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14 avril 2013
Dérivation
Dans tout le chapitre, I est un intervalle de R.
I
Notion de dérivée
I.A Notion de dérivée
Dénition 1.
Soit f P FpI, Rq. On dit que f est
lim
xÑa
dérivable
en a P I s'il existe un réel noté f 1 paq tel que :
f pxq ´ f paq
“ f 1 paq
x´a
p1q
ou encore (dénition équivalente) :
f pxq “ f paq ` px ´ aqf 1 paq ` oppx ´ aqq
Interprétation géométrique :
et px, f pxqq lorsque x tend vers a.
p2q
f 1 paq est la limite du coecient directeur de la droite passant par les points pa, f paqq
Cf
T
f pxq
f paq
a
Interprétation cinématique :
x
Si dptq est la distance parcourue par un mobile à l'instant t, alors :
dptq ´ dpt0 q
t ´ t0
loooooomoooooon
Vitesse moyenne du mobile
ÝÑ
tÑt0
1
vpt
0 q “ d pt0 q
looooooomooooooon
Vitesse instantanée
du mobile
p
t q
à l'instant
0
pentre les instants t et t0 q
Remarques 1.
1. Si on pose h “ x ´ a, la relation p1q devient :
lim
hÑ0
f pa ` hq ´ f paq
“ f 1 paq
h
p1q
2. De même, si on pose x “ a ` h, la relation p2q devient :
f pa ` hq “ f paq ` hf 1 paq ` ophq
p2q
3. Si f P FpI, Cq, la dénition est la même, et de plus f est dérivable au point a si et seulement si les fonctions
g “ Re f et h “ Im f sont dérivables en a. Dans ce cas, f 1 paq “ g 1 paq ` ih1 paq.
Proposition 1.
Si f est dérivable en a, alors le graphe de f admet une tangente pT q au point M0 pa, f paqq, d'équation :
y “ f paq ` px ´ aqf 1 paq
Remarque 2. Au voisinage de a, la courbe se confond avec la tangente. On peut interpréter ce résultat en exprimant
la distance entre les points d'abscisse x de pCf q et pT q. Leurs ordonnées respectives sont :
"
f pxq “ f paq ` px ´ aqf 1 paq ` oppx ´ aqq
y
“ f paq ` px ´ aqf 1 paq
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Dérivation
I.A
Notion de dérivée
14 avril 2013
La diérence donne : f pxq ´ y “ opx ´ aq, ce qui signie que la distance entre les deux points est négligeable lorsque
x est proche de a.
Proposition 2.
Démonstration.
Si f P FpI, Rq est dérivable en a, alors f est continue en a.
Si f est dérivable en a, alors on peut écrire :
f pxq “ f paq ` px ´ aqf 1 paq ` oppx ´ aqq ÝÑ f paq
xÑa
Donc f est continue en a.
Remarque 3.
"
La réciproque est fausse : la fonction f :
R
x
eet :
Ñ
Þ
Ñ
R
est continue en 0, mais pas dérivable en 0. En
|x|
f pxq ´ f p0q
|x|
“
“ 1 ÝÑ 1.
xÑ0
x´0
x
|x|
f pxq ´ f p0q
“
“ ´1 ÝÑ ´1 ‰ 1.
‚ Pour x ă 0,
xÑ0
x´0
x
‚ Pour x ą 0,
Dénition 2.
Soit f P FpI, Rq. On dit que la fonction f est dérivable à droite (resp. à gauche) en a P I si le rapport :
f pxq ´ f paq
x´a
admet une limite à droite (resp. à gauche) en a. Dans ce cas, on note fd1 paq (resp. fg1 paq) la dérivée à droite (resp. à
gauche) en a. La fonction de l'exemple 3 est dérivable à droite et à gauche en 0.
Interprétation graphique :
au point pa, f paqq.
On remarque, si f est dérivable à droite et à gauche en a, l'existence de demi-tangentes
Cf
f paq
a
Cette constatation justie la proposition suivante :
Proposition 3.
La fonction f est dérivable au point a si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche au
point a et fd1 paq “ fg1 paq.
Remarque 4.
Il n'y a pas toujours existence des dérivées à droite et à gauche. Par exemple, la fonction :
#
1
si x ‰ 0
x sin
f :xÑ
x
0
si x “ 0
n'a ni dérivée à droite, ni à gauche en 0. En eet, si x ‰ 0 :
f pxq ´ f p0q
1
“ sin
x´0
x
Or, on a déjà vu que sin
1
n'admet pas de limite à droite ou à gauche lorsque x tend vers 0.
x
Dénition 3.
Soit f P FpI, Rq. On dit que la fonction f est dérivable sur l'intervalle I si f|I est dérivable en tout
df
point de I . La fonction x ÞÑ f 1 pxq est appelée fonction dérivée de f , et se note f 1 , Df ou
.
dx
Exemples 1.
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Dérivation
I.B
Opérations
14 avril 2013
1. Si @x P R, f pxq “ C (f constante), et x0 P R :
f pxq ´ f px0 q
C ´C
“
“ 0 ÝÑ 0
xÑx0
x ´ x0
x ´ x0
Donc @x P R, f 1 pxq “ 0.
2. Si @x P R, f pxq “ x, et x0 P R :
f pxq ´ f px0 q
x ´ x0
“
“ 1 ÝÑ 1
xÑx0
x ´ x0
x ´ x0
Donc @x P R, f 1 pxq “ 1.
?
3. Si @x P R` , f pxq “ x, et x0 P R˚` :
?
?
?
?
x ´ x0
x ´ x0
1
1
f pxq ´ f px0 q
?
“
“ ?
“?
ÝÑ ?
?
?
