examen final master1 mco s1 2016 2017

Université Abdel Hamid Ben Badis Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques
Outils d’Analyse Fonctionnelle I
Master1 MCO
Examen Final
2016-2017
Date: Lundi 09 Janvier 2017
Time: 10.30-12.15
( reading time)
Exercice 1 Dé…nissons sur l’espace des suites in…nies bornées l1 l’action suivante
A (x1 ; x2 ;
; xn ;
) = x1 ;
x2
;
2
;
xn
;
n
:
1. Montrer que A dé…nie bien un opérateur linéaire borné.
2. Montrer que Im A n’est pas fermé dans l1 .
1. Soit T un opérateur linéaire d’un espace normé V dans un espace normé
Exercice 2
W.
(a) Montrer que l’image Im T est un sous espace de W et que le noyau ker T est un
sous espace de V .
(b) Si T est borné, est-il vrai que Im T et/ou ker T sont fermés ? Expliquer.
2. Supposons que T est borné et surjectif. Montrer que s’il existe une constante c > 0
telle que
kT xk c kxk
pour tout x 2 V;
alors T
1
existe et T
1
2 L (W; V ) :
Exercice 3 Soit H un espace de Hilbert muni du produit scalaire h ; i et dé…nissons pour u
et v dans H l’opérateur Tu;v : H ! H par
Tu;v (x) = hx; vi u:
1. Montrer que Tu;v 2 L (H) :
2. Trouver sa norme.