Table des mati`eres 1 Définitions algébrique et géométrique de C

Le corps Cdes nombres complexes
Table des mati`eres
1 D´efinitions alg´ebrique et g´eom´etrique de C1
1.1 D´efinition de C............................................. 1
1.2 Structure alg´ebrique de C....................................... 2
1.3 Leplancomplexe............................................ 3
1.4 Conjugu´e d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Moduled’unnombrecomplexe .................................... 5
2 Forme trigonom´etrique des nombres complexes 6
2.1 Argument et forme trigonom´etrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Notation exponentielle d’un nombre complexe de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Formule l’Euler et lin´earisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Formule de Moivre et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 L’exponentiellecomplexe........................................ 11
3´ Equations du second degr´e `a coefficients complexes 12
3.1 Racines carr´ees d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.1 D´efinition et expression sous forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.2 Recherche des racines carr´ees d’un nombre complexe sous forme alg´ebrique . . . . . . . 13
3.2 D´etermination des racines d’un trinˆome du second degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Racines n-i`emes d’un nombre complexe 14
4.1 Racines n-i`emesdel’unit´e....................................... 14
4.2 Racines n-i`emes d’un nombre complexe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Corrig´e des tests 16
1 D´efinitions alg´ebrique et g´eom´etrique de C
1.1 D´efinition de C
D´ efinition 1
L’ensemble Cdes nombres complexes est l’ensemble des nombres qui s’´ecrivent de mani`ere unique sous la
forme z=a+ib, o`u aet bsont des nombres r´eels, muni des op´erations d’addition et de multiplication
d´efinies par
•addition : (a+ib)+(c+id) = (a+c) + i(b+d),
•multiplication : (a+ib)×(c+id) = (ac −bd) + i(ad +bc).
En particulier, on a
i2=−1.
D´ efinition 2
Si z=a+ib, les nombres r´eels aet bsont appel´es respectivement partie r´eelle et partie imaginaire de
z. On les note a=<e(z)et b= Im(z). L’´ecriture z=a+ib d’un nombre complexe avec aet br´eels est
appel´ee la forme alg´ebrique de z.
Remarque. La partie imaginaire d’un nombre complexe est un nombre r´eel :
Im(3 + 5i) = 5 le ia disparu.
L’ensemble des nombres complexes de la forme a+ 0iest naturellement identifi´e `a R. Un nombre r´eel est donc
aussi un nombre complexe.
D´ efinition 3
Les nombres complexes de la forme ib sont appel´es imaginaires purs.
1

Les calculs dans Cs’effectuent exactement comme dans Ren rempla¸cant chaque occurrence de i2par −1.
Mais attention, il est impossible d’´etablir un ordre sur Cqui prolonge l’ordre sur Ret qui ob´eisse aux mˆemes
r`egles. Il ne faut donc JAMAIS ´ecrire une in´egalit´e entre nombres complexes (sauf si ce sont des nombres r´eels).
Exercice 1. Calculer (1 + i)3.
Commentaires
(1 + i)3= 1 + 3i+ 3i2+i3= 1 + 3i−3−i=−2+2i
Proposition 4
Deux nombres complexes sont ´egaux si et seulement s’ils ont mˆeme partie r´eelle et mˆeme partie imagi-
naire.
1.2 Structure alg´ebrique de C
On constate que :
– La somme de deux nombres complexes est un nombre complexe.
On dit que l’addition sur Cest interne.
(Toutes les op´erations ne sont pas internes ; pensez au produit scalaire.)
– L’addition sur Cest associative :
∀(z, z0, z00)∈C3,(z+z0) + z00 =z+ (z0+z00).
(Toutes les op´erations ne sont pas associatives ; pensez aux puissances : (33)36= 3(33).)
– Le nombre complexe 0 est un ´el´ement neutre pour l’addition :
∀z∈C, z + 0 = 0 + z=z.
– Tout nombre complexe z=a+ib admet un oppos´e dans C, not´e −z, qui est ´egal `a −a+i(−b).
(L’oppos´e d’un nombre zest par d´efinition un nombre z0tel que z+z0=z0+z= 0.)
– L’addition sur Cest commutative :
∀(z, z0)∈C2, z +z0=z0+z.
(Toutes les op´erations ne sont pas commutatives ; pensez `a la soustraction des nombres r´eels.)
– La multiplication dans Cest associative et commutative :
∀(z, z0, z00)∈C3,(zz0)z00 =z(z0z00)
∀(z, z0)∈C2, zz0=z0z.
– Le nombre complexe 1 est l’´el´ement neutre pour la multiplication :
∀z∈C, z ×1=1×z=z.
– Tout nombre complexe non nul admet un inverse (pour la multiplication) :
Si z=a+ib est un nombre complexe non nul , alors z0=a
a2+b2−ib a2+b2v´erifie zz0=z0z= 1.
– La multiplication dans Cest distributive par rapport `a l’addition :
∀(z, z0, z00), z(z0+z00) = zz0+zz00.
(Autrement dit... on peut d´evelopper !)
Th´ eor` eme 5
L’ensemble (C,+,×)est un corps commutatif.
Remarque.
– (R,+,×) est aussi un corps commutatif.
– (Z,+,×) n’est pas un corps commutatif car 2, par exemple, n’a pas d’inverse.
2