?
x ´ x0
x ´ x0
p x ´ x0 qp x ` x0 q
x ` x0 xÑx0 2 x0
1
Donc @x P R˚` , f 1 pxq “ ? .
2 x
I.B Opérations
Proposition 4.
Soient f et g deux fonctions dérivables au point x0 , et λ P R. Alors :
1. f ` g est dérivable en x0 , et pf ` gq1 px0 q “ f 1 px0 q ` g 1 px0 q.
2. λf est dérivable en x0 , et pλf q1 px0 q “ λf 1 px0 q.
3. f g est dérivable en x0 , et pf gq1 px0 q “ f 1 px0 qgpx0 q ` f px0 qg 1 px0 q.
ˆ ˙1
1
1
´f 1 px0 q
4. Si f px0 q ‰ 0, alors
est dérivable en x0 , et
px0 q “ 2
.
f
f
f px0 q
ˆ ˙1
f
f 1 px0 qgpx0 q ´ f px0 qg 1 px0 q
f
est dérivable en x0 , et
px0 q “
.
5. Si gpx0 q ‰ 0, alors
g
g
g 2 px0 q
Démonstration.
On montre uniquement le point 4) :
1
f pxq
´
1
f px0 q
x ´ x0
f px0 q ´ f pxq
1
ˆ
f pxqf px0 q
x ´ x0
1
ˆ p´f 1 px0 qq
f 2 px0 q
“
ÝÑ
xÑx0
Proposition 5
(Composée). Si la fonction f est dérivable au point a et si la fonction g est dérivable au point f paq,
alors g ˝ f est dérivable en a, et :
pg ˝ f q1 paq “ g 1 pf paqq ˆ f 1 paq
Démonstration.
Comme f est dérivable en a, on a :
f pxq “ f paq ` px ´ aqf 1 paq ` opx ´ aq
p1q
Comme g est dérivable en f paq, on a de plus :
gpyq “ gpf paqq ` py ´ f paqqg 1 pf paqq ` opy ´ f paqq
p2q
Avec le choix y “ f pxq, l'expression p2q donne alors :
pg ˝ f qpxq
pg ˝ f qpxq
Donc lim
xÑa
“
gpf pxqq
“
“
`
˘
gpf paqq ` f pxq ´ f paq g 1 pf paqq ` opf pxq ´ f paqq
`
˘
`
˘
gpf paqq ` px ´ aqf 1 paq ` 0px ´ aq g 1 pf paqq ` o px ´ aqf 1 paq ` 0px ´ aq
“
gpf paqq ` px ´ aqf 1 paqg 1 pf paqq ` opx ´ aq
pg ˝ f qpxq ´ pg ˝ f qpaq
“ f 1 paqg 1 pf paqq, d'où le résultat.
x´a
Proposition 6
(Réciproque). Si la fonction f est continue et bijective sur un intervalle I et admet au point a P I
une dérivée non nulle (f 1 paq ‰ 0), alors f ´1 est dérivable en b “ f paq et :
pf ´1 q1 pbq “
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1
`
˘
f 1 f ´1 pbq
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Dérivation
I.C
Dérivées successives
Démonstration.
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Pour y P f pIq, on pose x “ f ´1 pyq ô y “ f pxq (on a y Ñ b ô x Ñ a) :
f ´1 pyq ´ f ´1 pbq
y´b
Exemples 2.
Voir le chapitre
“
Fonctions usuelles
x´a
1
1
ÝÑ
“ 1 ´1
f pxq ´ f paq yÑb f 1 paq
f pf pbqq
pour des applications de cette proposition.
I.C Dérivées successives
Dénition 4.
On dénit les
dérivées successives
"
d'une fonction f sur un intervalle I , si elles existent, par :
f p0q “ f
˘1
`
f pkq “ f pk´1q
si f pk´1q est dérivable.
En particulier, f p1q “ f 1 et f p2q “ f 2 . Si elle existe, f pnq est appelée dérivée nième de f , et peut également se noter
dk f
.
Dk f ou
dxk
On dit que la fonction f est de classe C n sur l'intervalle I si f admet une dérivée nième continue sur I .
Par exemple, f est de classe C 0 si et seulement si f est continue, f est de classe C 1 si et seulement si f est dérivable
et f 1 est continue. On note C n pIq l'ensemble des fonctions de classe C n sur l'intervalle I .
Dénition 5.
Remarque 5.
Si f est dérivable k fois, f, f 1 , . . . , f pk´1q sont continues, mais pas nécessairement f pkq . Par exemple :
#
1
x ÞÑ x2 sin
si x ‰ 0
f:
x
0 ÞÑ
0
est continue et dérivable sur R, mais f 1 n'est pas continue en 0. En eet, il est clair que f est continue est dérivable
sur R˚ (car obtenue à partir d'opérations et de composées de fonctions dérivables). De plus :
f pxq ´ f p0q
1
“ x sin ÝÑ 0
x´0
x xÑ0
donc f est dérivable en 0 et f 1 p0q “ 0. Enn, si x ‰ 0 :
f 1 pxq “ 2x sin
1
1
´ cos
x
x
1
1
Cette dernière expression n'a pas de limite en 0, car 2x sin ÝÑ 0 et cos n'a pas de limite en 0. Donc f 1 n'est pas
xÑ0
x
x
continue en 0.
Dénition 6.
C
8
On dit que f est de classe C 8 si f est de classe C n pour tout n P N. L'ensemble des fonctions de classe
sur un intervalle I se note C 8 pIq.
Remarque 6.
intervalle.
La fonction f est de classe C 8 sur l'intervalle I si et seulement si f est indéniment dérivable sur cet
Si les fonctions f et g admettent des dérivées nièmes (resp. sont de classe C n ) et λ P R,
alors f ` g, λf et f g admettent des dérivées nièmes (resp. sont de classe C n ), et :
Proposition 7 (Opérations).
