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D. Dérivabilité des fonctions numériques
0 Introduction
0.1 Approche physique
de 0 à 100 km/h en 3 secondes ?
L’affaire est toute
simple : on accroche
une voiture de petite
taille à une corde
bungee, on lâche la
voiture et on regarde
ce qui se passe…
Un peu de physique :
Si on néglige la
résistance de l’air, et
si on lâche la voiture
à l’instant t = 0, alors
après t secondes, la
voiture
aura
parcouru
environ
d(t) = 4,9t2 mètres.
0.2 Approche graphique
1
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D. Dérivabilité des fonctions numériques
1 Nombre dérivé – fonction dérivée
2
 pp. 123-135
1.1 Définitions
Définition
Soit f une fonction définie sur dom f et a un point de son domaine.
f(a  h)  f(a)
h
Si cette limite existe et est finie, elle est appelée le nombre dérivé de f en a et notée f’(a).
On dit que f est dérivable en a si la limite réelle suivante existe :
lim
h0
(ou bien : lim
xa
f(x)  f(a)
)
x a
Remarque
Il faut bien que la limite du quotient de la définition soit un nombre. Si cette limite est infinie, alors f n’est pas dérivable.
Exemple
Calculer le nombre dérivé de la fonction f : x
x2 au point 1.
2
2
f(1  h)  f(1)
(1  h)  1
lim
 lim
h0
h0
h
h
1  2h  h2  1
 lim
h0
h
2h  h2
0
 lim
f.i. " "  factoriser
h0
h
0
h(2  h)
 lim
h0
h
 lim (2  h)
h0
2
Donc f’(1) = 2.
Exercice
Calculer le nombre dérivé de la fonction f : x
x2 au point a.
Définition
Soit f une fonction définie sur dom f.
On appelle fonction dérivée la fonction f’ qui à tout point x en lequel f est dérivable fait correspondre son nombre dérivé.
Ainsi f’ : x
f’(x).
Le domaine de f’ est appelé domaine de dérivabilité de f et est noté domd f ou dom f’.
1.2 Fonctions dérivées des fonctions usuelles
f(x)
k
ax + b
x2
xn
1
x
dom f




*
x
0;
cos x
sin x


tan x
\{

+ kπ | k   }
2
f’(x)
0
a
2x
nxn−1
1
 2
x
1
dom f’




0;
1
cos2 x


\{
Exercice
a) Démontrer que si f(x) = ax + b, alors f’(x) = a (a, b  ).

+ kπ | k   }
2
démonstration
 p. 127
a, b  
exercice
n  *
 pp. 130-131
exercice
*
2 x
−sin x
cos x
1 + tan2x =
remarque
 p. 128
dom f ≠ dom f’
exercice
 p. 132
 p. 132
 p. 133
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D. Dérivabilité des fonctions numériques
b) Montrer que la fonction f : x
x n’est pas dérivable en 0.
1
.
x , alors f’(x) =
2 x
c) Démontrer que si f(x) =
1.3 Fonctions dérivées et opérations sur les fonctions
f(x)
f’(x)
formule « allégée »
démonstration
(u + v)(x)
u’(x) + v’(x)
(u + v)’ = u’ + v’
 p. 129
(u − v)(x)
u’(x) − v’(x).
(u − v)’ = u’ − v’
 p. 129
(u∙v)(x)
u’(x)∙v(x) + u’(x)∙v(x).
(uv)’ = u’v + uv’
 p. 129
(k∙u)(x)
k∙u’(x)
(ku)’ = ku’
 p. 129
1
( )(x)
v

v'(x)
v2 (x)
1
v'
( )'   2
v
v
 p. 129
u
( )(x)
v
u'(x)  v(x)  u(x)  v'(x)
v2 (x)
u
u'v  uv'
( )' 
v
v2
 p. 130
(v  u)(x)
(v’  u)(x)∙u’(x)
(v  u)’ = (v’ u) ∙ u’
admise
Exemples
a) f(x)  x2  x 3
u
dom f = dom f’ = 
v
(xdom f’) : f'(x)  2x  3x2
u'
v'
dom f = dom f’ = 
b) f(x)  5x4
k u
(xdom f’) : f'(x)  5  4x 3  20x 3
u'
k
dom f = dom f’ = 
c) f(x)  x2  cosx
u
v
(xdom f’) : f'(x)  2x  cosx  x2  ( sinx)  2x  cosx  x2  sinx
u'
d) f(x) 
u
v
v'
1
4x  6
dom f = dom f’ = 
2
v
v'
8x
(xdom f’) : f'(x)   2
(4x  6)2
v2
u
e) f(x) 
2x 2  3x  1
x 2  5x  6
dom f = dom f’ =  \ {−3;−2}
v
u
v
u'
v'
(4x  3)(x  5x  6)  (2x  3x  1)(2x  5)
(xdom f’) : f'(x) 
(x 2  5x  6)2
2
2
v2

