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Université Abdelhamid Ibn Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et Informatique
Département de Mathématiques
1ere Année Master AF-AH-MCO
Matière : Théorie des Opérateurs Linéaires II
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N2
(08 Avril 2012)
Inversibilité des Opérateurs Linéaires Bornées
Exercice 1 Soit Xun espace normé et supposons que A2L(X)est une bi-
jection. Montrer que si A1est borné, alors
A1  kAk1:(1)
Exercice 2 Soit (en)nune base orthonormale dans un espace de Hilbert H, et
dé…nissons l’opérateur Apar
A 1
X
k=1
xkek!=
1
X
k=1
xkek+1:(2)
1. Montrer que A2L(X)et trouver kAk.
2. Montrer que Aest injectif et trouver A1.
Exercice 3 Soit I= [a; b]et considérons l’opérateur linéaire dé…ni de C([a; b])
dans lui même, donné par
Af (t) = Zt
a
f(s)ds: (3)
1. Montrer que Aest borné et trouver kAk.
2. Montrer que Aest injectif et trouver A1.
3. A1est-il borné ?
Exercice 4 Soit Xl’espace de Banach C[0;1] et Yl’espace des fonctions con-
tinuement di¤érentiables sur [0;1] nulles en x= 0:Les deux espaces sont munis
de la norme uniforme kk1. Montrer que l’opérateur linéaire T:X!Y;
(T f) (x) := Z
0
f()d; (4)
est borné, injectif et surjectif, mais son opérateur inverse T1n’est pas borné.
Comparer ceci avec le théorème de Banach (théorème de l’inverse borné).
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