1. pf ` gqpnq “ f pnq ` g pnq
2. pλf qpnq “ λf pnq
n ˆ ˙
ÿ
n pkq pn´kq
pnq
f g
(formule de Leibniz).
3. pf gq “
k
k“0
Proposition 8.
C k pIq, C 8 pIq sont des s.e.v. de CpIq.
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Dérivation
14 avril 2013
Exemple 3.
Calculer la dérivée nième des fonctions suivantes :
1. f : x ÞÑ p3x2 ` x ´ 5qe´x
2. g : x ÞÑ x3 sin x
3. h : x ÞÑ cos3 x sin2 x
Proposition 9.
Si les fonctions f : I Ñ J et g : J Ñ R sont de classe C n , alors g ˝ f : I Ñ R est de classe C n .
On procède par récurrence sur n. Soient f et g deux fonctions de classe C n :
˝ Initialisation : Pour n “ 0, la propriété est vraie : la composée de deux fonctions continues est continue.
˝ Hérédité : Supposons que la propriété est vraie au rang n (la composée de deux fonctions de classe C n est de classe C n ). Soient f
et g deux fonctions de classe C n`1 , alors f 1 et g 1 sont de classe C n . De plus g ˝ f est dérivable et :
Démonstration.
pg ˝ f q1 “ f 1 ˆ pg 1 ˝ f q
Or g 1 et f sont de classe C n donc, d'après l'hypothèse de récurrence, g 1 ˝ f est de classe C n . pg ˝ f q1 est donc de classe C n , donc g ˝ f
est de classe C n`1 .
˝ Conclusion : Par récurrence, la propriété est donc vraie pour tout entier n ě 0.
II
Théorèmes fondamentaux de la dérivation
II.A Théorème de Rolle et formules des accroissements nis
Théorème 1 (Rolle).
Soit f une fonction à valeurs réelles continue sur un segment ra, bs (a ‰ b) et dérivable sur sa, br
telle que f paq “ f pbq. Alors il existe c Psa, br tel que f 1 pcq “ 0.
Cf
f paq “ f pbq
a
c
b
Remarque 7.
Le théorème ne s'applique pas aux fonctions à valeurs complexes (R Ñ C). Par exemple, avec le choix
de f : x ÞÑ eix , on a f p0q “ f p2πq “ 1, mais :
f 1 pxq “ ieix ‰ 0
@x Ps0, 2πr,
Exercice II.1.
Soit P P RrXs. Montrer que si P a ses racines réelles et distinctes, alors P 1 également.
Théorème 2
(Théorème des accroissements nis ou T.A.F.). Soit f une fonction à valeurs réelles continue sur un
segment ra, bs (a ‰ b) et dérivable sur sa, br. Alors il existe c Psa, br tel que :
f pbq ´ f paq “ pb ´ aqf 1 pcq
f pbq
Cf
f paq
a
c
b
Remarque 8.
On peut écrire la variante suivante : Soit f une fonction à valeurs réelles continue sur un intervalle I
et dérivable sur l'intérieur de I . Alors, pour tout pα, βq P I , il existe c Psα, βr tel que :
f pβq ´ f pαq “ pβ ´ αqf 1 pcq
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Dérivation
II.B
Applications à la variation des fonctions
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Interprétation graphique :
Il existe un point c en lequel la tangente est parallèle à la droite passant par les points
Apa, f paqq et Bpb, f pbqq. Le théorème de Rolle est un cas particulier du T.A.F. avec f paq “ f pbq (la tangente est
horizontale).
Démonstration.
On pose :
ˆ
ϕpxq “ f pxq ´
˙
f pbq ´ f paq
px ´ aq ` f paq
b´a
loooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooon
Expression de la fonction ane qui coïncide avec f en a et b
ϕ est dérivable sur sa, br, continue sur ra, bs et ϕpaq “ ϕpbq “ 0, donc d'après le théorème de Rolle, Dc Psa, br tel que ϕ1 pcq “ 0. Or :
ϕ1 pcq “ f 1 pcq ´
Donc f 1 pcq “
f pbq ´ f paq
“0
b´a
f pbq ´ f paq
, ce qui donne le résultat.
b´a
Remarque 9.
Ce théorème ne s'applique pas non plus aux fonctions à valeurs complexes.
Exercice II.2.
Montrer que @px, yq Ps0, 1r2 tels que x ă y , on a :
y´x
y´x
?
ă arcsin y ´ arcsin x ă a
1 ´ x2
1 ´ y2
Corollaire 1 (Inégalités des accroissements nis ou I.A.F.). Soit f une fonction à valeurs réelles continue sur un
segment ra, bs (a ă b) et dérivable sur sa, br :
1. S'il existe m, M P R tels que @x Psa, br, on a m ď f 1 pxq ď M , alors :
mpb ´ aq ď f pbq ´ f paq ď M pb ´ aq
2. S'il existe M P R tel que @x Psa, br, on a |f 1 pxq| ď M , alors :
|f pbq ´ f paq| ď M |b ´ a|
Démonstration.
Ces propriétés découlent directement du théorème des accroissements nis et de l'encadrement de f 1 .
Interprétation cinématique :
On note dptq la distance parcourue par un mobile à l'instant t et vptq “ d1 ptq sa
vitesse instantanée à l'instant t. L'inégalité des accroissements nis indique que si la vitesse instantanée est majorée
par un réel k , la vitesse moyenne l'est également.
II.B Applications à la variation des fonctions
Théorème 3.
