L3 PSIN Université de Rennes I Examen session 2 juin 2011 (durée 2 heures, une feuille de résumé du cours autorisée) Exercice 1 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur l'intervalle [0, 1] (on rappelle que dans ce cas, la densité de X est donnée par fX (x) = 1[0,1] (x)). 1. Quelle est la loi de la somme X + Y ? 2. Calculer la probabilité P (|X − Y | > 0.5). Exercice 2 Un nombre X de voitures arrivent à un croisement. Elles peuvent ensuite aller sur leur droite (route A) ou sur leur gauche (route B ). On suppose que indépendamment les unes des autres, les voitures empruntent chacune la route A avec probabilité p ∈]0, 1[ et la route B avec probabilité 1 − p. De plus, on suppose que X est une variable aléatoire suivant suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Un observateur situé sur la route A compte alors Y voitures passant sur cette route. 1. Justier que la loi conditionnelle de Y |X = n est une loi binomiale de paramètres n et p. 2. Calculer la loi de Y puis la loi de X|Y = m. 3. Quelle variable aléatoire permet de prévoir X à partir de Y ? Exercice 3 Soit (X, Y ) un vecteur Gaussien de moyenne (1, −1) et de variance Γ= 1 −0.5 . −0.5 1 1. Quelle est la loi de la somme X + Y ? 2. Donner la loi conditionnelle de X|Y = y . Exercice 4 Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires de loi de densité f : R2 → R donnée par 2 f (x, y) = 2xye−xy 1x>0,y>1 . 1. Donner les densités de X et de Y . 1 2. Calculer E XY . 1