(4x  20x  24x  3x  15x  18)  (4x 3  10x2  6x2  15x  2x  5) 7x 2  26x  23
 2
(x2  5x  6)2
(x  5x  6)2
3
2
2
Voici maintenant quelques exemples illustrant la formule (v
f) f(x) = (2x + 5)4
dom f = dom f’ = 
u)’ = (v’ u) ∙ u’ :
3
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D. Dérivabilité des fonctions numériques
f(x) = (v u)(x) avec v(x) = x4 et u(x) = 2x + 5
4
donc v’(x) = 4x3 et u’(x) = 2
(xdom f’) : f'(x)  4(2x  5)  2  8(2x  5)3
3
u'
v' u
dom f = dom f’ = 
g) f(x) = sin(3x2 + 4x – 9)
f(x) = (v u)(x) avec v(x) = sinx et u(x) = 3x2 + 4x + 5
donc v’(x) = cosx et u’(x) = 6x + 4
(xdom f’) : f'(x)  cos(3x2  4x  9)  (6x  4)  (6x  4)  cos(3x2  4x  9)
v' u
h) f(x) =
u'
sinx
2k;(2k  1)
dom f =
f(x) = (v u)(x) avec v(x) =
(xdom f’) : f'(x) 
x
et u(x) = sinx
1
2 sinx
 cosx 
u'
2k;(2k  1)
et dom f’ =
k
k
donc v’(x) =
1
cosx et u’(x) = cosx
2 x
cosx
2 sinx
v' u
 D’autres exemples se trouvent dans le livre pp. 133 et 134 !
On pourra donc aussi retenir :
f
f’
n
u
n ∙ un-1 ∙ u’
u'
u
2 u
1
u'
 2
u
u
f
cos u
f’
−u’ ∙ sin u
sin u
u’ ∙ cos u
tan u
u'
= (1 + tan2u) ∙ u’
cos2 u
Attention !
Dans ces formules, u n’est pas la variable par rapport laquelle on dérive, mais u est une fonction en cette variable.
1.4 Dérivée à droite, dérivée à gauche
Définitions
Soit f une fonction définie sur dom f et a un point de son domaine.
f(a  h)  f(a)
f(x)  f(a)
(ou bien : lim
)
x

a
h0
x a
h
Si cette limite existe et est finie, elle est appelée le nombre dérivé à droite de f en a et notée fD’(a).
f(a  h)  f(a)
f(x)  f(a)
• On dit que f est dérivable à gauche en a si la limite réelle suivante existe : lim
(ou bien : lim
)
x a
h0
x a
h
Si cette limite existe et est finie, elle est appelée le nombre dérivé à gauche de f en a et notée fG’(a).
• On dit que f est dérivable à droite en a si la limite réelle suivante existe : lim
Conséquences :
Soit f une fonction définie sur dom f et a un point de son domaine.
• Si fD’(a) et fG’(a) existent et sont égales, alors f est dérivable en a.
• Si fD’(a) et fG’(a) existent, mais sont distinctes, alors f n’est pas dérivable en a.
1.5 Dérivabilité et continuité
Propriété
Soit f une fonction définie sur dom f et a un point de son domaine.
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Remarque :
La réciproque de cette propriété est fausse. Il se peut que f soit continue en un point, sans pour autant y être dérivable.
2 Interprétation géométrique de la dérivée
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D. Dérivabilité des fonctions numériques
2.1 Tangente en un point A(a ; f(a)) d’une courbe  pp. 135-138
Propriété
Une fonction f est dérivable en le réel a
si et seulement si
le graphe de f admet une seule tangente non verticale au point (a ; f(a)).
Propriété
Si la tangente au point (a ; f(a)) du graphe d’une fonction f n’est pas verticale, alors
• le coefficient directeur (ou pente dans un repère orthonormé) de cette tangente est égal au nombre dérivé de f en a.
• une équation cartésienne de cette tangente est y = f’(a)(x – a) + f(a).
Exemple
f(x) = x2 + 3x – 2, donc (xdom f’) : f’(x) = 2x + 3
Soit (t1) la tangente au graphe de f au point a = 1. On a : f(1) = 2 et f’(1) = 5
Donc y = f’(1)(x – 1) + f(1) = 5(x – 1) + 2 = 5x – 3.
Finalement : (t1) ≡ y = 5x – 3
2.2 Cas spéciaux : si f n’est pas dérivable en a  p. 139
a) si f est dérivable à droite et à gauche en a, mais pas en a,
f(x)  f(a)
f(x)  f(a)
 lim
donc si lim
xa
xa
x a
x a
 (demi-)tangente à droite, (demi-)tangente à gauche
 point anguleux
lim
x1
b) si f n’est pas dérivable ni à droite, ni à gauche en a,
f(x)  f(a)
lim
 
xa
x a
lim
xa
lim
xa
lim
xa
f(x)  f(1)
f(x)  f(1)
 2 et lim
 2
x

1
x 1
x 1
f(x)  f(a)
 
x a
f(x)  f(a)
 
x a
tangente verticale
tangente verticale
point de rebroussement
tangente verticale
point de rebroussement
tangente verticale
f(x)  f(a)
 
x a
5