Soit f une fonction à valeurs réelles continue sur un segment ra, bs (a ă b) et dérivable sur sa, br. Alors :
1. f croissante sur ra, bs ô @x Psa, br, f 1 pxq ě 0.
2. f décroissante sur ra, bs ô @x Psa, br, f 1 pxq ď 0.
3. f constante sur ra, bs ô @x Psa, br, f 1 pxq “ 0.
On va démontrer 1q et 3q :
1) ñ : On suppose f croissante sur ra, bs. Soit x0 Psa, br. f est croissante, donc f pxq ´ f px0 q est du signe de x ´ x0 , d'où :
Démonstration.
f pxq ´ f px0 q
ě0
x ´ x0
f pxq ´ f px0 q
ě 0.
x ´ x0
ð : On suppose @x Psa, br, f 1 pxq ě 0. Soient x1 , x2 P ra, bs (x1 ă x2 ). D'après le théorème des accroissements nis :
On en déduit : f 1 px0 q “ lim
xÑx0
Dc Psx1 , x2 r tel que f px2 q ´ f px1 q “ px
fo1mo
pcq
2 ´ x1 q lo
looomooon
on ě 0
ě0
ě0
Donc f px1 q ď f px2 q, f est donc croissante sur ra, bs.
3) Il sut d'utiliser 1q et 2q :
f constante sur ra, bs
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ô
f croissante et décroissante sur ra, bs
ô
@x Psa, br, f 1 pxq ě 0 et f 1 pxq ď 0
ô
@x Psa, br, f 1 pxq “ 0
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Dérivation
II.C
Dérivées aux bornes d'un intervalle
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Proposition 10.
Soit f une fonction à valeurs réelles continue sur ra, bs (a ă b) et dérivable sur sa, br, telle que
@x Psa, br, f 1 pxq ą 0 (resp. ă 0). Alors f est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur ra, bs.
Remarque 10.
La réciproque est fausse. En eet la fonction f : x ÞÑ x3 est strictement croissante sur R, mais sa
dérivée n'est pas strictement positive car f 1 p0q “ 0.
Proposition 11.
Si f admet un extrémum en a et si f est dérivable au point a, alors f 1 paq “ 0.
Cf
a a`α
a´α
Démonstration.
Si f admet un maximum local en a, alors il existe α ą 0 tel que f paq est le maximum de f sur sa ´ α, a ` αr.
f pxq ´ f paq
Si x ą a,
ď 0, donc par passage à la limite (à droite), on a f 1 paq ď 0.
x´a
f pxq ´ f paq
Si x ă a,
ě 0, donc par passage à la limite (à gauche), on a f 1 paq ě 0.
x´a
En conclusion, on a bien f 1 paq “ 0.
Remarque 11.
La réciproque de cette proposition est fausse. La fonction f : x ÞÑ x3 en est (encore) un contre-exemple.
En eet, on a f p0q “ 0, mais 0 n'est pas un extrémum de f car f est strictement croissante.
1
Cf
La proposition nous donne seulement des extréma possibles (condition nécessaire d'existence). Il convient ensuite
d'étudier les variations de la fonction.
II.C Dérivées aux bornes d'un intervalle
Théorème 4 (Prolongement des fonctions de classe C 1 ).
C 1 sur Iztau, avec a P I .
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et de classe
Si f 1 admet une limite ` en a, alors f est dérivable en a et f 1 paq “ `, donc f est de classe C 1 sur I .
Démonstration.
Soit x P Iztau xé. On applique le théorème des accroissements nis sur l'intervalle ra, xs :
Dcx Psa, xr tel que
f pxq ´ f paq
“ f 1 pcx q
x´a
Or lim cx “ a, donc lim f 1 pcx q “ `. D'où :
xÑa
xÑa
f pxq ´ f paq
“`
x´a
1
1
1
f est donc dérivable en a, et lim f pxq “ ` “ f paq. Donc f est continue en a, ce qui prouve que f est de classe C 1 sur I .
lim
xÑa
xÑa
Remarques 12.
1. Le théorème peut s'appliquer pour établir que f est dérivable à droite (resp. à gauche) en a P I .
2. Dans le cas où lim f 1 pxq “ ˘8, la courbe de f admet une demi-tangente verticale en a, car :
xÑa
f pxq ´ f paq
“ ˘8
xÑa
x´a
lim f 1 pxq “ ˘8 ñ lim
xÑa
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Dérivation
II.C
Dérivées aux bornes d'un intervalle
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3. Attention ! f peut être dérivable en a et de classe C 1 sur Iztau sans être de classe C 1 sur I . Par exemple :
#
1
x ÞÑ x2 sin
si x ‰ 0
f:
x
0 ÞÑ 0
est dérivable sur R, de classe C 1 sur R˚ mais pas sur R.
Exercice II.3.
$
’
&
1
´
πx ¯3
1 ´ sin
Soit la fonction f dénie par f pxq “
’
2
%
0
si x ă 0
si 0 ď x ď 1
si x ą 1
1. f est-elle de classe C sur R ? f admet-elle une dérivée seconde sur R ?
1
2. Remplacer f sur r0, 1s par une fonction polynomiale P de degré minimal tel que f soit de classe C 2 sur R.
Solution.
P pxq “ ´6x5 ` 15x4 ´ 10x3 ` 1.
Exercice II.4.
"
Soit f :
x
x
1
Þ
Ñ
e´ x
ÞÑ
0
si x ą 0
si x ď 0
1. Montrer que f est de classe C 8 sur R˚ et que :
@x P
R˚` ,
f
pnq
ˆ ˙
1
1
e´ x
pxq “ Pn
x
où Pn est un polynôme.
2. Montrer que f est de classe C 8 sur R.
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Dérivation
14 avril 2013
III
Approximation des solutions d'une équation
f pxq “ 0.
