Théorème de Borel.

Théorème de Borel.
Référence : F. Rouvière, Petit guide de calcul différentiel, p359.
Théorème. Soit (an )n≥0 une suite de réels. Il existe une fonction f ∈ C ∞ (R, R) telle que pour
tout n ≥ 0, f (n) (0) = an .
Démonstration.
Lemme. Existence de fonctions plateaux.
1 si |x| ≤ 12
∞
Il existe ϕ ∈ C (R, R), ϕ(x) =
, 0 ≤ ϕ ≤ 1.
0 si |x| ≥ 1
Démonstration.
e−1/x
0
si x > 0
. ϕ1 est C ∞ sur R \ {0}.
si x ≤ 0
(k)
Montrons que ϕ1 (x) = Pk x1 e−1/x avec Pk polynôme.
Pour k = 0, le résultat est vrai.
−1/x
−Pk0 x1 + Pk x1 −1/x
(k+1)
(k)
1
alors ϕ1
e
. D’où le résultat avec
Si ϕ1 (x) = Pk x e
(x) =
x2
2
0
Pk+1 (X) = X (Pk (X) − Pk (X)).
(k)
Montrons que ϕ1 est C ∞ avec ϕ1 (0) = 0 pour tout k.
On procède par récurrence. Pour k = 0, le résultat est vrai.
1
−1/x
(k)
(k)
1
ϕ (x) − ϕ1 (0)
si x > 0
(k)
x Pk x e
Si ϕ1 (0) = 0 alors 1
=
−→ 0.
0
si x < 0 x→0
x
∞
• Soit ϕ2 (x) = ϕ1 (x)ϕ
support [0, 1].
R x 1 (1 − x). ϕ2 est C à ϕ
(t)dt
1 si |x| ≤ 12
2
On pose ϕ3 (x) = R01
et ϕ3 est C ∞ sur R.
. On a ϕ3 (x) =
0 si |x| ≤ 0
ϕ2 (t)dt
• Soit ϕ1 (x) =
0
Enfin, on pose ϕ(x) = ϕ3 (2x + 2)ϕ3 (2 − 2x). ϕ convient.
ak xk
. Montrons que l’on peut choisir λk > 0 de façon à avoir convergence
Soit ϕk (x) = ϕ(λk x)
X k!
uniforme sur R de
ϕk et de chaque série dérivée.
k
• Pour k ≥ m, par la formule de Leibniz,
m X
m (m−p)
xk−p
(m)
ϕk (x) = ak
.
ϕ
(λk x)λm−p
k
p
(k − p)!
p=0
Soit Mm = sup ϕ(i) ∞ (existe car ϕ est C ∞ à support compact).
i≤m
Comme ϕ(x) = 0 pour |x| > 1, il suffit de majorer pour |x| < λ1k . Pour tout x ∈ R et
0 ≤ m ≤ k, on a
m X
λp−k
p
Mm |ak |2m
(m)
k
|ϕk (x)| ≤ Mm |ak |
λm−p
≤
.
m k (k − p)!
λk−m
(k − m)!
k
p=0
Soit λk = max(1, |ak |).
(m)
On a λk−m
≥ λk ≥ |ak | pour k−m ≥ 1. D’où |ϕk (x)| ≤
k
2m Mm
pour tout x ∈ R et k ≥ m+1.
(k − m)!
(m)
• De plus, pour 0 ≤ k ≤ m, ϕk est continue sur R est nulle en dehors de [−1/λk ; 1/λk ] d’où
l’existence d’une borne uniforme. Ainsi
∞
X
k=0
(m)
ϕk
=
∞
X
k=m+1
(m)
ϕk
+
∞
X
(m)
ϕk
k=0
converge normalement sur R pour tout entier m.
X
xk
sur
Donc u =
ϕk est C ∞ et on peut dériver terme à terme. Comme ϕk (x) = ak
k!
k
n
o
|x| < 2λ1k , en particulier, u(m) (0) = am ce qui conclut.
Remarque.
– Cela signifie qu’il existe toujours une fonction C ∞ sur R admettant un développement de
Taylor donné (mais le rayon de convergence peut être nul).
– En conséquence, on peut prolonger toute fonction C ∞ sur un compact en une fonction C ∞
sur R.