variable aléatoire et loi de probabilité

I – Variable aléatoire et loi de probabilité
1 - Définition d'une variable aléatoire
On note E l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire appelé univers.
 2 - Loi de probabilité
Notation : On note X = x l'ensemble des antécédents de x par X.
L'ensemble des antécédents de x par X est un ensemble d'issues donc c'est un évènement.
Notation : On présente une loi de probabilité sous la forme d'un tableau.
x
x1
x2
…
xn
p (X = x)
p1
p2
…
pn
3 - Espérance mathématique
 Remarque : L'espérance mathématique de la variable aléatoire X s'interprète comme la moyenne des valeurs
prises par X pondérées par leur fréquence d'apparition lorsqu'on répète un grand nombre de fois
l'expérience aléatoire.
Dans le langage des jeux, l'espérance mathématique correspond au gain moyen. Si
( ) 0EX
alors le
jeu est équitable.
II – Répétition d'expériences identiques et indépendantes
Variables aléatoires
www.mathmaurer.com – Cours – 1ère ES-L
Définition 1: On appelle variable aléatoire X une fonction qui à chaque issue de E associe un réel.
Définition 2: On appelle loi de probabilité de X la fonction qui à chaque évènement X = x associe sa
probabilité p .
Propriété 1: Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs
12
, ,..., n x x x
avec les probabilités
12
, ,..., n p p p
:
• Pour tout i  [1 , n],
01
i
p
.
•
12
... 1   
n
p p p
Définition 3: On appelle espérance mathématique d'une variable aléatoire X prenant les valeurs
12
, ,..., n x x x
avec les probabilités
12
, ,..., n p p p
le réel :
1 1 2 2
( ) ...      
nn
E X x p x p x p
Définition 4: On dit que 2 expériences sont indépendantes si le résultat de l'une n'a aucune influence sur le
résultat de l'autre.
Propriété 2: Sur un arbre pondéré représentant la répétition d'expériences aléatoires identiques et
indépendantes, la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque
résultat.