Étude de suites
un`1 “ f pun q
Soit I un intervalle de R et f : I Ñ R une fonction.
III.A Méthode de dichotomie
Principe : On suppose ici que la fonction f est continue. Sous cette hypothèse, il s'agit de déterminer la valeur
approchée d'une solution de l'équation f pxq “ 0. Pour cela, on se donne un segment ra, bs avec f paqf pbq ă 0 (f paq et
f pbq sont de signes contraires).
Cf
a
x0 c
b
Le théorème des valeurs intermédiaires dit qu'il existe x0 Psa, br tel que f px0 q “ 0. On suppose par la suite que x0
est le seul zéro de f entre a et b (c'est le cas par exemple si f est strictement croissante).
1ère étape : On note c le milieu de ra, bs :
Si f paqf pcq ą 0, x0 est dans rc, bs : on choisit ra1 , b1 s “ rc, bs.
Si f paqf pcq ă 0, x0 est dans ra, cs : on choisit ra1 , b1 s “ ra, cs.
2ème
étape :
On applique le principe de la première étape au segment ra1 , b1 s. On obtient un segment ra2 , b2 s. . .
En réitérant le procédé, on obtient au bout de n étapes un segment ran , bn s contenant x0 , de longueur égale à
b´a
bn ´ an “ n qui représente l'erreur d'approximation.
2
?
Exemple 4. On donne la fonction f : x ÞÑ x2 ´ 2. L'équation f pxq “ 0 admet une racine positive x0 “ 2. On
cherche à évaluer celle-ci :
On a f p1q “ ´1 ă 0 et f p2q “ 2 ą 0, donc x0 Ps1; 2r.
f p1, 5q “ 0, 25 ą 0, donc x0 Ps1; 1, 5r.
f p1, 25q “ ´0, 4375 ă 0, donc x0 Ps1, 25; 1, 5r.
f p1, 375q » ´0, 1 ă 0, donc x0 Ps1, 375; 1, 5r.
?
1
À chaque étape, on se rapproche de la valeur de 2 » 1, 41421 avec la précision n . On peut par exemple, calculer le
2
1
nombre d'étapes nécessaires an d'obtenir une précision de 10´8 . On doit avoir n ď 10´8 . Or :
2
1
ď 10´8
2n
1
ď 10´8
2n
ô 2n ě 108
ô n ln 2 ě 8 ln 10
8 ln 10
ô ně
» 26, 58
ln 2
On constate donc que la précision de 10´8 est atteinte après 27 étapes, ce qui est peu performant. A titre de comparaison, la méthode de Newton est bien plus rapide (cf III.C).
?
Écrire une procédure Maple qui détermine la valeur approchée de 2 à la 27ième étape.
III.B Suites un`1 “ f pun q
Principe :
f étant une fonction continue sur un intervalle I , on cherche à étudier les suites dénies par la relation
de récurrence :
"
u0
“ aPI
un`1 “ f pun q
Une telle suite n'est pas toujours dénie. En eet, pour calculer le terme un`1 , il faut nécessairement que le terme un
soit dans l'ensemble de dénition de la fonction f .
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Dérivation
III.B
Suites
Exemple 5.
un`1 “ f pun q
14 avril 2013
La suite :
$
&
1
2
?
un
“
u0
“
% u
n`1
P r0; 1s
est bien dénie (on peut montrer par récurrence que @n P N, un P r0; 1s).
En revanche, la suite :
"
u0
un`1
“ ? 5
un ´ 1
“
n'est pas dénie. En eet, on peut calculer u1 “ 2, u2 “ 1, u3 “ 0, mais u4 n'est pas déni.
Convention :
On suppose donc que f pIq Ă I , ainsi on a :
"
u0 P I
un P I ñ un`1 “ f pun q P I
ce qui assure par récurrence que un est bien déni pour tout entier naturel n.
III.B.1 Plan d'étude d'une suite récurrente
À bien assimiler ! !
"
u0
un`1
On cherche à étudier les propriétés de la suite
“ aPI
.
“ f pun q
Voici les diérentes étapes à suivre :
1. Calcul éventuel de quelques termes de la suite u0 , u1 , u2 . . .
2. Recherche des points xes de la fonction f (solutions de l'équation f pxq “ x), qui sont les seules limites possibles
pour la suite pun qnPN (cf III.B.2).
3. Étude de la fonction f . On place les points xes et les termes calculés dans le tableau de variations.
4. Détermination d'un intervalle I tel que u0 P I et f pIq Ă I . On choisit I (si possible) pour que f soit monotone
sur I .
5. Si f est croissante sur I , alors la suite pun qnPN est monotone (cf III.B.3). On peut conclure.
6. Si f est décroissante sur I , la suite pun qnPN n'est pas monotone. Le théorème des accroissements nis permet de
conclure sous certaines conditions (cf III.B.4).
III.B.2 Limite d'une suite récurrente
Si la suite pun qnPN converge vers une limite `, alors on a un Ñ ` et un`1 Ñ `. f étant continue, la relation :
un`1 “ f pun q
donne, par passage à la limite, la relation ` “ f p`q (` est donc un point xe de f ). Les limites possibles sont donc
nécessairement solutions de l'équation ` “ f p`q.
On note `1 et `2 deux points xes consécutifs de f .
