Table des mati`eres 1 Définitions algébrique et géométrique de C

Le corps C des nombres complexes
Table des matières
1 Définitions algébrique et géométrique de C
1.1 Définition de C . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Structure algébrique de C . . . . . . . . . .
1.3 Le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . .
1.5 Module d’un nombre complexe . . . . . . .
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1
1
2
3
4
5
2 Forme trigonométrique des nombres complexes
2.1 Argument et forme trigonométrique d’un nombre complexe
2.2 Notation exponentielle d’un nombre complexe de module 1
2.3 Formule l’Euler et linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Formule de Moivre et application . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 L’exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
6
7
9
11
11
3 Équations du second degré à coefficients complexes
3.1 Racines carrées d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Définition et expression sous forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Recherche des racines carrées d’un nombre complexe sous forme algébrique
3.2 Détermination des racines d’un trinôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . .
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12
12
12
13
13
4 Racines n-ièmes d’un nombre complexe
4.1 Racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Racines n-ièmes d’un nombre complexe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14
15
5 Corrigé des tests
16
1
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Définitions algébrique et géométrique de C
1.1
Définition de C
Définition 1
L’ensemble C des nombres complexes est l’ensemble des nombres qui s’écrivent de manière unique sous la
forme z = a + ib, où a et b sont des nombres réels, muni des opérations d’addition et de multiplication
définies par
• addition :
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
• multiplication :
(a + ib) × (c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
En particulier, on a
i2 = −1.
Définition 2
Si z = a + ib, les nombres réels a et b sont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire de
z. On les note a = <e(z) et b = Im(z). L’écriture z = a + ib d’un nombre complexe avec a et b réels est
appelée la forme algébrique de z.
Remarque. La partie imaginaire d’un nombre complexe est un nombre réel :
Im(3 + 5i) = 5
le i a disparu.
L’ensemble des nombres complexes de la forme a + 0i est naturellement identifié à R. Un nombre réel est donc
aussi un nombre complexe.
Définition 3
Les nombres complexes de la forme ib sont appelés imaginaires purs.
1
Les calculs dans C s’effectuent exactement comme dans R en remplaçant chaque occurrence de i2 par −1.
Mais attention, il est impossible d’établir un ordre sur C qui prolonge l’ordre sur R et qui obéisse aux mêmes
règles. Il ne faut donc JAMAIS écrire une inégalité entre nombres complexes (sauf si ce sont des nombres réels).
Exercice 1. Calculer (1 + i)3 .
Commentaires
(1 + i)3 = 1 + 3i + 3i2 + i3 = 1 + 3i − 3 − i = −2 + 2i
Proposition 4
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
1.2
Structure algébrique de C
On constate que :
– La somme de deux nombres complexes est un nombre complexe.
On dit que l’addition sur C est interne.
(Toutes les opérations ne sont pas internes ; pensez au produit scalaire.)
– L’addition sur C est associative :
∀(z, z 0 , z 00 ) ∈ C3 , (z + z 0 ) + z 00 = z + (z 0 + z 00 ).
3
(Toutes les opérations ne sont pas associatives ; pensez aux puissances : (33 )3 6= 3(3 ) .)
– Le nombre complexe 0 est un élément neutre pour l’addition :
∀z ∈ C, z + 0 = 0 + z = z.
– Tout nombre complexe z = a + ib admet un opposé dans C, noté −z, qui est égal à −a + i(−b).
(L’opposé d’un nombre z est par définition un nombre z 0 tel que z + z 0 = z 0 + z = 0.)
– L’addition sur C est commutative :
∀(z, z 0 ) ∈ C2 , z + z 0 = z 0 + z.
(Toutes les opérations ne sont pas commutatives ; pensez à la soustraction des nombres réels.)
– La multiplication dans C est associative et commutative :
∀(z, z 0 , z 00 ) ∈ C3 , (zz 0 )z 00 = z(z 0 z 00 )
∀(z, z 0 ) ∈ C2 , zz 0 = z 0 z.
– Le nombre complexe 1 est l’élément neutre pour la multiplication :
∀z ∈ C, z × 1 = 1 × z = z.
– Tout nombre complexe non nul admet un inverse (pour la multiplication) :
a
b
Si z = a + ib est un nombre complexe non nul , alors z 0 = 2
−i 2
vérifie zz 0 = z 0 z = 1.
2
a +b
a + b2
– La multiplication dans C est distributive par rapport à l’addition :
∀(z, z 0 , z 00 ), z(z 0 + z 00 ) = zz 0 + zz 00 .
(Autrement dit... on peut développer !)
Théorème 5
L’ensemble (C, +, ×) est un corps commutatif.
Remarque.
– (R, +, ×) est aussi un corps commutatif.
– (Z, +, ×) n’est pas un corps commutatif car 2, par exemple, n’a pas d’inverse.
2
1.3
Le plan complexe
−
−
On considère le plan euclidien orienté rapporté au repère orthonormé direct (O; →
e1 , →
e2 ).
Définition 6
On associe au nombre z = x + iy le point M de coordonnées (x, y). On dit que :
– z est l’affixe du point M ,
– M est l’image de z et l’on note M (z).
– L’axe (Ox) est l’axe des réels,
– l’axe (Oy) est l’axe des imaginaires purs.
