variable aléatoire et loi de probabilité

Variables aléatoires
www.mathmaurer.com – Cours – 1ère ES-L
I – Variable aléatoire et loi de probabilité
1 - Définition d'une variable aléatoire
On note E l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire appelé univers.
Définition 1: On appelle variable aléatoire X une fonction qui à chaque issue de E associe un réel.

2 - Loi de probabilité
Notation : On note X = x l'ensemble des antécédents de x par X.
L'ensemble des antécédents de x par X est un ensemble d'issues donc c'est un évènement.

Définition 2: On appelle loi de probabilité de X la fonction qui à chaque évènement X = x associe sa
probabilité p .
Notation : On présente une loi de probabilité sous la forme d'un tableau.
x
x1
x2
…
xn
p (X = x)
p1
p2
…
pn

Propriété 1: Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1 , x2 ,..., xn avec les probabilités p1 , p2 ,..., pn :
• Pour tout i  [1 , n], 0  pi  1 .
• p1  p2  ...  pn  1
3 - Espérance mathématique
Définition 3: On appelle espérance mathématique d'une variable aléatoire X prenant les valeurs
x1 , x2 ,..., xn avec les probabilités p1 , p2 ,..., pn le réel :
E ( X )  x1  p1  x2  p2  ...  xn  pn

Remarque : L'espérance mathématique de la variable aléatoire X s'interprète comme la moyenne des valeurs
prises par X pondérées par leur fréquence d'apparition lorsqu'on répète un grand nombre de fois
l'expérience aléatoire.
Dans le langage des jeux, l'espérance mathématique correspond au gain moyen. Si E ( X )  0 alors le
jeu est équitable.
II – Répétition d'expériences identiques et indépendantes
Définition 4: On dit que 2 expériences sont indépendantes si le résultat de l'une n'a aucune influence sur le
résultat de l'autre.

Propriété 2: Sur un arbre pondéré représentant la répétition d'expériences aléatoires identiques et
indépendantes, la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque
résultat.