III.B.3 Cas où f est croissante et
I “ r`1 , `2 s
On va montrer que pun qnPN converge vers `1 ou `2 . Deux cas sont possibles :
`2
u4
u3
`2
Cf
u1
Cf
u2
u1
u2
u3
u4
`1
O
`1
`1 u3
er
1
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u2
u1
u0
`2
`1
O
cas : u1 ď u0
ème
2
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u0
u1
u2 u3 `2
cas : u1 ě u0
Dérivation
III.B
Suites
un`1 “ f pun q
14 avril 2013
1er cas : Si u1 ď u0 , on montre par récurrence que @n P N, un`1 ď un . En eet :
un`1 ď un ñ f pun`1 q ď f pun q (car f est croissante) ñ un`2 ď un`1
Donc la suite pun qnPN est décroissante. Comme de plus elle est minorée par `1 , elle converge donc. Sa limite est
`1 (on a vu que c'est la seule limite possible).
2ème cas : Si u1 ě u0 , on montre de la même manière par récurrence que @n P N, un`1 ě un . En eet :
un`1 ě un ñ f pun`1 q ě f pun q (car f est croissante) ñ un`2 ě un`1
Donc la suite pun qnPN est croissante. Comme de plus elle est majorée par `2 , elle converge donc. Sa limite est `2
(là encore, c'est la seule limite possible).
Évidemment, nous ne sommes pas toujours exactement dans ce cas de gure (deux points xes), mais celui-ci
illustre les diérentes possibilités lorsque f est croissante.
Exemple 6.
Étudions la suite pun qnPN dénie par :
$
& u0
% un`1
“
“
´1
3 ` 2un
2 ` un
On peut commencer par calculer quelques termes pour conjecturer les variations de la suite :
u1 “ 1 ; u2 “
On pose ensuite f pxq “
variations de f :
5
...
3
3 ` 2x
1
ě 0. Ce calcul nous permet d'établir le tableau de
, puis on calcule f 1 pxq “
2`x
p2 ` xq2
x
´8
´2
´1
`8
2
`8
f pxq
1
2
´8
On remarque que f pr´1, `8rq “ r1, 2rĂ r´1, `8r, car f p´1q “ 1 et f est croissante et continue sur cet intervalle.
Donc la suite pun qnPN est à valeurs dans r´1, `8r (et à valeurs dans r1, 2r pour n ě 1). De plus, u1 ´ u0 “ 2 ě 0.
Comme f est croissante sur r´1, `8r, ceci prouve que la suite un est croissante (le raisonnement est le même que
pour III.B.3). Enn, pun q est majorée par 2 d'après le tableau de variation, donc converge vers une limite `. Comme
f est continue, on a de même qu'en III.B.2 :
3 ` 2`
2``
ô `p2 ` `q “ 3 ` 2` ô 2` ` `2 “ 3 ` 2`
?
?
ô `2 ` 3 “ 0 ô ` “ 3 ou ` “ ´ 3
?
?
Or, on ne peut avoir lim un “ ´ 3 car @n P N, un P r´1, `8r, donc on a lim un “ 3
`“
Remarque 13.
Si f est décroissante, l'étude de la suite pun qnPN est plus délicate. En eet, si u1 ě u0 par exemple,
on a, compte tenu de la décroissance de f :
f pu1 q “ u2 ď f pu0 q “ u1 ; f pu2 q “ u3 ě f pu1 q “ u2 ; etc . . .
La suite pun qnPN est oscillante (on peut cependant remarquer que les suites extraites pu2n q et pu2n`1 q sont monotones
car f ˝ f est croissante).
III.B.4 Utilisation du théorème des accroissements nis
Principe : On suppose que f est dérivable sur un intervalle I
avec f pIq Ă I et qu'il existe k P r0, 1r tel que
@x P I, |f 1 pxq| ď k . On suppose également qu'il existe α P I tel que f pαq “ α.
On va montrer dans ce cas que pun qnPN converge vers α (la démarche est toujours la même, mais il faut être capable
de la reproduire dans les exercices). D'après l'inégalité des accroissements nis, on a :
@a, b P I, |f pbq ´ f paq| ď k|b ´ a|
On a en particulier, avec b “ un et a “ α :
|un`1 ´ α| “ |f pun q ´ f pαq| ď k|un ´ α|
Par récurrence (à faire), on montre nalement que @n P N, |un ´ α| ď k n |u0 ´ α|. Comme k n ÝÑ 0, on a alors
nÑ`8
un Ñ α.
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Dérivation
III.C
Résolution approchée de l'équation
Exemple 7.
f pxq “ 0.
Méthode de Newton.
14 avril 2013
On dénit la suite pun qnPN par :
"
u0
un`1
“ ? 0
2 ´ un
“
On commence par calculer quelques termes :
c
b
b
?
?
u1 “ 2 ; u2 “ 2 ´ 2 ; u3 “ 2 ´ 2 ´ 2
?
?
Il semble que @n P N, un P r0, 2s, ce que l'étude de la fonction f : x ÞÑ 2 ´ x devrait conrmer. f est dénie sur
s ´ 8, 2s et dérivable sur s ´ 8, 2r. On calcule alors :
?
´1
f 1 pxq “ ?
ă 0 pour x Ps ´ 8, 2r
2 2´x
et on obtient le tableau de variations de f :
x
´8
?
0
2
2
`8
?
2
f pxq
b
2´
?
2
0
L'étude de la suite pun qnPN est plus dicile car la fonction f est décroissante. Cependant, on a :
b
?
?
?
f p0q “ 2 et f p 2q “ 2 ´ 2 ě 0
?
?
?
valeurs dans r0,
donc comme f est décroissante, f pr0, 2sq Ă r0, 2s, donc la suite pun qnPN est bien dénie et à ?
? 2s.
Déterminons une éventuelle?limite de la suite pun qnPN . Si pun q Ñ `, alors f étant continue sur r0, 2s, on a ` “ 2 ´ `
et ` ě 0 (@n P N, un P r0, 2s). Or :
" 2
"
` “ 1 ou ` “ ´2
` “2´`
ô
`ě0
`ě0
donc si pun qnPN converge, sa limite est 1. On va maintenant utiliser le T.A.F. pour montrer que lim un “ 1, et pour
cela commencer par majorer |f 1 | :
?
