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D. Dérivabilité des fonctions numériques
1
0 Introduction
0.1 Approche physique
de 0 à 100 km/h en 3 secondes ?
L’affaire est toute
simple : on accroche
une voiture de petite
taille à une corde
bungee, on lâche la
voiture et on regarde
ce qui se passe…
Un peu de physique :
Si on néglige la
résistance de l’air, et
si on lâche la voiture
à l’instant t = 0, alors
après t secondes, la
voiture aura
parcouru environ
d(t) = 4,9t2 mètres.
0.2 Approche graphique

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D. Dérivabilité des fonctions numériques
2
1 Nombre dérivé – fonction dérivée  pp. 123-135
1.1 Définitions
Définition
Soit f une fonction définie sur dom f et a un point de son domaine.
On dit que f est dérivable en a si la limite réelle suivante existe :
h0
f(a h) f(a)
lim h
(ou bien :
xa
f(x) f(a)
lim xa
)
Si cette limite existe et est finie, elle est appelée le nombre dérivé de f en a et notée f’(a).
Remarque
Il faut bien que la limite du quotient de la définition soit un nombre. Si cette limite est infinie, alors f n’est pas dérivable.
Exemple
Calculer le nombre dérivé de la fonction f : x x2 au point 1.
h0
f(1 h) f(1)
lim h
22
h0
2
h0
2
h0
h0
h0
(1 h) 1
lim h
1 2h h 1
lim h
2h h 0
lim f.i. " " factoriser
h0
h(2 h)
lim h
lim (2 h)
2
Donc f’(1) = 2.
Exercice
Calculer le nombre dérivé de la fonction f : x x2 au point a.
Définition
Soit f une fonction définie sur dom f.
On appelle fonction dérivée la fonction f’ qui à tout point x en lequel f est dérivable fait correspondre son nombre dérivé.
Ainsi f’ : x f’(x).
Le domaine de f’ est appelé domaine de dérivabilité de f et est noté domd f ou dom f’.
1.2 Fonctions dérivées des fonctions usuelles
f(x)
dom f
f’(x)
dom f’
remarque
démonstration
k
0
 p. 127
ax + b
a
a, b  
exercice
x2
2x
exercice
xn
nxn−1
n  *
 pp. 130-131
1
x
*
2
1
x
*
 p. 128
x
0;
1
2x
0;
dom f ≠ dom f’
exercice
cos x
−sin x
 p. 132
sin x
cos x
 p. 132
tan x
 \ {
2
+ kπ | k   }
1 + tan2x =
2
1
cos x
 \ {
2
+ kπ | k   }
 p. 133
Exercice
a) Démontrer que si f(x) = ax + b, alors f’(x) = a (a, b  ).

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D. Dérivabilité des fonctions numériques
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b) Montrer que la fonction f : x
x
n’est pas dérivable en 0.
c) Démontrer que si f(x) =
x
, alors f’(x) =
1
2x
.
1.3 Fonctions dérivées et opérations sur les fonctions
f(x)
f’(x)
formule « allégée »
démonstration
(u + v)(x)
u’(x) + v’(x)
(u + v)’ = u’ + v’
 p. 129
(u − v)(x)
u’(x) − v’(x).
(u − v)’ = u’ − v’
 p. 129
(u∙v)(x)
u’(x)∙v(x) + u’(x)∙v(x).
(uv)’ = u’v + uv’
 p. 129
(k∙u)(x)
k∙u’(x)
(ku)’ = ku’
 p. 129
(
1
v
)(x)
2
v'(x)
v (x)
2
1 v'
( )'
vv
 p. 129
(
u
v
)(x)
2
u'(x) v(x) u(x) v'(x)
v (x)
2
u u'v uv'
( )'
vv
 p. 130
(v  u)(x)
(v’  u)(x)∙u’(x)
(v  u)’ = (v’ u) ∙ u’
admise
Exemples
a)
23
uv
f(x) x x
dom f = dom f’ = 
(xdom f’) :
2
u' v'
f'(x) 2x 3x
b)
4
u
k
f(x) 5x
dom f = dom f’ = 
(xdom f’) :
33
u'
k
f'(x) 5 4x 20x  
c)
2
uv
f(x) x cosx
dom f = dom f’ = 
(xdom f’) :
22
u' u
vv'
f'(x) 2x cosx x ( sinx) 2x cosx x sinx        
d)
2
v
1
f(x) 4x 6
dom f = dom f’ = 
(xdom f’) :
2
v'
22
v
8x
f'(x) (4x 6)
e)
u
2
2
v
2x 3x 1
f(x) x 5x 6
dom f = dom f’ =  \ {−3;−2}
(xdom f’) :
2
u
v
u' v'
22
22
v
(4x 3)(x 5x 6) (2x 3x 1)(2x 5)
f'(x) (x 5x 6)
3 2 2 3 2 2 2
2 2 2 2
(4x 20x 24x 3x 15x 18) (4x 10x 6x 15x 2x 5) 7x 26x 23
(x 5x 6) (x 5x 6)
Voici maintenant quelques exemples illustrant la formule (v u)’ = (v’ u) ∙ u’ :
f) f(x) = (2x + 5)4 dom f = dom f’ = 