−−→
−−→
– Le nombre z est également l’affixe du vecteur OM , et l’on note OM (z),
−−→
– le vecteur OM est un vecteur image de z.
On appelle plan complexe cette représentation du plan euclidien par les nombres complexes.
−
−
Remarque. On a →
e1 (1) et →
e2 (i).
Interprétation géométrique de la somme de deux nombres
complexes :
Soit M et M 0 deux points du plan d’affixes respectifs z = x + iy et
−−→ −−→ −−−→
z 0 = x0 + iy 0 . On note P le point du plan tel que OP = OM + OM 0 .
Les coordonnées de P sont (x+x0 , y +y 0 ) donc le point P et le vecteur
−−→
OP ont pour affixe zP = z + z 0 .
Interprétation géométrique de la multiplication d’un
nombre complexe z par un réel k
Le point M 0 (kz) est l’image de M (z) par l’homothétie de centre O
et de rapport k, autrement dit M 0 est l’unique point tel que
−−−→0
−−→
OM = k OM .
−−→
Affixe d’un vecteur AB
−−→
Si A et B sont deux points d’affixes respectives z et z 0 , alors le vecteur AB a pour affixe z 0 − z.
3
1.4
Conjugué d’un nombre complexe
Définition 7
Le conjugué d’un nombre complexe z = a + ib est le nombre complexe z = a − ib.
Interprétation géométrique :
Dans le plan, l’image M 0 de z̄ est le symétrique par
rapport à l’axe réel de l’image M de z.
Proposition 8
Pour tout nombre complexe z, on a : <e(z) =
'
z+z
2
et
Im(z) =
z−z
·
2i
$
Proposition 9
Pour tous nombres complexes z et z 0 , on a :
(i) z = z.
(ii)
<e(z) = <e(z)
(iii)
−z = −z.
(iv)
z + z0 = z + z0.
(v)
zz 0 = z z 0 .
z
1
1
z̄
= et
= 0.
z
z
z0
z
n
Pour tout n ∈ Z, z = z n .
(vi)
(vi)
&
et
Im(z) = − Im(z).
%
Proposition 10
Soit z un nombre complexe.
• z est un nombre réel si et seulement si z = z.
• z est un nombre imaginaire pur si et seulement si z = −z.
Exercice 2. Déterminer les nombres complexes z tels que Z =
2z − 4
soit réel.
z−i
Commentaires
Notons que z 6= i. Z est réel ssi Z = Z, c’est à dire
2z − 4
2z̄ − 4
=
⇔ (2z − 4)(z̄ + i) = (2z̄ − 4)(z − i) ⇔ 2z z̄ + 2iz − 4z̄ − 4i = 2z z̄ − 2iz̄ − 4z + 4i
z−i
z̄ + i
⇔ 2i(z + z̄) + 4(z − z̄) = 8i ⇔ i4<e(z) + 8i Im(z) = 8i ⇔ 4<e(z) + 8 Im(z) = 8 ⇔ <e(z) = 2 − 2 Im(z)
Donc z = (2 − 2a) + ai avec a ∈ R. Comme z = i n’est pas dans les solutions, on doit avoir a 6= 1.
Proposition 11
Soit z = a + ib un nombre complexe avec (a, b) ∈ R2 . On a zz = a2 + b2 .
Technique. Le conjugué permet d’exprimer l’inverse d’un nombre complexe non nul z = a + ib sous sa forme
algébrique :
1
z
a − ib
a
b
=
= 2
= 2
−i 2
.
2
2
z
zz
a +b
a +b
a + b2
Exercice 3. Écrire le nombre complexe z =
1−i
sous forme algébrique.
2 + 3i
4
Commentaires
1−i
(1 − i)(2 − 3i)
2 − 3i − 2i − 3
1
5
=
=
=− −i
2 + 3i
4+9
13
13
13
Test 1. Écrire le nombre complexe z =
1.5
−2 + 6i
sous forme algébrique.
−3 − i
Module d’un nombre complexe
Soit M un point du plan d’affixe z = x + iy.
La distance OM est égale à ρ =
p
x2 + y 2 .
Cette distance ρ est appelée le module de z.
Définition 12
Le module du nombre complexe z = a + ib (avec (a, b) ∈ R2 ) est le nombre réel positif |z|, défini par
p
√
|z| = zz = a2 + b2 .
−−→
Le module |z| est la distance entre l’origine O et le point M (z) ; c’est aussi la norme du vecteur OM .
Remarque. Si z = a est un nombre réel, le module |z| est la valeur absolue du nombre réel a.
'
$
Proposition 13
Soit (z, z 0 ) ∈ C2 .
(i) |z| = 0 si et seulement si z = 0.
(iv)
|zz 0 | = |z||z 0 | et donc, pour
1
1
Si z 6= 0, alors =
et
z
|z|
|z| = |z|.
(v)
|z|2 = zz.
(ii)
(iii)
&
Attention : le module ne
tout n > 0, |z n | = |z|n .
z 0 |z 0 |
.
=
z
|z|
%
conserve pas les sommes ! ! !
'
$
Proposition 14 (Inégalité triangulaire)
Pour tous nombres complexes z et z 0 , on a
|z + z 0 | 6 |z| + |z 0 |
avec égalité si et seulement si z = 0 ou si le quotient
&
Géométriquement, cela signifie que la norme
de la somme de deux vecteurs est inférieure
à la somme des normes de ces deux vecteurs,
avec égalité si et seulement si les vecteurs sont
colinéaires et de même sens.