1
1
@x P r0, 2s, |f 1 pxq| “ ?
ď a
? “kă1
2 2´x
2 2´ 2
Écrire la démonstration par récurrence qui prouve que :
@n P N, |un ´ 1| ď k n |u0 ´ 1| “ k n ÝÑ 0
nÑ`8
Donc pun q converge et lim un “ 1.
III.C Résolution approchée de l'équation f pxq “ 0. Méthode de Newton.
Principe :
On suppose ici que f est de classe C 1 sur un intervalle I de R et qu'elle s'annule en α P I . On veut
résoudre de manière approchée l'équation f pxq “ 0 en utilisant le principe géométrique suivant :
Cf
O
u3 u2
u1
a “ u0
Méthode de la tangente
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Dérivation
III.C
Résolution approchée de l'équation
f pxq “ 0.
Méthode de Newton.
14 avril 2013
Un point u0 “ a de l'intervalle I étant choisi, on considère l'intersection de la tangente à la courbe au point a et de
l'axe des abscisses. On obtient un point u1 P I . En réitérant le procédé, on construit une suite récurrente pun qnPN qui
converge (sous certaines conditions que l'on étudiera) très rapidement vers α.
Cette méthode est appelée
méthode de Newton
ou
méthode de la tangente.
On va maintenant établir la relation de récurrence. L'équation de la tangente T à la courbe de f au point un est :
y “ f 1 pun qpx ´ un q ` f pun q
Le terme un`1 est obtenu comme abscisse de l'intersection de la tangente et de l'axe des abscisses, donc : f 1 pun qpun`1 ´
un q ` f pun q “ 0.
f pun q
. La suite un est donc dénie par :
On obtient par la suite : un`1 “ un ´ 1
f pun q
$
“ a
& u0
f pun q
% un`1 “ un ´ 1
f pun q
Application
de la méthode
?
de
On va maintenant utiliser la méthode de Newton pour calculer une valeur approchée
2, comme en III.A. Dans ce cas particulier, on a : f pxq “ x2 ´ 2, et la relation de récurrence est :
un`1 “ un ´
La suite un qui permet d'approcher
u2n ´ 2
u2 ` 2
“ n
.
2un
2un
?
2 (solution positive de l'équation f pxq “ 0) est donc dénie par :
$
“ a (valeur à déterminer)
& u0
u2n ` 2
% un`1 “
2un
On peut maintenant étudier cette suite an d'établir si elle converge et, si c'est le cas, quelle est sa vitesse de
convergence.
x2 ` 2
. Étudions les variations de g sur R˚` . On a :
On pose gpxq “
2x
@x P R˚` ,
g 1 pxq “
2px2 ´ 2q
2x ˆ 2x ´ 2px2 ` 2q
“
4x2
4x2
On obtient le tableau de variations suivant sur s0, `8r de g :
?
x
`8
0
2
g 1 pxq
´
0
`8
`
`8
gpxq
?
2
Il reste à bien
?
? choisir le terme initial a “ u0 de la?suite an de s'assurer que celle-ci converge. Constatant que
gpr 2, `8rq “ r 2, `8r, on a donc un intervalle I “ r 2, `8r stable par g , et on peut choisir par exemple a “ 2.
3
1
g étant strictement croissante sur I , le signe de u1 ´ u0 “ ´ 2 “ ´ ă 0 nous assure que la suite pun qnPN est
2
2
?
strictement
décroissante. Étant minorée par 2, elle converge donc vers le seul point xe de g sur I , c'est à dire vers
?
2.
Ce dernier point étant assuré, il reste à estimer la vitesse de convergence. Le plus simple est ici de calculer :
?
?
?
pun ´ 2q2
u2n ` 2 ?
u2n ´ 2 2un ` 2
un`1 ´ 2 “
´ 2“
“
2un
2un
2un
?
Comme sur l'intervalle I , on a : un ě 2, on a nalement :
?
?
?
pun ´ 2q2
?
0 ď un`1 ´ 2 ď
“ kpun ´ 2q2
2 2
C'est ce qu'on appelle une convergence quadratique, c'est à dire que l'erreur d'approximation au rang n ` 1 est de
l'ordre du carré de celle au rang n. Par exemple, si l'erreur d'approximation est de l'ordre de 10´2 au rang n, elle est
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Dérivation
III.D
Exemples d'études de fonctions
14 avril 2013
de l'ordre de 10´4 au rang n ` 1, de l'ordre de 10´8 au rang n ` 2, etc,...
Le nombre de décimales double (au moins) à chaque itération, ce qui donne avec u0 “ 1 (en gras les chires exacts) :
u1
“
u2
“
u3
“
u4
“
u5
“
3
“ 1.500000000000000 . . .
2
17
“ 1.416666666666667 . . .
12
577
“ 1.414215686274510 . . .
408
665857
“ 1.414213562374690 . . .
470832
886731088897
“ 1.414213562373095 . . .
627013566048
On constate en particulier que la précision 10´8 est dépassée pour n ě 4, à comparer avec la méthode de dichotomie...
