Exercices du TP 5 - Département de mathématiques et de statistique

Département de mathématiques et de statistique
Université de Montréal
MAT 2100
Analyse 3
TP-5
mardi 7 mars 2017 de 10h30 à 12h30
local Z-260, pavillon Claire-McNicoll
Exercice 1. Soit Ω un sous-ensemble ouvert non-vide de Rn . Montrer qu’il
existe une suite croissante de compacts non vides Kk tel que Ω = ∪k≥1 Kk et,
pour tout compact K ⊂ Ω, il existe k ≥ 1 tel que K ⊂ Kk . (Indice. Lorsque
déf
∂Ω 6= ∅, prendre ∀k ≥ 1, Kk = {x ∈ Rn : kxk ≤ k et d∁Ω (x) ≥ 1/k}.)
Exercice 2. Soit Ω un ouvert non-vide de Rn et
déf
C(Ω) = {f : Ω → R |f continue sur Ω}
l’espace des fonctions continues sur Ω, où Ω n’est pas nécessairement borné.
Soit {Kk } la famille des sous-ensembles compacts construite dans l’Exercice 1
et pour tout f ∈ C(Ω) et k ≥ 1 on pose
déf
qk (f ) = sup |f (x)|.
x∈Kk
Montrer que la fonction
déf
d(f, g) =
∞
X
1 qk (f − g)
2k 1 + qk (f − g)
k=1
est une métrique sur C(Ω).
Exercice 3 (Arzelà-Ascoli).
Soit (X, d) un espace ométrique compact. On dénote
n
déf
par C 0 (X; Rk ) =
et la norme
(1)
f : X → Rk |f continue sur X
déf
kf kC 0 = sup kf (x)k,
kyk =
x∈X
l’espace complet pour k ≥ 1
k
X
i=1
|yi |
2
!1/2
.
Démontrer les énoncés suivants.
(i) Si S est un sous-ensemble compact de C 0 (X; Rk ), alors S est fermé,
(a) S est uniformément équicontinu et
(b) S est uniformément borné, c’est-à-dire,
∃M > 0,
∀f ∈ S, ∀x ∈ X, kf (x)k ≤ M.
(ii) Réciproquement, si S est un sous-ensemble de C 0 (X; Rk ) vérifiant (a) et
(b), alors l’adhérence S de S est compacte dans C 0 (X; Rk ).
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Références
[1] W. Rudin, Principes d’analyse mathématique, Édiscience, Paris 1995 et
Dunod, Paris 2006 [traduction de l’anglais, Principles of mathematical
analysis, McGraw–Hill, New York, 1958, 1964, 1976.
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