examen final master1 mco s1 2016 2017

Université Abdel Hamid Ben Badis Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques
Outils d’Analyse Fonctionnelle I
Master1 MCO Examen Final 2016-2017
Date: Lundi 09 Janvier 2017 Time: 10.30-12.15
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Exercice 1 Dé…nissons sur l’espace des suites in…nies bornées l1l’action suivante
A(x1; x2;   ; xn;   ) = x1;x2
2;   ;xn n;   :
1. Montrer que Adé…nie bien un opérateur linéaire borné.
2. Montrer que Im An’est pas fermé dans l1.
Exercice 2 1. Soit Tun opérateur linéaire d’un espace normé Vdans un espace normé
W.
(a) Montrer que l’image Im Test un sous espace de Wet que le noyau ker Test un
sous espace de V.
(b) Si Test borné, est-il vrai que Im Tet/ou ker Tsont fermés ? Expliquer.
2. Supposons que Test borné et surjectif. Montrer que s’il existe une constante c > 0
telle que
kT xk  ckxkpour tout x2V;
alors T1existe et T12L(W; V ):
Exercice 3 Soit Hun espace de Hilbert muni du produit scalaire h;i et dé…nissons pour u
et vdans Hl’opérateur Tu;v :H!Hpar
Tu;v (x) = hx; viu:
1. Montrer que Tu;v 2L(H):
2. Trouver sa norme.