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D. Dérivabilité des fonctions numériques
4
f(x) = (v u)(x) avec v(x) = x4 et u(x) = 2x + 5 donc v’(x) = 4x3 et u’(x) = 2
(xdom f’) :
33
u'
v' u
f'(x) 4(2x 5) 2 8(2x 5)    
g) f(x) = sin(3x2 + 4x – 9) dom f = dom f’ = 
f(x) = (v u)(x) avec v(x) = sinx et u(x) = 3x2 + 4x + 5 donc v’(x) = cosx et u’(x) = 6x + 4
(xdom f’) :
22
v' u u'
f'(x) cos(3x 4x 9) (6x 4) (6x 4) cos(3x 4x 9)         
h) f(x) =
sinx
dom f =
k
2k ;(2k 1)
et dom f’ =
k
2k ;(2k 1)
f(x) = (v u)(x) avec v(x) =
x
et u(x) = sinx donc v’(x) =
1
2x
cosx et u’(x) = cosx
(xdom f’) :
u'
v' u
1 cosx
f'(x) cosx
2 sinx 2 sinx
 D’autres exemples se trouvent dans le livre pp. 133 et 134 !
On pourra donc aussi retenir :
f
f’
f
f’
un
n ∙ un-1 ∙ u’
cos u
−u’ ∙ sin u
u
2u
u'
sin u
u’ ∙ cos u
1
u
2
u
u'
tan u
2
cos u
u'
= (1 + tan2u) ∙ u’
Attention !
Dans ces formules, u n’est pas la variable par rapport laquelle on dérive, mais u est une fonction en cette variable.
1.4 Dérivée à droite, dérivée à gauche
Définitions
Soit f une fonction définie sur dom f et a un point de son domaine.
• On dit que f est dérivable à droite en a si la limite réelle suivante existe :
h0
f(a h) f(a)
lim h
(ou bien :
xa
f(x) f(a)
lim xa
)
Si cette limite existe et est finie, elle est appelée le nombre dérivé à droite de f en a et notée fD’(a).
• On dit que f est dérivable à gauche en a si la limite réelle suivante existe :
h0
f(a h) f(a)
lim h
(ou bien :
xa
f(x) f(a)
lim xa
)
Si cette limite existe et est finie, elle est appelée le nombre dérivé à gauche de f en a et notée fG’(a).
Conséquences :
Soit f une fonction définie sur dom f et a un point de son domaine.
• Si fD’(a) et fG’(a) existent et sont égales, alors f est dérivable en a.
• Si fD’(a) et fG’(a) existent, mais sont distinctes, alors f n’est pas dérivable en a.
1.5 Dérivabilité et continuité
Propriété
Soit f une fonction définie sur dom f et a un point de son domaine.
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Remarque :
La réciproque de cette propriété est fausse. Il se peut que f soit continue en un point, sans pour autant y être dérivable.
2 Interprétation géométrique de la dérivée

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D. Dérivabilité des fonctions numériques
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2.1 Tangente en un point A(a ; f(a)) d’une courbe  pp. 135-138
Propriété
Une fonction f est dérivable en le réel a
si et seulement si
le graphe de f admet une seule tangente non verticale au point (a ; f(a)).
Propriété
Si la tangente au point (a ; f(a)) du graphe d’une fonction f n’est pas verticale, alors
• le coefficient directeur (ou pente dans un repère orthonormé) de cette tangente est égal au nombre dérivé de f en a.
• une équation cartésienne de cette tangente est y = f’(a)(x – a) + f(a).
Exemple
f(x) = x2 + 3x – 2, donc (xdom f’) : f’(x) = 2x + 3
Soit (t1) la tangente au graphe de f au point a = 1. On a : f(1) = 2 et f’(1) = 5
Donc y = f’(1)(x – 1) + f(1) = 5(x – 1) + 2 = 5x – 3. Finalement : (t1) ≡ y = 5x – 3
2.2 Cas spéciaux : si f n’est pas dérivable en a  p. 139
a) si f est dérivable à droite et à gauche en a, mais pas en a,
donc si
x a x a
f(x) f(a) f(x) f(a)
lim lim
x a x a
 (demi-)tangente à droite, (demi-)tangente à gauche
 point anguleux
x1
f(x) f(1)
lim 2
x1
et
x1
f(x) f(1)
lim 2
x1
b) si f n’est pas dérivable ni à droite, ni à gauche en a,
xa
f(x) f(a)
lim xa
xa
f(x) f(a)
lim xa
xa
f(x) f(a)
lim xa
tangente verticale
tangente verticale
point de rebroussement
xa
f(x) f(a)
lim xa
tangente verticale
point de rebroussement
tangente verticale