§2. Opérateurs Compacts

§2. Opérateurs Compacts
Opérateurs linéaires compacts
Soit Aun opérateur linéaire d’un espace normé Edans un espace normé
F; on dit que Aest un opérateur compact s’il envoie tout ensemble borné G
dans Eà un ensemble relativement compact A(G)dans F: Autrement dit,
la ferméture A(G)est compacte.
Ensembles relativement compacts
Un ensemble GEest relativement compact si pour toute suite fung
de G; il existe une sous suite fun(k)gqui converge dans F:
Théorème 1 (critère de compacité)
Un opérateur linéaire A:E!Fest compact si et seulement si pour
toute suite bornée 'nde E; la suite A'ncontient une sous suite convergente
de F:
Démonstration
Il su¢ t d’appliquer les dé…nitions appropriés d’un ensemble borné et un
ensemble relativement compact.
Théoréme 2
Une combinaison linéaire A=A1+A2des opérateurs compacts est un
opérateur compact.
Démonstration
Soit f'ngune suite borné de Eet soit fA'ngune suite de F; alors
A'n(x) = A1'n(x) + A2'n(x);avec 'n2E; n 2N:
A1et A2étant compacts, on peut extraire de fA1'nget de fA2'ngdeux
sous suites convergentes qui donne par leur somme une sous suite convergente
de fA'ng;donc Aest compact.
Théorème 3
Le produit AB de deux opérateurs bornés Aet Best compact si l’un des
opérateurs Aou Best compact.
1

Démonstration
Soit f'ngun suite bornée de E; alors si Best un opérateur borné la suite
B'n(x)est aussi bornée, et de la compacité de l’opérateur Ail existe une
sous suite de A(B'n(x)) qui converge, ce qui implique que AB est compact.
D’autres part si Best compact, on peut extraire de la suite B'n(x)une
sous suite convergente B'n(k)(x);et de la continuité de l’opérateur Acar il est
borné la suite A(B'n(k)(x)) converge, ce qui implique que AB est compact.
Théorème 4
Soit Eun espace normé et Fun espace de Banach, et soit fAngune suite
d’opérateurs compacts de Edans F; convergente en norme vers l’opérateur
linéaire Ade Edans F
lim
n!1 kAnAk= 0:
Alors Aet compact.
Démonstration
Soit f'ngune suite bornée de E; l’opérateur A1étant compact, on peut
extraire de la suite fA1'ngune sous suite convergente; soit f'1
ngune sous
suite de f'ngtelle que, fA1'1
ngsoit convergente.
De la même façon, on peut extraire de la suite fA2'1
ngune sous suite
convergente, car A2est compact; soit f'2
ngune sous suite de f'1 ngtelle que,
la suite fA2'2
ngsoit convergente.
Remarquons que, la suite fA1'2
ngest une sous suite de la suite conver-
gente fA1'1
ngqui à son tour convergente.
En raisonnant de la même façon, pour les opérateurs A1; A2; :::; Ap; :::, on
détermine les suites f'1
ng;f'2 ng; :::; f'p ng; :::. Il est à remarquer que la suite
f'p
ngest une sous suite de toutes les suites qui lui précèdent et que les suites
fAk'p
ngsont convergentes pour (k= 1;2; :::; p):
Comme l’espace Yest complet, pour la compacité de l’opérateur Ail
su¢ t de montrer que la suite fA'p
ngest une suite Cauchy, alors
kA'p
nA'q nkk A'p nAn'p nk+kAn'p nAn'q nk+kAn'q nA'q nk
Soit k'nk M;choisissons nde sorte que l’on a kAAnk<"
3M;
ensuite choisissons Ntel que, pour tous les p>Net q > N; on a la relation
kAn'p
nAn'q nk<"
3car la suite fAn'p
ngest convergente.
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Dans ces conditions, on aura pour tout pet qsu¢ samment grands.
kA'p
nA'q nk< ":
Théorème 5
Soit Aun opérateur borné de Edans F; à image A(E)de dimension
…nie. Alors Aest compact.
