m1td3

Université Abdelhamid Ben Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et de l’Informatique
Département de Mathématiques
1ere Année Master MCO
Matière : Outils d’Analyse Fonctionnelle I
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N3
(21 Novembre 2016)
Opérateurs Linéaires Bornés et Non-Bornés
Exercise 1 Dans l’espace de Hilbert l2, on dé…nit l’opérateur T:D(T)!l2par
T((xn)n) = (anxn)n;
où (anxn)nest une suite complexe.
Trouver le domaine D(T)et montrer que Test linéaire.
Montrer que D(T)est dense dans l2.
Montrer que si (an)nest bornée, alors D(T) = l2et Test borné.
Exercise 2 (Opérateur de Position) Considérons dans L2(R)l’opérateur Q
dé…ni par
Qf (x) = xf (x);
avec
D(Q) = f2L2(R)=Qf 2L2(R):
Montrer que Qest linéaire mais non borné.
Montrer que D(Q)est dense dans L2(R):
Exercise 3 (Opérateur Moment) Considérons dans L2(R)l’opérateur Pdé…ni
par
P f =idf
dx;
avec
D(P) = f2L2(R)=P f 2L2(R):
Montrer que Pest linéaire mais non borné.
Montrer que D(P)est dense dans L2(R):
Exercise 4 Soit [a; b]un intervalle borné. On muni l’espace C([a; b]) avec les
deux normes suivantes :
kfkp=8
<
:
b
Z
a
jf(t)jpdt9
=
;
1
p
;kfkq=8
<
:
b
Z
a
jf(t)jqdt9
=
;
1
q
(1 p < q < +1):
Soit Cp=C([a; b]) ;kkpet Cq=C([a; b]) ;kkq:Montrer que
1. l’opérateur identité de Cqvers Cpest borné,
2. l’opérateur identité de Cpvers Cqest non borné.
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