5
z0
est un nombre réel positif ou nul.
z
%
Exercice 4. Montrer que pour tous nombres complexes z et z 0 , on a
|z| − |z 0 | 6 |z + z 0 |.
Commentaires
On a, en utilisant l’inégalité triangulaire pour z + z 0 et −z 0 : |(z + z 0 ) + (−z 0 )| 6 |z + z 0 | + | − z 0 |, c’est à dire
|z| 6 |z + z 0 | + |z 0 |, c’est à dire |z| − |z 0 | 6 |z + z 0 |.
De même en inversant les rôles de z etz 0 : |z 0 | − |z| 6 |z + z 0 |. Donc ||z| − |z 0 || 6 |z + z 0 |.
Test 2. Calculer le module des complexes suivants z = 2 + 5i, z 0 = −1 + 3i et z + z 0
2
Forme trigonométrique des nombres complexes
2.1
Argument et forme trigonométrique d’un nombre complexe
On peut repérer un point du plan par ses coordonnées cartésiennes (x, y), mais aussi, par ses coordonnées
−−→
−
polaires (ρ, θ). Si le point M est distinct de O, on peut choisir par exemple ρ = OM et θ = (→
e1 , OM ).
Définition 15
Pour tout nombre complexe z non nul, on appelle argument de z toute
−−→
−
en radians de l’angle orienté (→
e1 , OM ) où M est le point d’affixe z dans le plan complexe.
mesure
θ
Remarque.
→
−
−
1. On ne peut pas attribuer un argument au nombre 0 car il est impossible de définir l’angle (→
e1 , 0 ).
2. L’argument d’un nombre complexe est défini à 2π près : si θ et θ0 sont deux arguments de z, alors il existe
k ∈ Z tel que θ0 = θ + 2kπ. On dit que θ et θ0 sont congrus modulo 2π et l’on note θ0 ≡ θ[2π].
Si θ est un argument du nombre complexe non nul z, on notera arg(z) = θ [2π].
Forme algébrique des nombres complexes de module 1
On suppose que M (z) est situé sur le cercle unité, c’est-à-dire |z| = 1.
6
Les coordonnées de M sont alors (cos θ, sin θ), où θ est un argument de z. On peut donc écrire
z = cos θ + i sin θ.
z
Plus généralement, si z est un nombre complexe non nul, alors
est de module 1 et de même argument que
|z|
z
z. En notant θ un argument de z, on a
= cos θ + i sin θ ce qui donne
|z|
z = |z| · (cos θ + i sin θ).
Théorème 16
Tout nombre complexe non nul z s’écrit sous la forme
z = ρ (cos θ + i sin θ)
avec ρ > 0 et θ ∈ R. On a ρ = |z| et arg(z) = θ [2π]. Cette écriture est appelée forme trigonométrique
du nombre complexe z. Un tel réel ρ est unique et θ est unique à 2π près .
Remarque. Le lien entre la forme cartésienne z = a + ib d’un nombre complexe non nul et sa forme trigonométrique z = ρ(cos θ + i sin θ) est donné par :

√

√

 ρ = a2 + b2


a2 + b2
ρ
=



 cos θ = √ a
b
ou si a 6= 0,
a + ib = (ρ cos θ) + i(ρ sin θ) ⇔
a2 + b2 ,
tan θ =


a


b
 signe(a)


 sin θ = √ 2
2
a +b
Exercice 5.
1. Déterminer le module et un argument du nombre complexe z = 1 − i.
2. Écrire z sous la forme algébrique sachant que |z| = 2 et arg(z) = 2π/3 [2π].
Commentaires
1. On a |z| =
√
√
√
2
2
et sin θ = −
√
2. z = 2(cos 2π/3 + i sin 2π/3) = −1 + i 3
2.2
1+1=
2, cos θ =
√
2
2 ,
donc un argument est arg(z) = − π4 .
Notation exponentielle d’un nombre complexe de module 1
Définition 17
– Pour tout θ ∈ R, on pose eiθ = cos θ + i sin θ.
– Le nombre eiθ est donc l’unique nombre complexe de module 1 et d’argument θ.
– On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1, qu’on peut paramétrer de la façon suivante :
{z ∈ C |z| = 1} = U = {eiθ , θ ∈ R} ={eiθ , θ ∈ [0, 2π[}.
π
Exemples. 1 = ei0 , i = ei 2 , −1 = ei π ,
√
2
2
√
+i
2
2
π
= ei 4 .
7
'
$
Proposition 18
(i) Pour tout (θ, ϕ) ∈ R2 , on a ei(θ+ϕ) = eiθ × eiϕ .
1
(ii) Pour tout θ ∈ R, on a iθ = eiθ = e−iθ .
e
eiθ
(iii) Pour tout (θ, ϕ) ∈ R2 , on a iϕ = ei(θ−ϕ) .
e
(iv)
Pour tout n ∈ Z, pour tout θ ∈ R, einθ = (eiθ )n
(v)
Pour tout k ∈ Z, on a ei2kπ = 1.
