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Université Abdelhamid Ben Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et de l’Informatique
Département de Mathématiques
1ere Année Master MCO
Matière : Outils d’Analyse Fonctionnelle I
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 3
(21 N ovembre 2016)
Opérateurs Linéaires Bornés et Non-Bornés
Exercise 1 Dans l’espace de Hilbert l2 , on dé…nit l’opérateur T : D(T ) ! l2 par
T ((xn )n ) = (an xn )n ;
où (an xn )n est une suite complexe.
Trouver le domaine D (T ) et montrer que T est linéaire.
Montrer que D (T ) est dense dans l2 .
Montrer que si (an )n est bornée, alors D (T ) = l2 et T est borné.
Exercise 2 (Opérateur de Position) Considérons dans L2 (R) l’opérateur Q
dé…ni par
Qf (x) = xf (x) ;
avec
D (Q) = f 2 L2 (R) =Qf 2 L2 (R) :
Montrer que Q est linéaire mais non borné.
Montrer que D (Q) est dense dans L2 (R) :
Exercise 3 (Opérateur Moment) Considérons dans L2 (R) l’opérateur P dé…ni
par
df
Pf = i ;
dx
avec
D (P ) = f 2 L2 (R) =P f 2 L2 (R) :
Montrer que P est linéaire mais non borné.
Montrer que D (P ) est dense dans L2 (R) :
Exercise 4 Soit [a; b] un intervalle borné. On muni l’espace C ([a; b]) avec les
deux normes suivantes :
8 b
9 p1
8 b
9 q1
<Z
=
<Z
=
p
q
kf kp =
jf (t)j dt
; kf kq =
jf (t)j dt
(1 p < q < +1) :
:
;
:
;
a
Soit Cp = C ([a; b]) ; k kp
a
et Cq = C ([a; b]) ; k kq : Montrer que
1. l’opérateur identité de Cq vers Cp est borné,
2. l’opérateur identité de Cp vers Cq est non borné.
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