Définition 1 : Ensemble de Julia On appelle ensemble de Julia, noté K P , l'ensemble : K P { z P (u n−1 ) si n≠0 . z si n=0 = { z ∈ℂ , (u zn ) borné } . z Soit P∈ℂ[ X ] tel que deg P ≥ 2 . Soit la suite vérifiant : u n = Proposition 1 : Ensemble de Julia Soit P∈ℂ[ X ] tel que deg P ≥ 2 . Alors K P est un ensemble non-vide et compact. Preuve : P−X est un polynôme non constant donc admet une racine z dans ℂ d'après le théorème de d'Alembert-Gauss. Par récurrence : ∀ n∈ℕ , u zn = P n (z ) = z , donc z (u n ) est bornée et z ∈K P , ce qui montre que l'ensemble est non-vide. 2 2 De plus, quand ∣z∣→+∞ : P (z ) = a n z n +o( z n) , donc P 2 (z ) = a n+1 z n +o( z n ) . n p fois n n Ainsi, pour z de module assez élevé, : u = ⏞ a z +o( z ) , et donc ∣u zp∣ → +∞ , donc z n'est pas dans K P pour ∣z∣ assez élevé, donc K P est borné. z p (...((n+1)n+1)...)+1 n p+1 p+1 Soit une suite d'élément ( z k ) de K P qui converge vers z ∈ℂ . P m est continue pour tout entier m donc : ∀ m∈ℕ, lim P m ( z k ) = P m ( z) . De plus, il est clair que : k →+∞ ∀(k , m)∈ℕ , P (z k )∈ K P . K P étant borné : ∃C >0 ,∀( k , m)∈ℕ2 ,∣P m ( z k )∣ < C . Soit ε > 0 . Soit m∈ℕ . On sait que P m ( z k ) → P m (z ) pour k →+∞ donc : ∃ K m ∈ℕ , ∀ k≥K m , P m ( z k )∈ BO ( P m (z ) , ε) , donc P m ( z )∈BO ( P m ( z K ) , ε) , ou encore : P m ( z )∈BO (0,∣P m ( z K )∣+ε) , immédiatement : P m (z )∈BO (0, C+ε) , et ce pour tout m∈ℕ . Nous avons donc montré que (u zn ) était une suite bornée par C+ε , donc que z ∈K P , donc que toute suite d'éléments de K P convergeait dans K P , donc que K P était fermé. 2 m m m De surcroît, K P⊂ℂ qui est un espace vectoriel de dimension fini, donc d'après le théorème de Borel-Lebesgue, K P est compact car fermé et borné, ce qui achève la preuve.