(vi)
Réciproquement, si eiθ = 1, alors il existe k ∈ Z tel que θ = 2kπ.
(vii)
Pour tout k ∈ Z et tout θ ∈ R, on a e i(θ+2kπ) = eiθ .
(viii)
Réciproquement, si eiθ = eiϕ , alors il existe k ∈ Z tel que ϕ = θ + 2kπ.
(c’est-à-dire θ = 0 [2π])
(c’est-à-dire ϕ = θ[2π])
&
%
Démonstration.
Commentaires
(i) On calcule :
ei(θ+ϕ) = cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ) = cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ + i cos θ sin ϕ + i sin θ cos ϕ
et
eiθ × eiϕ = (cos θ + i sin θ)(cos ϕ + i sin ϕ) = cos θ cos ϕ + i2 sin θ sin ϕ + i cos θ sin ϕ + i sin θ cos ϕ = ei(θ+ϕ)
(ii) On commence par remarque que
eiθ = cos θ + i sin θ = cos θ − i sin θ = cos −θ + i sin −θ = e−iθ
On en déduit que
e−iθ
e−iθ
1
=
=
= e−iθ
eiθ
eiθ e−iθ
eiθ−iθ
iθ
(iii) vient de (i) et (ii) : eeiϕ = eiθ e−iϕ = ei(θ−ϕ) . (iv) est une application directe de (i). (v) et (vi) s’obtient en
remarquant que cos 2kπ = 1 et sin 2kπ = 0 et que ce sont les seuls angles à vérifier ces égalités. (vii) et (viii)
s’obtiennent par 2π−périodicité du sinus et du cosinus.
'
$
Proposition 19
Tout nombre complexe z non nul s’écrit sous la forme
z = ρ eiθ
avec ρ > 0 et θ ∈ R. On a ρ = |z| et arg(z) = θ [2π]. Un tel réel ρ est unique et θ est
près .
unique à 2π
&
%
Exercice 6. Calculer (1 + i)7 .
Commentaires
On commence par ecrire 1 + i sous forme exponentielle : |1 + i| =
Puis on calcule :
√
2 et arg(1 + i) =
π
4,
donc 1 + i =
√
√
√ i π 7 √ 7 i 7π
√ −i π
√ 2
√ 2
4
4
4
(1 + i) = ( 2e ) = 2 e
== 8 2e
=8 2
− i8 2
= 8 − 8i
2
2
7
8
√
π
2ei 4 .
On peut traduire les propriétés de l’exponentielle complexe à l’aide de l’argument.
Corollaire 20
Soient z et z 0 deux nombres complexes non nuls d’arguments respectifs θ et θ0 . On a
(i)
arg(zz 0 ) = θ + θ0 [2π]
(ii)
arg (1/z) = −θ [2π], arg(z) = −θ [2π] et arg(−z) = θ + π [2π].
(iii)
Pour tout n ∈ N, on a arg(z n ) = nθ [2π] .
(iv)
θ = θ0 [2π] si et seulement si il existe λ ∈ R+ tel que z 0 = λz.
π
Test 3. Donner la forme algébrique des complexes z1 √= 3e−i 2 et z2 = ei3π . Donner la forme trigo3π
nométrique et la forme exponentielle des complexes z3 = 3 + 3i et z4 = (−1 + i)3 ei 4 .
2.3
Formule l’Euler et linéarisation
#
Proposition 21 (formules d’Euler)
Pour tout θ ∈ R, on a
cos θ =
"
eiθ + e−iθ
2
et
sin θ =
eiθ − e−iθ
·
2i
!
Exercice 7. Soient (α, β) ∈ R2 . Déterminer le module et un argument du nombre z = eiα + eiβ .
Commentaires
Methode pour les sommes d’exponentielles :
z = eiα + eiβ = ei
α+β
+i α−β
2
2
+ ei
α+β
−i α−β
2
2
z = 2 cos
α−β
2
= ei
ei
α+β
2
ei
α−β
2
+ e−i
α−β
2
α+β
2
π
Si il existe k ∈ Z tel que − π2 + 2kπ 6 α−β
2 6 2 + 2kπ, c’est à dire tel que −π + 4kπ 6 α − β 6 π + 4kπ, alors
le cosinus est positif. Donc l’écriture précédente est bien une forme exponentielle :
α−β
α+β
|z| = 2 cos
,
arg z =
[2π]
2
2
Sinon, alors le cosinus est négatif, ce n’est pas un module :
α − β i α+β
α − β i α+β +iπ
2
z = −2 cos
= 2 cos
e
e 2
2
2
Donc
α
−
β
,
|z| = 2 cos
2
arg z =
α+β
+ π[2π].
2
Les formules d’Euler permettent de linéariser des polynômes trigonométriques.
Technique. Linéariser une expression trigonométrique, c’est transformer un produit de fonctions trigonométriques
en une somme de fonctions trigonométriques. Pour cela, on effectue les étapes suivantes.
– On remplace chaque fonction sinus et cosinus par leur expression en nombres complexes à l’aide des formules
d’Euler (ci-dessus).
– On développe tous les produits, en particulier à l’aide de la formule du binôme.
9
– On regroupe les termes par paires de la forme eiΘ ± e−iΘ , Θ ∈ R.
– On réutilise les formules d’Euler pour revenir aux sinus et cosinus.
