Le cours - Playmaths

Dérivation
Groupe : Activité 01 : Sécantes ( Fichier Géoplan « secantes » )
Groupe : Activité 02 : Nombre dérivé ( Fichiers Géoplan « nbder1 » et « nbder2 » )
I. Equation d’une droite (Rappels)
1) Droite parallèle à l’axe des ordonnées
Une droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme x = a.
Exemples :
2) Droite sécante à l’axe des ordonnées
Une droite sécante à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = ax + b.
a est le coefficient directeur. ( Je me déplace de 1 vers la droite, je monte ( respt.
descends ) de a si a >0 ( respt. de –a, si a < 0).
b est l’ordonnée à l’origine ( La droite passe par le point de coordonnées (0 ; b).
Coefficient directeur :
Le coefficient directeur a d’une droite D définie par deux points peut s’obtenir par simple
lecture graphique.
Exemple :
Ou par un simple calcul :
La droite passant par les points A et B a pour coefficient directeur :
a =
A
B
A
B
xx
yy
abscissesdesdifférence
ordonnéesdesdifférence
si xA xB
Exemples :
1) Déterminer par le calcul, une équation de la droite (AB) avec A (2 ; 3) et B (4 ; 4) puis le
vérifier graphiquement.
y =
Error!
x + 2
2) Idem avec A (3 ; 1 ) et B (-3 ; 5).
y = -
Error!
x + 3
3) Chercher une équation de la droite passant par le point A (1 ; 3 ) et de coefficient
directeur a = 2.
y = 2x + 1
Feuille équations de droites

II. Nombre dérivé
1) Taux d’accroissement
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant les réels a et b.
On appelle taux d’accroissement de f entre a et b le quotient T =
ab
)a(f)b(f
.
Remarque :
Le taux d’accroissement entre a et a+h est égale à
h
)a(f)ha(f 
.
Exemple :
Soit f(x) = x².
Déterminer le taux d’accroissement entre 1 et 1+h.
Ex 3-4-5 p.106
2) Nombre dérivé
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un nombre a. On dit que f est
dérivable en a lorsque le quotient
h
)a(f)ha(f 
admet une limite finie quand h tend vers 0.
Cette limite est le nombre dérivé de f en a.
On le note f’(a) et f’(a) =
0h
lim
h
)a(f)ha(f 
.
Exemple 1 :
Soit f la fonction définie sur
Ë
par f(x) = 3x
2
 x + 4.
f(2+h) = 3(2+h)
2
 (2+h) + 4 = 3(4 + 4h + h
2
)  2  h + 4 = 3h
2
+ 11 h + 14.
f(2) = 14
Donc
0h
lim
h
)2(f)h2(f 
=
0h
lim
h
1414h11h3 2
=
0h
lim
h
h11h3 2
=
0h
lim
(3h + 11)= 11
Donc f admet un nombre dérivé en 2, il est égal à 11.
Exemple 2 :
Soit g la fonction définie sur
Ë
par g(x) =
Error!
.
Cherchons si g admet un nombre dérivé en 3.
g( 3 + h ) =
Error!
=
Error!
g( 3) =
Error!
g( 3 + h ) - g( 3) =
Error!
-
Error!
=
Error!
Error!
=
Error!
0h
lim
h
)3(g)h3(g 
=
0h
lim
Error!
= -
Error!
La fonction g admet un nombre dérivé en 3, il est égal à –
Error!
.
Ex 7-8-9-10-11 p.107
III. Tangente à une courbe.
Propriété :

Soit f une fonction dérivable en a, de nombre dérivé f’(a) en a, alors f’(a) est le coefficient
directeur de la tangente à Cf au point d’abscisse a.
L’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse a est : y = f’(a) ( x – a ) + f(a).
Exemple :
Soit f la fonction définie sur
Ë
par f(x) = x
2
.
f(3) = 3
0h
lim
h
)3(f)h3(f 
=
0h
lim
h
9hh69 2
=
0h
lim
(h +6)= 6
Donc f’(3) = 6
F(3) = 9
L’équation de cette tangente est y = 6 (x  3) + 9 d’où y = 6x – 9.
Ex 14-15-16-17 p.107
Ex 19-20-21-22-23 …. P.108
Ex 27-28-29-30-31-32 p.109
Ex 34 p.109
IV. Fonction dérivée
1) Dérivabilité sur un intervalle
Soit f une ftc dérivable en tout point d’un intervalle .
On dit que la fonction f est dérivable sur I.
On appelle fonction dérivée de f, notée f’, la fonction f qui à tout réel x de I, associe le
nombre dérivé de f en x.
Exemple :
f est définie sur
Ë
par f(x) = x2.
f est dérivable sur
Ë
et f’(x) = 2x.
Dem :
2) Dérivées des fonctions usuelles
Ensemble de
définition
Fonction
Dérivée
Ensemble de
dérivabilité
Ë
f(x) = k ( constante )
f’(x) = 0
Ë
Ë
f(x) = x
f’(x) = 1
Ë
Ë
f(x) = x2
f’(x) = 2x
Ë
Ë
f(x) = x3
f’(x) = 3x2
Ë
Ë
f(x) = x
n
(n
2
)
f’(x) = nxn-1
Ë
Ë*
f(x) =
x
1
f’(x) = 
2
x
1
Ë*

Ë+
f(x) =
x
f’(x) =
x2
1
Ë+*
 Les fonctions polynômes sont dérivables sur
Ë
 Les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définition.
 La fonction
xx
est dérivable sur
Ë
+*.
Ex 44-45-
QCM p.112
3) Opérations sur les fonctions dérivables
Si u et v sont dérivables sur I alors ku est dérivable sur I et ( ku )' = k.u'.
u + v est dérivable sur I et ( u + v )’ = u’ + v’ .
u . v est dérivable sur I et ( u . v )’ = u’ v + v’ u
Si en plus v est non nulle sur I alors
v
1
est dérivable sur I et
2
v
'v
v
1
.
v
u
est dérivable sur I et
2
v
u'vv'u
v
u
.
Exemples :
Ex 40-41-35-36 p.142
Feuille d’exercices