du réel n/2. L’entierp vérifie les inégalités :
p 5 nl2 xp+l.
I-4. Polynôme associé à une fonction de l’espace C :
Soitfune fonction de l’espace C. À cette fonctionfest associée la fonction g périodique de
période 2a, définie, pour tout réel 8, par la relation :
gw
= mw.
Soit P, la fonction définie sur l’intervalle 1 = [-1, 1] par la relation suivante : pour tout réel x
de 1,
P,(x) =jp+l [g](Arccosx).
l’entier p est la partie entière de rd2 définie ci-dessus.
a. Démontrer que la fonction P, est uu polynôme (une fonction polynomiale) de degré au plus
égal à n. Il est admis que, pour tout entier naturel k, la fonction x - cas (khccosx)
est un
polynôme de degré k.
b. Démontrer, pour toute fonctionfde
l’espace C et tout entier n (n L 3), la relation suivante :
La constante A40 a été introduite à la question I-2.c, le réel A,#) dans l’introduction de la
première partie.
c. Établir le résultat préliminair e : soitfune fonction de l’espace C ; pour tout polynôme Q de
degré inférieur ou égal à n, il vient :
AnV> = A&Démontrer, pour toute fonctionfcontinûment
la relation ci-dessous entre A,(j) et An-1 0’)
QI.
dérivable sur le segment I = [-1, 1] et tout entier n,
:
A,y> 5 2 +
A,,(f’).
d. Étant donné un entier k supérieur ou égal à 1 (k i 1), soitfune fonction k-fois continûment
dérivable ; déduire du résultat précédent une majoration, pour tout entier n supérieur strictement à
k(n > k),deA,V)enfonctiondeA~@).
En déduire que, sifest une fonctian k-fois continûment dérivable et n un entier croissant
indéfiniment, l’expression A,(j) est un infiniment petit d’ordre supérieur à l/nk.
- 417 -
Le but de cette partie est, pour une fonctionfdonnée dans C, de construire une suite de
polynômes Inm, qui, lorsque la fonctonfest continûment dérivable, converge uniformément vers
la fonctionf,
Dans cette partie, l’entier n est fixé et est supérieur ou égal à 3 (n S 3). Soit Ei le sous-espace
de E, constitué des polynômes (fonctions polynomiales) nulles en -1 et en 1.
II-l. L’espace préhiibertien EE :
a Quelle est la dimension de l’espace vectoriel Ez ? Soit (eR)*+-,, la suite de polynômes
défInie par la relation :
pour tout entier k, 2 5 k I n, ek(x) = xk - xkq2.
Démontrer que la suite de ces polynômes est une base B de l’espace vectoriel En.
b. Soit @, l’endomorpbisme de l’espace vectoriel En défini par la relation suivante :
pour tout polynôme P de Ez, a@)(x)
= (1 - x2) P”(x).
Démontrer que la matrice& associée à l’endomorpbisme @, dans la base B est une matrice
triangulaire supérieure ; déterminer les éléments de la diagonale de cette matrice.
En déduire l’existence d’une base B’ définie par une suite de polynômes (QR)~++,
-- qui vérifient
les relations suivantes :
pour tout entier k, 2 I k I n,
(1 --x2> Qk”@> = pk Qk.
-Ces polynômes sont supposés~unïtaires~(leco&Zïent du terme de plus haut degré est égal 5 1):
Préciser les coefficients pk, 2 5 k 5 n et le degré des polynômes QR.
c. À deux polynômes quelconques P et Q appartenant à l’espace vectoriel En est associée
l’intégrale J(P, Q) définie par la relation suivante :
l W QG>dr
J(P,Q>= je1
1-x2
Démontrer que cette intégrale existe ; à quelle condition sur le polynôme P l’expression J(P, P)
est-elle nulle ?
Il est admis dans la suite que l’application (P, Q) I-B J(P,Q) de En x EE dans R est un produit
scalaire. Dans la suite le produit scalaire est noté (. 1 .) :
d. Démontrer que la base B’ = (Qk)2en est ortbogonale dans l’espace prébilbertien
(E:d. î 3).
II-2. Racines du polynôme Q,, :
.
a. Un résultat préhminaire : démontrer que le polynôme Qn possède la propriété : pour tout
polynôme P de degré infkieur ou égal à n - 3, l’intégrale K ci-dessous est nulle :
K = j’, P(x) Qn(x) dr = 0.
