Théorème de Borel.

Théorème de Borel.
Référence : F. Rouvière, Petit guide de calcul différentiel, p359.
Théorème. Soit (an)n≥0une suite de réels. Il existe une fonction f∈ C∞(R,R)telle que pour
tout n≥0,f(n)(0) = an.
Démonstration.
Lemme. Existence de fonctions plateaux.
Il existe ϕ∈ C∞(R,R),ϕ(x) = 1 si |x| ≤ 1
2
0 si |x| ≥ 1,0≤ϕ≤1.
Démonstration.
•Soit ϕ1(x) = e−1/x si x > 0
0 si x≤0.ϕ1est C∞sur R\ {0}.
Montrons que ϕ(k)
1(x) = Pk1
xe−1/x avec Pkpolynôme.
Pour k= 0, le résultat est vrai.
Si ϕ(k)
1(x) = Pk1
xe−1/x alors ϕ(k+1)
1(x) = −P0
k1
x+Pk1 x
x2e−1/x. D’où le résultat avec
Pk+1(X) = X2(Pk(X)−P0
k(X)).
Montrons que ϕ1est C∞avec ϕ(k)
1(0) = 0 pour tout k.
On procède par récurrence. Pour k= 0, le résultat est vrai.
Si ϕ(k)
1(0) = 0 alors ϕ(k)
1(x)−ϕ(k) 1(0)
x=1
xPk1 xe−1/x si x > 0
0 si x < 0−→
x→00.
•Soit ϕ2(x) = ϕ1(x)ϕ1(1 −x).ϕ2est C∞à support [0,1].
On pose ϕ3(x) = Rx
0ϕ2(t)dt
R1
0ϕ2(t)dt. On a ϕ3(x) = 1 si |x| ≤ 1
2
0 si |x| ≤ 0et ϕ3est C∞sur R.
Enfin, on pose ϕ(x) = ϕ3(2x+ 2)ϕ3(2 −2x).ϕconvient.
Soit ϕk(x) = ϕ(λkx)akxk
k!. Montrons que l’on peut choisir λk>0de façon à avoir convergence
uniforme sur Rde X
k
ϕket de chaque série dérivée.
•Pour k≥m, par la formule de Leibniz,
ϕ(m)
k(x) = ak
m
X
p=0 m
pϕ(m−p)(λkx)λm−p
k
xk−p
(k−p)!.
Soit Mm= sup
i≤m
ϕ(i) ∞(existe car ϕest C∞à support compact).
Comme ϕ(x)=0pour |x|>1, il suffit de majorer pour |x|<1
λk. Pour tout x∈Ret
0≤m≤k, on a
|ϕ(m)
k(x)| ≤ Mm|ak|
m
X
p=0 p
mλm−p
k
λp−k
k
(k−p)! ≤Mm|ak|2m
λk−m
k(k−m)!.
Soit λk= max(1,|ak|).
On a λk−m
k≥λk≥ |ak|pour k−m≥1. D’où |ϕ(m) k(x)| ≤ 2mMm
(k−m)! pour tout x∈Ret k≥m+1.

•De plus, pour 0≤k≤m,ϕ(m)
kest continue sur Rest nulle en dehors de [−1/λk; 1/λk]d’où
l’existence d’une borne uniforme. Ainsi
∞
X
k=0
ϕ(m)
k=
∞
X
k=m+1
ϕ(m)
k+
∞
X
k=0
ϕ(m)
k
converge normalement sur Rpour tout entier m.
Donc u=X
k
ϕkest C∞et on peut dériver terme à terme. Comme ϕk(x) = ak
xk
k!sur
n|x|<1
2λko, en particulier, u(m)(0) = amce qui conclut.
Remarque.
– Cela signifie qu’il existe toujours une fonction C∞sur Radmettant un développement de
Taylor donné (mais le rayon de convergence peut être nul).
– En conséquence, on peut prolonger toute fonction C∞sur un compact en une fonction C∞
sur R.