III.D Exemples d'études de fonctions
Nous allons maintenant mettre à contribution toutes les connaissances acquises sur la continuité et la dérivabilité des
fonctions pour procéder à des études complètes (variations, limites, prolongements éventuels par continuité et nature
de ceux-ci, tracé) :
1er
exemple :
1
f : x ÞÑ lnp2 ´ e x q
Cherchons le domaine de dénition de f :
x P Df
"
x‰0
1
ô
2 ´ ex ą 0
#
x‰0
ô
ô
ln 2 ą
#
ô
1
x
"
x‰0
1
2 ą ex
(car ln est croissante)
x‰0
x ln 2 ´ 1
ą0
x
Un tableau de signes nous indique donc que Df “s ´ 8, 0rYs
1
, `8r.
ln 2
Étudions la continuité, la dérivabilité et les variations de f :
f est de classe C 1 sur son ensemble de dénition car obtenue à partir d'opérations et de composées de fonctions
de classe C 1 . Si x P Df , on calcule :
1
1 ex
f 1 pxq “ 2
ą0
x 2 ´ e x1
1
Donc f est strictement croissante sur s ´ 8, 0r et sur s
, `8r.
ln 2
Cherchons les limites aux bornes de Df :
On a clairement : lim f pxq “ lnp2 ´ e0 q “ ln 1 “ 0, donc Cf admet l'asymptote horizontale pOxq en ˘8.
xÑ˘8
De plus, on a :
1
lim1 2 ´ e x “ 0, donc
xÑ ln 2
lim f pxq “ ´8. Cf admet donc l'asymptote verticale d'équation
xÑ ln12
1
1
en
.
ln 2
ln1 2
Enn, lim e x “ 0 donc lim f pxq “ ln 2. On peut donc eectuer un prolongement par continuité en 0 en posant
x“
xÑ0´
f p0q “ ln 2.
xÑ0´
Étudions le comportement de f au voisinage du point de continuité :
On va montrer que f se prolonge ainsi en une fonction de classe C 1 sur s ´ 8, 0s. On pose u “ ´
1
f 1 pxq “
´u
1 ex
2 e
“
u
1
x2 2 ´ e x
2 ´ e´u
„
uÑ`8
1
ÝÑ `8 :
x xÑ0´
u2 e´u
ÝÑ 0
2 uÑ`8
(d'après les théorèmes de croissances comparées). Donc le prolongement de f est de classe C 1 sur Df et f 1 p0q “ 0.
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Dérivation
III.D
Exemples d'études de fonctions
14 avril 2013
On peut maintenant établir le tableau de variations de f et le tracé de Cf :
1
x
´8
0
ln 2
f 1 pxq
0
`
`8
`
0
ln 2
f pxq
0
´8
Cf
O
2ème
exemple :
f : x ÞÑ xx`1
On peut écrire f pxq “ epx`1q ln x . Il est clair que Df “ R˚` .
Étudions la continuité, la dérivabilité et les variations de f :
f est de classe C 1 sur R˚` car obtenue à partir d'opérations et de composées de fonctions de classe C 1 . Si x P Df ,
on calcule :
ˆ
˙
x ` 1 px`1q ln x
1
e
f pxq “ ln x `
x
loooooooomoooooooon
hpxq
Le signe de f 1 pxq est celui de hpxq. On a :
@x P R˚` , h1 pxq “
x´1
x2
Le tableau de variations de h montre alors que le minimum de h sur s0, `8r est hp1q “ 2, donc h est strictement
positive sur R˚` (ainsi que f 1 ). f est donc strictement croissante sur R˚` .
Cherchons les limites aux bornes de Df :
On a : lim px ` 1q ln x “ `8, donc lim f pxq “ `8. De plus :
xÑ`8
xÑ`8
f pxq
“ xx “ ex ln x ÝÑ `8
xÑ`8
x
donc Cf admet une branche parabolique de direction pOy q.
De plus, lim px ` 1q ln x “ ´8, donc lim f pxq “ 0. On peut donc eectuer un prolongement par continuité
xÑ0`
en 0 en posant f p0q “ 0.
xÑ0`
Étudions le comportement de f au voisinage du point de continuité :
Montrons que f se prolonge en une fonction de classe C 1 sur r0, `8r. On a :
ˆ
˙
x ` 1 px`1q ln x
f 1 pxq “ ln x `
e
“ px ` 1 ` x ln xqex ln x ÝÑ 1
xÑ0
x
car x ln x ÝÑ 0 (d'après les théorèmes de croissances comparées). Donc le prolongement de f est de classe C 1
xÑ0
sur R` et f 1 p0q “ 1.
On peut maintenant établir le tableau de variations de f et le tracé de Cf :
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Dérivation
III.D
Exemples d'études de fonctions
14 avril 2013
x
0
1
f pxq
1
`
`8
Cf
1
y“x
`8
f
Cf ´1
1
O
0
On peut remarquer enn l'existence d'une fonction réciproque : f est strictement croissante et continue sur
r0, `8r donc établit une bijection de r0, `8r dans f pr0, `8rq “ r0, `8r. f ´1 est continue, strictement croissante
et dérivable sur r0, `8r (car f 1 ą 0).
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Dérivation
TABLE DES MATIÈRES
14 avril 2013
Table des matières
I Notion de dérivée
1
II Théorèmes fondamentaux de la dérivation
5
I.A Notion de dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.B Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.C Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.A Théorème de Rolle et formules des accroissements nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.B Applications à la variation des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.C Dérivées aux bornes d'un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III Approximation des solutions d'une équation f pxq “ 0. Étude de suites
III.A Méthode de dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.B Suites un`1 “ f pun q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.B.1 Plan d'étude d'une suite récurrente . . . . . . . . . . . . . .
III.B.2 Limite d'une suite récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.B.3 Cas où f est croissante et I “ r`1 , `2 s . . . . . . . . . . . . .
III.B.4 Utilisation du théorème des accroissements nis . . . . . . .
III.C Résolution approchée de l'équation f pxq “ 0. Méthode de Newton.
III.D Exemples d'études de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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un`1 “ f pun q
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1
3
4
5
6
7
9
9
9
10
10
10
11
12
14
Dérivation