Exercices du TP 5 - Département de mathématiques et de statistique

D´epartement de math´ematiques et de statistique MAT 2100
Universit´e de Montr´eal Analyse 3
TP-5
mardi 7 mars 2017 de 10h30 `a 12h30
local Z-260, pavillon Claire-McNicoll
Exercice 1. Soit Ωun sous-ensemble ouvert non-vide de Rn. Montrer qu’il
existe une suite croissante de compacts non vides Kktel que Ω = ∪k≥1Kket,
pour tout compact K⊂Ω, il existe k≥1tel que K⊂Kk.(Indice. Lorsque
∂Ω6=∅, prendre ∀k≥1, Kk
d´ef
={x∈Rn:kxk ≤ ket d∁Ω(x)≥1/k}.)
Exercice 2. Soit Ωun ouvert non-vide de Rnet
C(Ω) d´ef ={f: Ω →R|fcontinue sur Ω}
l’espace des fonctions continues sur Ω, o`u Ωn’est pas n´ecessairement born´e.
Soit {Kk}la famille des sous-ensembles compacts construite dans l’Exercice 1
et pour tout f∈C(Ω) et k≥1on pose
qk(f)d´ef = sup
x∈Kk
|f(x)|.
Montrer que la fonction
d(f, g)d´ef =
∞
X
k=1
1
2k
qk(f−g)
1 + qk(f−g)
est une m´etrique sur C(Ω).
Exercice 3 (Arzel`a-Ascoli).Soit (X, d)un espace m´etrique compact. On d´enote
par C0(X;Rk)d´ef =nf:X→Rk|fcontinue sur Xol’espace complet pour k≥1
et la norme
kfkC0
d´ef
= sup
x∈X
kf(x)k,kyk= k
X
i=1
|yi|2!1/2 .(1)
D´emontrer les ´enonc´es suivants.
(i) Si Sest un sous-ensemble compact de C0(X;Rk), alors Sest ferm´e,
(a) Sest uniform´ement ´equicontinu et
(b) Sest uniform´ement born´e, c’est-`a-dire,
∃M > 0,∀f∈S, ∀x∈X, kf(x)k ≤ M.
(ii) R´eciproquement, si Sest un sous-ensemble de C0(X;Rk)v´erifiant (a) et
(b), alors l’adh´erence Sde Sest compacte dans C0(X;Rk).
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R´ef´erences
[1] W. Rudin, Principes d’analyse math´ematique,´ Ediscience, Paris 1995 et
Dunod, Paris 2006 [traduction de l’anglais, Principles of mathematical
analysis, McGraw–Hill, New York, 1958, 1964, 1976.
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