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Université Abdelhamid Ibn Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et Informatique
Département de Mathématiques
1ere Année Master AF-AH-MCO
Matière : Théorie des Opérateurs Linéaires II
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 2
(08 Avril 2012)
Inversibilité des Opérateurs Linéaires Bornées
Exercice 1 Soit X un espace normé et supposons que A 2 L (X) est une bijection. Montrer que si A 1 est borné, alors
A
1
kAk
1
:
(1)
Exercice 2 Soit (en )n une base orthonormale dans un espace de Hilbert H, et
dé…nissons l’opérateur A par
!
1
1
X
X
A
xk ek =
xk ek+1 :
(2)
k=1
k=1
1. Montrer que A 2 L (X) et trouver kAk.
2. Montrer que A est injectif et trouver A
1
.
Exercice 3 Soit I = [a; b] et considérons l’opérateur linéaire dé…ni de C ([a; b])
dans lui même, donné par
Z t
Af (t) =
f (s) ds:
(3)
a
1. Montrer que A est borné et trouver kAk.
2. Montrer que A est injectif et trouver A
3. A
1
1
.
est-il borné ?
Exercice 4 Soit X l’espace de Banach C [0; 1] et Y l’espace des fonctions continuement di¤ érentiables sur [0; 1] nulles en x = 0:Les deux espaces sont munis
de la norme uniforme k k1 . Montrer que l’opérateur linéaire T : X ! Y;
Z
(T f ) (x) :=
f ( )d ;
(4)
0
est borné, injectif et surjectif, mais son opérateur inverse T 1 n’est pas borné.
Comparer ceci avec le théorème de Banach (théorème de l’inverse borné).
1