Exercice de Probabilités Série 4 : Variables aléatoires

Exercice de Probabilités
Série 4 : Variables aléatoires
CPP
2ème
Année
Promo 12 (2005/2006)
Probabilités : Série 4
CPP
2ème Année
1
(2005/2006)
Exercice 1
Combien de fois doit-on jeter un dé pour que la probabilité d'obtenir un 6 soit plus grande
que 12 ?
Exercice 2
Une roulette contient 36 cases numérotées de 1 à 36, dont 18 sont rouges et 18 sont noires,
plus une case numérotée 0, verte. Un joueur qui mise sur la couleur rouge ou noire, gagne deux
fois sa mise si la couleur misée sort. Si ce joueur mise sur un numéro de 1 à 36, il gagne 36 fois
sa mise. Toute mise sur le numéro 0 est interdite.
1. Le joueur mise au hasard "a" euros sur une couleur. Soit X1 , son gain, trouver la loi de
X1 , puis calculer E(X1 ) et V (X1 ).
2. Le joueur mise au hasard a "euros" sur l'un des numéros de 1 à 36. Déterminer la loi de la
variable aléatoire réelle X2 égale au gain du joueur. Calculer E(X2 ) et V (X2 ).
3. Si vous aviez a "euros" à miser, miseriez-vous sur un numéro de 1 à 36 ou sur une couleur
(rouge ou noire) ?
Exercice 3
On considère un couple de variables aléatoires (X, Y ) dont la loi conjointe est reportée dans
le tableau suivant :
HH Y
X HHH
H
3
4
1.
2.
3.
4.
5.
1
2
a 2a
3a 4a
Déterminer la valeur de a.
Calculer E(X), E(Y ), V (X), V (Y ), σ(X) et σ(Y ).
Déterminer E(XY ), puis calculer Cov(X, Y ) et ρ(X, Y ).
Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
Déterminer les lois conditionnelles de X sachant que l'évènement (Y = 3) est réalisé, puis
la loi conditionelle de Y sachant que (X = 2) est réalisé.
Exercice 4
Comparer les probabilités des deux évènements "Avoir au moins un as dans lancers simultanés
de 6 dés" et "Avoir au moins deux as dans un lancer simultané de 12 dés".
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2
Exercice 5
On lance trois fois une pièce de monnaie bien équilibrée. Calculer la probabilité p pour qu'il
y ait exactement :
1. Trois fois face.
2. Deux fois face.
3. Une fois face.
4. Aucune fois face.
Exercice 6
Soit a et b deux entiers strictement positifs. Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs
entières strictement positives, telle que :
1 1
− si 1 ≤ x ≤ ab
a b
P (X = x) = 0 si x > ab
P (X = x) =
1. Quelle(s) condition(s) doivent vérier a et b pour que la suite de terme général
p(x) = P (X = x) puisse être considérée comme la loi de probabilité de X ?
2. Déterminer la fonction de répartition F (x) de X . Tracer son graphe. Quelles sont les
solutions de l'équation F (X) = 21 (médianes de X ) ?
3. Calculer E(X). Quelles valeurs doit-on donner à a et b pour que l'on ait E(X) = 72 ?
Exercice 7
Soit X une variable aléatoire continue ayant la distribution :
f (x) =
1
6x
+ k si 0 ≤ x ≤ 3
0
ailleurs
1. Calculer k.
2. Calculer P (1 ≤ X ≤ 2).
Exercice 8
Soit X une variable aléatoire continue ayant la distribution :
f (x) =
k
0
si a ≤ x ≤ b
ailleurs
1. Calculer k.
2. Calculer la moyenne µ de X .
3. Déterminer la fonction de répartition F de X .
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Exercice 9
Soit X une variable aléatoire continue ayant la distribution :
f (x) =
k
∀x ∈ IR
1 + x2
1. Calculer k.
2. Que peut-on dire de E(X) et V (X) ?
Exercice 10
Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes et soient F1 (x) et F2 (x) leurs fonctions
de répartition.
Déterminer les fonctions de répartition des variables aléatoires Y = M ax(X1 , X2 )
et Z = M in(X1 , X2 ).
Exercice 11
Soit [a,b] un intervalle de IR.
Soit X une variable aléatoire continue ayant la distribution :
f (x) =
1
b−a
0
si x ∈ [a, b]
ailleurs
On dit que X suit une loi de probabilité uniforme ou que X est équidistribuée sur [a,b].
1. Montrer que f (x) est bien une densité de probabilité. Calculer E(X) et V (X).
2. Calculer la probabilité attachée à un intervalle quelconque [α,β ].
3. Quelle est la fonction de répartition FX de X ?