1.3 Le plan complexe
On consid`ere le plan euclidien orient´e rapport´e au rep`ere orthonorm´e direct (O;−→ e1,−→ e2).
D´ efinition 6
On associe au nombre z=x+iy le point Mde coordonn´ees (x, y). On dit que :
–zest l’affixe du point M,
–Mest l’image de zet l’on note M(z).
– L’axe (Ox)est l’axe des r´eels,
– l’axe (Oy)est l’axe des imaginaires purs.
– Le nombre zest ´egalement l’affixe du vecteur −−→ OM, et l’on note −−→ OM(z),
– le vecteur −−→ OM est un vecteur image de z.
On appelle plan complexe cette repr´esentation du plan euclidien par les nombres complexes.
Remarque. On a −→ e1(1) et −→ e2(i).
Interpr´etation g´eom´etrique de la somme de deux nombres
complexes :
Soit Met M0deux points du plan d’affixes respectifs z=x+iy et
z0=x0+iy0. On note Ple point du plan tel que −−→ OP =−−→ OM +−−−→ OM0.
Les coordonn´ees de Psont (x+x0, y+y0) donc le point Pet le vecteur
−−→
OP ont pour affixe zP=z+z0.
Interpr´etation g´eom´etrique de la multiplication d’un
nombre complexe zpar un r´eel k
Le point M0(kz) est l’image de M(z) par l’homoth´etie de centre O
et de rapport k, autrement dit M0est l’unique point tel que
−−−→
OM0=k−−→ OM.
Affixe d’un vecteur −−→ AB
Si Aet Bsont deux points d’affixes respectives zet z0, alors le vecteur −−→ AB a pour affixe z0−z.
3

1.4 Conjugu´e d’un nombre complexe
D´ efinition 7
Le conjugu´e d’un nombre complexe z=a+ib est le nombre complexe z=a−ib.
Interpr´etation g´eom´etrique :
Dans le plan, l’image M0de ¯zest le sym´etrique par
rapport `a l’axe r´eel de l’image Mde z.
Proposition 8
Pour tout nombre complexe z, on a : <e(z) = z+z
2et Im(z) = z−z 2i·
'
&
$
%
Proposition 9
Pour tous nombres complexes zet z0, on a :
(i) z=z.
(ii) <e(z) = <e(z)et Im(z) = −Im(z).
(iii) −z=−z.
(iv) z+z0=z+z0.
(v) zz0=z z0.
(vi) 1
z=1 zet z z0=¯z
z0.
(vi) Pour tout n∈Z,zn=zn.
Proposition 10
Soit zun nombre complexe.
•zest un nombre r´eel si et seulement si z=z.
•zest un nombre imaginaire pur si et seulement si z=−z.
Exercice 2. D´eterminer les nombres complexes ztels que Z=2z−4
z−isoit r´eel.
Commentaires
Notons que z6=i.Zest r´eel ssi Z=Z, c’est `a dire
2z−4
z−i=2¯z−4 ¯z+i⇔(2z−4)(¯z+i) = (2¯z−4)(z−i)⇔2z¯z+ 2iz −4¯z−4i= 2z¯z−2i¯z−4z+ 4i
⇔2i(z+ ¯z) + 4(z−¯z)=8i⇔i4<e(z)+8iIm(z) = 8i⇔4<e(z) + 8 Im(z) = 8 ⇔ <e(z)=2−2 Im(z)
Donc z= (2 −2a) + ai avec a∈R. Comme z=in’est pas dans les solutions, on doit avoir a6= 1.
Proposition 11
Soit z=a+ib un nombre complexe avec (a, b)∈R2. On a zz =a2+b2.
Technique. Le conjugu´e permet d’exprimer l’inverse d’un nombre complexe non nul z=a+ib sous sa forme
alg´ebrique : 1
z=z zz =a−ib a2+b2=a a2+b2−ib a2+b2.
Exercice 3.´ Ecrire le nombre complexe z=1−i
2+3isous forme alg´ebrique.
4

Commentaires
1−i
2+3i=(1 −i)(2 −3i) 4+9 =2−3i−2i−3 13 =−1 13 −i5 13
Test 1.´ Ecrire le nombre complexe z=−2+6i
−3−isous forme alg´ebrique.
1.5 Module d’un nombre complexe
Soit Mun point du plan d’affixe z=x+iy.
La distance OM est ´egale `a ρ=px2+y2.
Cette distance ρest appel´ee le module de z.
D´ efinition 12
Le module du nombre complexe z=a+ib (avec (a, b)∈R2) est le nombre r´eel positif |z|, d´efini par
|z|=√zz =pa2+b2.
Le module |z|est la distance entre l’origine Oet le point M(z); c’est aussi la norme du vecteur −−→ OM.
Remarque. Si z=aest un nombre r´eel, le module |z|est la valeur absolue du nombre r´eel a.
'
&
$
%
Proposition 13
Soit (z, z0)∈C2.
(i) |z|= 0 si et seulement si z= 0.
(ii) |zz0|=|z||z0|et donc, pour tout n>0,|zn|=|z|n.
(iii) Si z6= 0, alors 
1
z=1 |z|et 
z0
z=|z0| |z|.
(iv) |z|=|z|.
(v) |z|2=zz.
Attention : le module ne conserve pas les sommes ! ! !
'
&
$
%
Proposition 14 (In´ egalit´ e triangulaire)
Pour tous nombres complexes zet z0, on a
|z+z0|6|z|+|z0|
avec ´egalit´e si et seulement si z= 0 ou si le quotient z0
zest un nombre r´eel positif ou nul.
G´eom´etriquement, cela signifie que la norme
de la somme de deux vecteurs est inf´erieure
`a la somme des normes de ces deux vecteurs,
avec ´egalit´e si et seulement si les vecteurs sont
colin´eaires et de mˆeme sens.
5