Introduction aux probabilités

Introduction aux probabilités
Ioan Manolescu
basé sur un cours de Yvan Velenik
February 1, 2017

Ce cours est basé sur le cours du Prof. Yvan Velenik “Probabilités et Statistique”, donné à
l’université de Genève.

Table des matières
1 Introduction: espaces de probabilités 4
1.1 Espacesdeprobabilités.............................. 4
1.2 Construction des espaces de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Univers finis: combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Univers dénombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Universcontinus ............................. 15
1.3 Conditionnement ................................. 19
1.4 Indépendance ................................... 22
1.5 Espacesproduit.................................. 24
1.5.1 Produitsfinis ............................... 24
1.5.2 Produitsinfinis .............................. 26
2 Variables aléatoires 28
2.1 Variables aléatoires et leur lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Exemples ..................................... 29
2.2.1 Loisdiscrètes ............................... 29
2.2.2 Lois continues (à densité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3 Fonctions d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Independence des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Loi jointe; vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Espérance ..................................... 46
2.5.1 Espérance des variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.2 Espérance des variables aléatoires quelconques . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.3 Espérance des variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5.4 Espérance d’une fonction d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . 52
2.6 Varianceetmoments ............................... 56
2.6.1 Inégalité de Markov, Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.7 Espérance conditionnelle; loi conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.7.1 Conditionnement par rapport à un événement . . . . . . . . . . . . . 62
2.7.2 Conditionnement par rapport à une variable discrète . . . . . . . . . 62
2.7.3 Espérance conditionnelle par rapport à une variable générale . . . . . 63
2.7.4 Espérance conditionnelle par rapport à une variable à densité . . . . 64
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TABLE DES MATIÈRES
3 Fonctions génératrices et applications 67
3.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Application: vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 Application: processus de branchement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Théorèmes limites 75
4.1 Convergence des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Loidesgrandsnombres.............................. 80
4.3 Théorèmecentrallimite ............................. 81
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Chapter 1
Introduction: espaces de probabilités
1.1 Espaces de probabilités
Supposons qu’on veut modéliser une expérience dont le résultat est aléatoire. Une façon
de faire cela est de faire une liste de tous les résultats possibles et d’associer à chacun une
probabilité. Ceci est le début du formalisme de la théorie des probabilités, qu’on décrit par
la suite.
Fixons un ensemble Ωqu’on appelle un univers. Les éléments ω∈Ω, qu’on va appeler
“scénarios” ou “issues”, représente les différentes issues possible de notre expérience. Un
ensemble de issues est généralement appelé un événement.
Pour une expérience donnée, les issues peuvent être complexes, et notre information dessus
peut être limitée. Ainsi, on va se limiter à étudier des événements qu’on peut observer.
Définition 1.1. Une algèbre sur Ωest une collection E ⊂ P(Ω) de sous-ensembles de Ω
telle que
(i) ∅∈E,
(ii) si A∈ E, alors Ac:= Ω \A∈ E,
(iii) si A, B ∈ E, alors A∪B∈ E.
On dit que Eest une σ-algèbre (ou une tribu) si en plus des propriétés ci-dessus, on a
pour tous A1, A2, . . . ∈ E,[
n≥1
An∈ E.
Exemple: Supposons qu’on dispose d’une urne avec 4billes, deux rouges, deux noires. De
plus, les billes de chaque couleur ont sont numérotées 1et 2. On en tire une au
hasard.
L’univers qui apparait naturellement est Ω = {(R, 1); (R, 2); (N, 1); (N, 2)}. Une
σ-algèbre naturelle sur Ωest P(Ω) = {A:A⊂Ω}. Cette σ-algèbre nous per-
met de distinguer toutes les billes entre elles, car pour toute bille b1, l’événement
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