Exemple. Linéariser cos3 (x), c’est à dire exprimer cos3 (x) à l’aide de cos(kx) et sin(kx).
Commentaires
3
eix + e−ix
2
i3x
e + e−3ix + 3ei2x e−ix + 3e−2ix eix
8
1
3
cos 3x + cos x
4
4
3
(cos x)
=
=
=
Notons que les formules suivantes sont des cas particuliers de linéarisation :
cos x cos y =
1
[cos(x − y) + cos(x + y)] ,
2
sin x sin y =
1
[cos(x − y) − cos(x + y)]
2
1
[sin(x − y) + sin(x + y)] .
2
Application : La technique de linéarisation sert entre autre à calculer des primitives de fonctions trigonométriques.
sin x cos y =
Exemple. Trouver une primitive F de la fonction f (x) = cos3 (x).
Commentaires
D’après ce qui précède, ∀x ∈ R, f (x) =
Exercice 8.
1
4
cos 3x + 34 cos x, donc une primitive de f est F (x) =
1
12
sin 3x + 34 sin x.
Linéariser sin2 x et cos4 x.
Commentaires
sin2 x =
1−cos 2x
,
2
cos4 x =
Exercice 9.
1
1
3
cos 4x + cos 2x +
8
2
8
Calculer une primitive de x → cos2 (x) sin2 (x).
Commentaires
On linéarise pour tout x ∈ R :
ix
2 ix
2 i2x
i2x
e + e−ix
e − e−ix
e + 2 + e−i2x
e − 2 + e−i2x
2
2
cos (x) sin (x) =
=
2
2i
4
−4
=−
ei4x − 2ei2x + 1 + 2ei2x − 4 + 2e−i2x + 1 − 2e−i2x + ei4x
cos 4x 1
=−
+
16
8
8
Donc une primitive est x → − sin324x + x8 .
Test 4. Linéariser sin(x) cos3 (x)
10
2.4
Formule de Moivre et application
Proposition 22 (formule de De Moivre)
Pour tout entier n et tout réel θ, on a
(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ).
C’est la traduction immédiate de la formule (eiθ )n = einθ .
La formule de De Moivre permet de transformer des polynômes trigonométriques .
Technique. A l’inverse de précédemment, nous voulons exprimer cos(nx) et sin(nx) en fonction de cos x et
sin x pour tout entier n.
– On écrit la formule de Moivre cos(nx) + i sin(nx) = (cos x + i sin x)n et on développe le terme de droite par
la formule du binôme.
– On identifie la partie réelle et la partie imaginaire du résultat, ce qui sera égal à cos(nx) et sin(nx) respectivement.
– On simplifie les résultats, en utilisant la relation cos2 + sin2 = 1.
Exemple. Exprimer cos(3x) et sin(3x) comme polynômes en cos x et sin x.
Commentaires
cos(3x) + i sin(3x) = (cos x + i sin x)3 = cos3 x + 3i cos2 x sin x − 3 cos x sin2 x − i sin3 x
Donc
cos(3x) = cos3 x − 3 cos x sin2 = cos3 x − 3 cos x(1 − cos2 x) = 3 cos x − 2 cos3 x
et
sin(3x) = − sin3 x + 3 cos2 x sin x = − sin3 x + 3(1 − sin2 x) sin x = −4 sin3 x + 3 sin x
Cette transformation permet de déterminer le sinus et le cosinus de certains angles.
2.5
L’exponentielle complexe
Définition 23
Soit z = x + iy un nombre complexe écrit sous forme algébrique. On appelle exponentielle de z le nombre
complexe ez = ex eiy .
La fonction exp : C → C prolonge la fonction exponentielle définie sur R et s’accorde avec la notation eix
z 7→ ez
introduite précédemment.
$
'
Proposition 24
Soient z, z 0 deux nombres complexes. On a
(i) ez 6= 0.
0
0
(ii) ez+z = ez ez . En particulier, e−z est l’inverse de ez .
(iii) | ez | = e<e(z) et arg(ez ) = Im(z) [2π].
(iv) Tout nombre complexe non nul a est l’image par l’exponentielle complexe d’au moins un
nombre complexe z0 . Ses antécédents sont alors les nombres complexes z0 + 2ikπ avec k ∈ Z.
&
Démonstration.
Commentaires
On écrit z et z 0 sous forme algébrique : z = x + iy et z 0 = x0 + iy 0 avec (x, y, x0 , y 0 ) ∈ R4 .
11
%
iii) On a | ez | = | ex || eiy | = ex = e<e(z) .
En particulier, ez = ex eiy = | ez | eiy donc arg(ez ) = y = Im m(z).
i) On a ez = 0 si et seulement si | ez | = 0. Or | ez | = ex 6= 0.
0
0
0
0
0
0
0
0
ii) On a ez+z = ex+x ei(y+y ) = ex ex eiy eiy = ex eiy ex eiy = ez ez .
iv) Soit a ∈ C∗ . On a
z
x
| e | = |a|
e = |a|
ez = a ⇔
⇔
∃k ∈ Z, arg(z) = arg(a) + 2kπ
∃k ∈ Z, y = arg(a) + 2kπ
⇔
x = ln(|a|)
∃k ∈ Z, y = arg(a) + 2kπ
Le nombre complexe z0 = ln |a| + i arg(a) (qui est bien défini car a 6= 0) est donc bien un antécédent de a par
z 7−→ ez . Les autres antécédents de a par z 7−→ ez sont les nombres complexes de la forme zk = z0 + 2ikπ,
avec k ∈ Z.