Démonstration
En e¤et, car l’opérateur Atransforme tout ensemble borné Gde Eà un
ensemble borné A(G)dans un espace de dimension …nie A(E)ce qui implique
que A(G)est précompact.
Lemme 1
Soit Gun sous espace fermé d’un espace normé Etel que, G6=E; alors
il existe un élément '2E; avec k'k= 1 tel que, pour tout 2G; on a
k'k ; avec 0<  < 1
Démonstration
En e¤et, soit fun élément de Etel que f =2Galors, on a
inf
2Ekfk= > 0;
choisissons un élément 2Gtel que,
 kf k 
;
soit 'le vecteur donné par
'=f
kf k;
alors le vecteur 'est de norme égale à l’unité (k'k= 1):
De plus, on a
k'k=1
kf kkf f + (kf k)g k
kf k:
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Théorème 6
L’opérateur identique Ide Edans Eest compact si et seulement si E
est de dimension …nie.
Démonstration
Soit '1un élément de E; tel que k'1k= 1;alors G1=spanf'1gest un
sous espace fermé de Ecar G1est de dimension …nie. D’après le lemme1,
il existe un élément '22E; tel que k'2k= 1 et k'1'2k>1
2:Prenons
une deuxième fois le sous espace fermé G2=spanf'1; '2g;il existe alors un
élément '32Eavec k'3k= 1 ;k'1'3k>1
2et k'2'3k>1 2:On répète
la même procédure jusqu’à l’obtention d’un suite f'ngvéri…ant k'nk= 1
et k'n'mk>1
2;pour tout m6=n:
Il est à remarquer que cette suite f'ngest bornée mais elle ne contient
aucune sous suite convergente. C.Q.F.D.
Corollaire 1
La boule unité B(0;1) dans un espace de dimension in…nie n’est pas com-
pact.
En e¤et, il su¢ t d’appliquer le théorème6, car la boule unité B(0;1) est sa
propre image dans l’espace Xde dimension in…nie par l’opérateur identique
Théorème 7
Un opérateur compact est un opérateur borné. La réciproque est fausse.
Démonstration
En e¤et, si on désigne par
B(0;1) = fx2X; kxk 1g;
la boule fermé de rayon l’unité, alors l’ensemble A(B(0;1)) est compact, donc
borné, c’est à dire
kAxk<1et par conséquent, sup
kxk1
kAxk<1,
ce qui signi…e que l’opérateur Aest borné.
Réciproquement, l’opérateur identique Ide Edans Eest borné mais il
n’est pas compact.
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Théorème 8
L’opérateur intégral Ade C(G)dans C(G)à noyau continu est un opéra-
teur compact.
Démonstration
Soit Eun ensemble borné de C(G)alors, on a
k'k Mpour tout '2E:
De plus,
jA'(x)j MjGjmax
x;y2GjK(x; y)j;8x2Get 8'2E;
cela veut dire que A(E)est borné.
L’opérateur Kest uniformément continu sur le compact GG; d’où
8" > 0;9 > 0;8x; y; z 2G; jxyj<  )j K(x; z)K(y; z)j<"
MjGj
d’où
jA'(x)A'(y)j< " pour tout '2Eet x; y 2G; avec jxyj< :
Ceci exprime que l’ensemble A(E)est équicontinu, d’où A(E)est rela-
tivement compact d’après le théorème d’Arzelà-Ascoli. Alors Aest compact.
Noyau faiblement singulier
On appelle noyau faiblement singulier la fonction Kcontinue sur GG
RnRnsauf peut être aux points x=yet telle que,
8x; y 2G; x 6=y; 9M > 0;jK(x; y)j<M
jxyjn;0<  n
Théorème 9
L’opérateur intégral Ade C(G)dans C(G)à noyau faiblement singulier
est un opérateur compact.
Démonstration
Il est à remarquer que l’opérateur
A'(x) = ZG k(x; y)'(y)dy; x; y 2G
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