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- 517 -
la page S.V.P.
b. Deux cas sont considérés :
i. Le polynôme Qn admet des racines, d’ordre de multiplicité impair, situées dans l’intervalle
ouvert 1 = l-1, 1 [. Soient x1, x2, .... xP, ces racines (l’entierp est strictement positif).
Soit RI le polynôme défini par la relation :
R*(x)= 3(x-x*).
k-1
Démontrer que l’intégrale de la fonction x w RI (x) Qn(x) étendue au segment 1 est différente
de 0 :
En utilisant le résultat de l’alinéa a, déterminer le degré du polynôme RI.
ii. Le polynôme Qn n’a pas de racines, d’ordre de multiplicité impair, situées dans l’intervalle
ouvert l-1, 1 [.
Démontrer que l’intégrale de la fonction x w Qn(x) étendue au segment I est difkente de 0.
En déduire que les racines du polynôme Q,, sont simples et situées sur le segment 1.
Dans la suite, les racines du polynôme Qwl sont notées yk, k = 0, 1, ....n et vérifient la relation
suivante :
-1 =y0 <y1 <y2 < ... <y,1
<y, = 1.
II-3. Polynôme IJfJ :
Soitfune fonction continue appartenant à l’espace C :f : 1 + R.
a Soit un l’application de l’espace vectoriel E, dans Rn+’ définie par la relation suivante :
un(P)
=
(Poto),
Qn),
. . . . eh>).
Démontrer que l’application u,, est un isomorphisme de l’espace vectoriel E, sur R*+’ .
En déduire qu’à une fonctionfdonnée dans C, est associé un seul polynôme I#j appartenant à
E,, vérifiant les relations suivantes :
pour tout entier k, 0 5 k 5 n, IJf&)
Démontrer que, si P est un polynôme appartenant à E,, il vient :
I&
P] = Incfl -P.
b. Démontrer que le polynôme Inm s’écrit :
n
où Lk est le polynôme défini par la relation :
Qn+1
(xl
‘h(x) =
(X-yk)!&+l'@k)'
- 617 -
=a~).
c. Démontrer, pour tout polynôme P appartenant à E,, l’inégalité :
pourtoutréelxdeZ,
j@)-ZnM(x)I
5
II4 Majoration de chK&)l:
Soitfune fonction continue appartenant à l’espace C :f : Z + R.
a Soit v, l’application de l’espace vectoriel E-1 dans Rw2 définie par la relation suivante :
hz(P)
=
(QYO),
P(Yl),
. . . . qYn>,
fyYo),
qYl),
. . . . P’cyn>).
Démontrer que l’application v, est un isomorphisme de l’espace vectoriel Z&,,+I sur Rw2.
En déduire qu’à une fonctionfdonnée dans C est associé un seul polynôme H,,m appartenant
à E2n+l, vérifiant les relations suivantes :
pour tout entier k, 0 5 k I n, ~nvKYk> = AYk), aJv]‘(Yk>
QuevautHJl]
= f ‘(Yk).
?
Il est admis que le polynôme H,,m est défini par la relation suivante :
b. Calcul des dérivées Lk’(yk).
I
JZ&embq
I’expFession, pour tout_ entier
-.
-~ k ccmprk entre 0 et n (0 I k I n), de la dérivée
Lk’(&) en fonct- on des dérivées prermère et seconï~~~~~)
et Qtil “@k).
En utilisant l’équation différentielle vérifiée par le polynôme Qn+1 (question II-1 .b) déterminer
les valeurs de Lk’O>k) lorsque l’entier k est compris entre 1 et n - 1 (1 5 k 5 n - 1). Calculer
ensuite Lo’(y0) et Ln’(yn).
c. En déduire les inégalités :
pour tout réelx du segment Z, &L&))2
h-0
I 1, &h(x)[
k=o
5 ,/a.
II-5 Estimation de l’approximation
:
Démontrer que, pour toute fonction continue appartenant à l’espace C, pour tout entier n
supérieur ou égal à 3, la norme de la différence entre la fonctiafet
le polynôme Z,,m est majorée
par le produit 2fi AnV) :
En particulier démontrer que, si la fonctionfest continûment dérivable sur Z, la suite des
polynômes Z,,m converge unifixmément, lorsque l’entier n tend vers l’infini, vers la fonctionj
Que dire de la convergence lorsque la fonctionfest indéfiniment continûment dérivable ?
FIN DU PROBLÈME
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