0
z
Test 5. Soit le complexe z = −2+i 7π
3 . Ecrire le complexe z = e sous forme exponentielle, trigonométrique
et algébrique.
3
Équations du second degré à coefficients complexes
3.1
Racines carrées d’un nombre complexe
3.1.1
Définition et expression sous forme exponentielle
Définition 25
Soit ∆ un nombre complexe fixé. On appelle racine carrée de ∆ tout nombre complexe δ tel que δ 2 = ∆.
Exemple.
Commentaires
√
Une racine carré de 4 est 2, une racine carré de -1 est i, une racine carré de i est
2
2
√
+i
2
2 .
Proposition 26
Tout nombre complexe non nul possède deux racines carrées distinctes dans C et ces deux racines carrées
sont opposées l’une de l’autre.
Démonstration.
Commentaires
Soit ∆ un nombre complexe non nul fixé. On note r = |∆|, réel strictement positif, et θ un argument de ∆,
alors ∆ = reiθ . On cherche alors δ = ρeiα complexe tel que
δ 2 = ∆ ⇔ (ρeiα )2 = ρ2 ei2α
c’est à dire reiθ = ρ2 ei2α .
√
On en déduit que r = ρ2 et θ = 2α[2π]. Donc ρ = r et α = 2θ [pi].
√ iθ/2
√
√
On obtient donc deux solutions possibles δ = re
et δ 0 = reiθ/2+π = − reiθ/2 .
On vérifie facilement que δ 2 = reiθ = ∆, et donc que δ 0 = −δ vérifie aussi l’équation. Donc ∆ admet exactement
deux racine carré dans C, opposées l’une à l’autre.
12
3.1.2
Recherche des racines carrées d’un nombre complexe sous forme algébrique
Il n’est pas toujours possible de reconnaı̂tre un argument d’un nombre complexe. D’autre part, on peut désirer
déterminer directement les racines carrées d’un nombre complexe sous forme algébrique :
Soit ∆ un nombre complexe non nul fixé. On cherche δ = a + ib un nombre complexe sous forme algébrique
((a, b) ∈ R2 ) tel que δ 2 = ∆.
On a
 2
2
2
 a − b2 = <e(∆) (1)
2
δ =∆
(a − b ) + 2ab i = ∆
2
2ab = Im(∆)
(2)
δ = ∆ ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
|δ|2 = |∆|
a2 + b2 = |∆|
 2
a + b2 = |∆|
(3)
En additionnant les équations (1) et (3), on obtient a2 et donc deux valeurs opposées pour a. Pour chacune
de ces valeurs, on détermine b avec l’équation (2). On trouve alors les deux racines carrées de ∆ sous forme
algébrique.
Exercice 10. Déterminer les racines carrées de ∆ = −3 − 4i.
Commentaires
√
Soit δ = a + ib tel que δ 2 = −3 − 4i, c’est à dire a2 − b2 = −3 et 2ab = −4. De plus |δ|2 = 9 + 16 = 5 donc
a2 + b2 = 5. On obtient donc 2a2 = 2 donc a = 1 ou a = −1. On en déduit b = −2 ou b = 2. Finalement, les
racines carrées de −3 − 4i sont 1 − 2i et −1 + 2i.
Test 6. Déterminer les racines complexes de −5 + 12i.
3.2
Détermination des racines d’un trinôme du second degré
Théorème 27
Considérons une équation du second degré az 2 + bz + c = 0 d’inconnue complexe z, les coefficients
a, b, c étant des nombres complexes et a étant non nul. On note ∆ = b2 − 4ac le discriminant de cette
équation.
−b
– Si ∆ est nul, alors cette équation admet pour unique solution (dite solution double) z0 =
.
2a
– Si ∆ n’est pas nul, cette équation admet exactement deux solutions, qui sont :
z1 =
−b + δ
2a
et
z2 =
−b − δ ,
2a
où δ est une racine carrée de ∆.
Proposition 28
Lorsque les coefficients a, b et c sont des nombres réels, si le nombre complexe z0 est solution de
l’équation az 2 + bz + c = 0, alors son conjugué z0 l’est également. Ainsi, si l’on connaı̂t l’une des deux
racines du trinôme et si celle-ci n’est pas réelle, alors l’autre racine est obtenue par conjugaison.
Démonstration. a, b,√
c étant réels, alors ∆ = b2 − 4ac est aussi un nombre réel.
– Si ∆ > 0, alors δ = ∆ est réel, donc une solution z = −b+δ
2a est réelle aussi. Et z̄ = z est donc solution.
√
– Si ∆ < 0, alors δ = i ∆ est imaginaire pur, donc δ̄ = −δ, donc une solution z = −b+δ
2a a pour conjugué
z̄ = −b−δ
,
qui
est
aussi
solution.
