ensemble de julia

Définition 1 : Ensemble de Julia
Soit
P∈ℂ[ X]
tel que
deg P ≥2
. Soit la suite vérifiant :
un
z=
{
P(un−1
z)si n≠0
zsi n=0
.
On appelle ensemble de Julia, noté
KP
, l'ensemble :
KP={z∈ℂ ,(un
z) borné}
.
Proposition 1 : Ensemble de Julia
Soit
P∈ℂ[ X]
tel que
deg P ≥2
. Alors
KP
est un ensemble non-vide et compact.
Preuve :
P−X
est un polynôme non constant donc admet une racine
z
dans
ℂ
d'après le
théorème de d'Alembert-Gauss. Par récurrence :
∀n∈ℕ , un
z=Pn(z) = z
, donc
(un
z)
est bornée et
z∈KP
, ce qui montre que l'ensemble est non-vide.
De plus, quand
∣ z ∣ →+∞
:
P(z) = anzn+o(zn)
, donc
P2(z) = an
n+1zn2+o(zn2)
.
Ainsi, pour
z
de module assez élevé, :
up
z=an (...((n+1)n+1)...)+1
⏞
p fois
znp+1+o(znp+1)
, et donc
∣ up
z
∣ → +∞
, donc
z
n'est pas dans
KP
pour
∣ z ∣
assez élevé, donc
KP
est borné.
Soit une suite d'élément
(zk)
de
KP
qui converge vers
z∈ℂ
.
Pm
est continue pour
tout entier
m
donc :
∀m∈ℕ,lim
k→+∞ Pm(zk) = Pm(z)
. De plus, il est clair que :
∀(k , m)∈ℕ2, Pm(zk)∈KP
.
KP
étant borné :
∃C>0,∀(k , m)∈ℕ2, ∣ Pm(zk) ∣ <C
.
Soit
ε > 0
. Soit
m∈ℕ
. On sait que
Pm(zk) → Pm(z)
pour
k→+∞
donc :
∃Km∈ℕ,∀k≥Km, Pm(zk)∈BO(Pm(z),ε)
, donc
Pm(z)∈BO(Pm(zKm),ε)
, ou
encore :
Pm(z)∈BO(0,
∣
Pm(zKm)
∣
+ε)
, immédiatement :
Pm(z)∈BO(0, C+ε)
, et ce pour
tout
m∈ℕ
. Nous avons donc montré que
(un
z)
était une suite bornée par
C+ε
, donc
que
z∈KP
, donc que toute suite d'éléments de
KP
convergeait dans
KP
, donc que
KP
était fermé.
De surcroît,
KP⊂ℂ
qui est un espace vectoriel de dimension fini, donc d'après le
théorème de Borel-Lebesgue,
KP
est compact car fermé et borné, ce qui achève la preuve.