2a
'
$
Proposition 29 (relations coefficients-racines)
Considérons une équation du second degré az 2 + bz + c = 0 d’inconnue complexe z, les coefficients
a, b, c étant complexes avec a non nul. Si z1 et z2 sont les deux solutions de cette équation (si la racine
est double, on la prend en compte deux fois), on a
&
z1 + z2 = −
b
a
et
13
z1 z2 =
c
·
a
%
Commentaires
Démonstration. Il suffit de calculer (avec éventuellement δ = 0 dans le cas d’une racine double) :
z 1 + z2 =
et
z 1 z2 =
−b + δ −b − δ
−b
+
=
2a
2a
a
−b + δ −b − δ
b2 − ∆
b2 − b2 + 4ac
c
b2 − δ 2
=
=
=
×
=
2
2
2
2a
2a
4a
4a
4a
a
'
$
Proposition 30 (Résolution des systèmes somme/produit)
Soient S et P deux nombres complexes. Les nombres complexes z1 et z2 vérifient le système d’équations
z1 + z2 = S,
z1 z2 = P,
si et seulement si ce sont les solutions de l’équation du second degré z 2 − Sz + P = 0.
&
%
Démonstration. On remplace z1 = S − z2 dans la deuxième équation (S − z2 )z2 = P :
Sz2 − z22 = P ⇔ z22 − Sz2 + P = 0
c’est à dire que z2 est solution de z 2 − Sz + P = 0. On peut échanger les rôles de z1 et z2 donc z1 est aussi
solution de cette équation.
4
Racines n-ièmes d’un nombre complexe
4.1
Racines n-ièmes de l’unité
Définition 31
Soit n un entier strictement positif. Les racines n-ièmes de l’unité sont les solutions complexes de l’équation
z n = 1. L’ensemble de ces solutions est noté Un .
Le problème revient à chercher les nombres complexes z = r eiθ qui vérifient
(r eiθ )n = 1, ⇔ rn einθ = 1ei0 .

n
 r=1
r =1
⇔
⇔
2kπ
∃k ∈ Z, nθ = 2kπ
 ∃k ∈ Z, θ =
.
n
2kπ
Les racines n-ièmes de l’unité sont donc les complexes z = 1 × ei n avec k ∈ Z.
On choisit k = 0, k = 1, . . . , k = n − 1 et on obtient ainsi n valeurs différents (modulo 2π). En effet, à partir
de k = n, on retrouve les solutions déjà déterminées. Les racines n-ièmes de l’unité sont donc
ω0 = 1,
ω1 = exp
2iπ ,
...
n
ωk = exp
2ikπ ,
...
n
ωn−1 = exp
2i(n − 1)π
·
n
On peut résumer ces résultats dans le théorème suivant.
Théorème 32
Soit n > 1 un nombre entier. Alors Un = {e2ikπ/n ; k ∈ Z} = {e2ikπ/n ; 0 6 k 6 n − 1}.
En particulier :
(i)
Pour tout k ∈ Z, le nombre e2ikπ/n est une racine n-ième de l’unité.
(ii)
Si z ∈ Un , alors il existe un entier k ∈ {0, . . . , n − 1} tel que z = e2ikπ/n .
(iii)
Il existe exactement n racines n-ièmes de l’unité distinctes.
14
Remarque. Les racines n-ièmes de l’unité sont de module 1. L’ensemble Un est donc un sous-ensemble de U.
Interprétation géométrique : Les images des nombres complexes de l’ensemble Un dessinent dans le plan
complexe un polygone régulier à n côtés, inscrit dans le cercle unité et dont l’un des sommets est le point
d’affixe 1.
Images des racines cinquièmes de l’unité.
Exercice 11. Écrire les racines carrées, cubiques et quatrièmes de l’unité et les représenter dans le plan
complexe.
Commentaires
– Les racines carrées de l’unité sont 1 et −1.
– Les racines cubique de l’unité sont 1, e2iπ/3 et e−2iπ/3 (forment un triangle équilatéral)
– Les racines cubique de l’unité sont 1, i et −1 et −i (forment un carré).
Exercice 12. Soit n > 2. Calculer
n−1
X
e
2ikπ/n
et
k=0
n−1
Y
e2ikπ/n .
k=0
Commentaires
Comme n > 2, on sait que 2π/n 6= 0[2π], donc
n−1
X
e
2ikπ/n
k=0
On a
n−1
Y
e
2ikπ/n
=
n−1
X
e2iπ/n
k=0
=e
2iπ Pn−1
( k=0
n
k)
=e
k
=
1 − (e2iπ/n )n
1−1
=
=0
2iπ/n
1−e
1 − e2iπ/n
2iπ (n−1)n
( 2 )
n
iπ(n−1)
=e
=
k=0
4.2
1,
n impair
−1, n pair
Racines n-ièmes d’un nombre complexe quelconque
Définition 33
Soit n un entier strictement positif et a un nombre complexe Les racines n-ièmes de a sont les solutions
complexes de l’équation z n = a.
15
Technique. Si on sait mettre a sous forme exponentielle, alors on cherche z = reiθ sous forme exponentielle
aussi.
n
r = |a|
n
iθ n
i arg(a)
n inθ
i arg(a)
z = a ⇔ (re ) = |a|e
⇔ r e = |a|e
⇔
nθ = arg(a) + 2kπ
(
p
arg(a)
p
r = n |a|
i
+ 2kπ
n
n
n
⇔ z = |a|e
, k∈Z
⇔
θ = arg(a)
+ 2kπ
n
n
Les valeurs de k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 donnent alors les n racines n-ièmes de a. Géométriquement, les images
des racines n-ièmes d’un nombre complexe a p
dessinent dans le plan complexe un polygone régulier à n côtés,
inscrit dans le cercle de centre O et de rayon n |a| et dont l’un des sommets fait un angle arg(a)
avec l’axe des
n
abscisses.
Remarquons qu’on peut décomposer les racines n-ièmes de a :
z=
arg(a)
p
i
n
n
×
|a|e
{z
}
|
une racine particulière
2kπ
e|i{zn }
,
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
racines n-ième de l’unité
On en déduit la méthode suivante, qui est utile si on ne peut pas mettre a explicitement sous forme exponentielle.
Technique. On cherche les racines n-ièmes de a, ce sont les solutions complexes de l’équation z n = a
– On trouve une solution particulière de cette équation zp (c’est à dire un nombre complexe zp tel que zpn = a).
– On calcule les racines n-ièmes de l’unité : ω0 , ω1 , . . . , ωn−1 .
– Les racines n-ièmes de a sont alors z0 = zp × ω0 , z1 = zp × ω1 , . . . zn−1 = zp × ωn−1
Exercice 13. Déterminer les racines cubiques de −(1 + 2i)3 .
Commentaires
Une racine cubique de Z = −(1 + 2i)3 est −(1 + 2i). Les trois racines cubiques de l’unité sont 1, e2iπ/3 et
e−2iπ/3 , donc les trois racines cubiques de Z sont z1 = −(1 + 2i),
√
√ !
√
1
1
3
3
z − 2 = −(1 + 2i)e2iπ/3 = (−1 − 2i)(− + i
)= 3+ +i 1−
2
2
2
2
et
−(1 + 2i)e−2iπ/3
5
√ !
√
1
1 √
3
3
= (−1 − 2i)(− − i
)= − 3+i 1+
2
2
2
2
Corrigé des tests
Corrigé 1.
(−2 + 6i)(−3 + i)
6 − 2i − 18i − 6
−20i
−2 + 6i
=
=
=
= −2i
−3 − i
(−3 − i)(−3 + i)
9+1
10
p
√
√
√
√
√
Corrigé 2. |z| = |2 + 5i| = 22 + 52 =
4 + 25 =√ 29, |z 0 | = | − 1 + 3i| = (−1)2 + 32 = 1 + 9 = 10.
√
|z + z 0 | = |2 + 5i − 1 + 3i| = |1 + 8i| = 12 + 82 = 65
z=
π
Corrigé 3. z1 = 3e−i 2 = 3(cos(− π2 ) + i sin(− π2 )) = 3(0 − i) = −3i, z2 = ei3π = cos(3π) + i sin(3π) = −1. Le
√
√
√
√
module de z3 = 3 + 3i est |z3 | = 9 + 9 = 2 × 9 = 3 2. On a
√
√ !
√
√
√
√ √ π
1
1
2
2
π
π
z3 = 3 + 3i = 3 2 √ + √ i = 3 2
+
i = 3 2 cos + i sin
= 3 2ei 4
2
2
4
4
2
2
Le module de −1 + i est
p
(−1)2 + 12 =
−1 + i =
√
√
2, donc
√
√ 3π
1
1
2(− √ + i √ ) = 2(cos(3π/4) + i sin(3π/4)) = 2ei 4
2
2
16
on reporte dans z4 :
√ 3π
√ 9π 3π
√ 9π 3π
√
√
√
3π
z4 = ( 2ei 4 )3 ei 4 = 2 2ei 4 ei 4 = 2 2ei 4 +i 4 = 2 2ei3π = 2 2eiπ = 2 2(cos π + i sin π)
Corrigé 4.
eix − e−ix
2i
Corrigé 5. On remarque que
0
−2+i 7π
3
z =e
7π
3
−2 i π3 +2iπ
=e
e
=
π
3
eix + e−ix
2
3
i3x
eix − e−ix
e + 3eix + 3e−ix + e−3ix
sin(x) cos (x) =
=
2i
8
1 ei4x − e−4ix
1
sin 4x + 2 sin 2x
ei2x − e−2ix
i4x
i2x
i2x
−2ix
−2ix
−4ix
=
=
e − e + 3e − 3 + 3 − 3e
+e
−e
=
+2
16i
8
2i
2i
8
3
+ 2π. On a
−2 i π3
=e
e
−2
=e
π
π
cos + i sin
= e−2
3
3
√ !
√ −2
e−2
1
3
3e
=
+i
+i
2
2
2
2
Corrigé 6. On cherche δ = a + ib tel que √
δ 2 = −5 + 12i,
ce qui implique aussi |δ|2 = | − 5 + 12i|. C’est à
√
dire a2 − b2 + 2iab = −5 + 12i et a2 + b2 = 25 + 144 = 169 = 13. On a donc les trois équations suivantes :
a2 − b2 = −5, 2ab = 12 et a2 + b2 = 13. En additionnant la première et la troisième, on obtient 2a2 = 8, donc
a2 = 4 , puis a = 2 ou a = −2. Avec la deuxième équation : si a = 2, on a b = 3 donc δ = 2 + 3i est une racine
carré de −5 + 12i. Si a = −2, on a b = −3 , donc δ = −2 − 3i est l’autre racine carré de −5 + 12i.
17