Le cours - Playmaths

Dérivation
Groupe : Activité 01 : Sécantes ( Fichier Géoplan « secantes » )
Groupe : Activité 02 : Nombre dérivé ( Fichiers Géoplan « nbder1 » et « nbder2 » )
I.
Equation d’une droite (Rappels)
1) Droite parallèle à l’axe des ordonnées
Une droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme x = a.
Exemples :
2) Droite sécante à l’axe des ordonnées
Une droite sécante à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = ax + b.
a est le coefficient directeur. ( Je me déplace de 1 vers la droite, je monte ( respt.
descends ) de a si a >0 ( respt. de –a, si a < 0).
b est l’ordonnée à l’origine ( La droite passe par le point de coordonnées (0 ; b).
Coefficient directeur :
Le coefficient directeur a d’une droite D définie par deux points peut s’obtenir par simple
lecture graphique.
Exemple :
Ou par un simple calcul :
La droite passant par les points A et B a pour coefficient directeur :
différence des ordonnées yB  yA
a=
si xA  xB

différence des abscisses xB  xA
Exemples :
1) Déterminer par le calcul, une équation de la droite (AB) avec A (2 ; 3) et B (4 ; 4) puis le
vérifier graphiquement.
y = Error!x + 2
2) Idem avec A (3 ; 1 ) et B (-3 ; 5).
y = - Error!x + 3
3) Chercher une équation de la droite passant par le point A (1 ; 3 ) et de coefficient
directeur a = 2.
y = 2x + 1
Feuille équations de droites
II. Nombre dérivé
1) Taux d’accroissement
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant les réels a et b.
f(b)  f(a)
On appelle taux d’accroissement de f entre a et b le quotient T =
.
ba
Remarque :
Le taux d’accroissement entre a et a+h est égale à
f( a  h)  f( a)
.
h
Exemple :
Soit f(x) = x².
Déterminer le taux d’accroissement entre 1 et 1+h.
Ex 3-4-5 p.106
2) Nombre dérivé
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un nombre a. On dit que f est
f( a  h)  f( a)
dérivable en a lorsque le quotient
admet une limite finie quand h tend vers 0.
h
Cette limite est le nombre dérivé de f en a.
f( a  h)  f( a)
On le note f’(a) et f’(a) = lim
.
h0
h
Exemple 1 :
Soit f la fonction définie sur Ë par f(x) = 3x 2  x + 4.
f(2+h) = 3(2+h) 2  (2+h) + 4 = 3(4 + 4h + h 2 )  2  h + 4 = 3h 2 + 11 h + 14.
f(2) = 14
f(2  h)  f(2)
3h 2  11h  14  14
3h2  11h
Donc lim
= lim
= lim
= lim (3h + 11)= 11
h0
h0
h0
h0
h
h
h
Donc f admet un nombre dérivé en 2, il est égal à 11.
Exemple 2 :
Soit g la fonction définie sur Ë par g(x) = Error!.
Cherchons si g admet un nombre dérivé en 3.
g( 3 + h ) = Error! = Error!
g( 3) = Error!
g( 3 + h ) - g( 3) = Error!-Error! = Error!
Error!= Error!
g(3  h)  g(3)
= lim Error!= -Error!
lim
h0
h0
h
La fonction g admet un nombre dérivé en 3, il est égal à – Error!.
Ex 7-8-9-10-11 p.107
III. Tangente à une courbe.
Propriété :
Soit f une fonction dérivable en a, de nombre dérivé f’(a) en a, alors f’(a) est le coefficient
directeur de la tangente à Cf au point d’abscisse a.
L’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse a est : y = f’(a) ( x – a ) + f(a).
Exemple :
Soit f la fonction définie sur Ë par f(x) = x 2 .
f(3) = 3
f(3  h)  f(3)
9  6h  h 2  9
= lim
= lim (h +6)= 6
lim
h0
h0
h0
h
h
Donc f’(3) = 6
F(3) = 9
L’équation de cette tangente est y = 6 (x  3) + 9 d’où y = 6x – 9.
Ex
Ex
Ex
Ex
14-15-16-17 p.107
19-20-21-22-23 …. P.108
27-28-29-30-31-32 p.109
34 p.109
IV. Fonction dérivée
1) Dérivabilité sur un intervalle
Soit f une ftc dérivable en tout point d’un intervalle .
On dit que la fonction f est dérivable sur I.
On appelle fonction dérivée de f, notée f’, la fonction f qui à tout réel x de I, associe le
nombre dérivé de f en x.
Exemple :
f est définie sur Ë par f(x) = x2.
f est dérivable sur Ë et f’(x) = 2x.
Dem :
2) Dérivées des fonctions usuelles
Ensemble de
définition
Ë
Ë
Ë
Ë
Ë
Ë*
Fonction
Dérivée
f(x) = k ( constante )
f(x) = x
f(x) = x2
f(x) = x3
f’(x) = 0
f’(x) = 1
f’(x) = 2x
f’(x) = 3x2
f’(x) = nxn-1
1
f’(x) =  2
x
f(x) = x n (n  2 )
1
f(x) =
x
Ensemble de
dérivabilité
Ë
Ë
Ë
Ë
Ë
Ë*
Ë+
f(x) =
x
f’(x) =
1
Ë+*
2 x
 Les fonctions polynômes sont dérivables sur Ë
 Les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définition.
 La fonction x x est dérivable sur Ë+*.
Ex 44-45QCM p.112
3) Opérations sur les fonctions dérivables
Si u et v sont dérivables sur I alors
ku est dérivable sur I
u + v est dérivable sur I
et
u . v est dérivable sur I
et
Si en plus v est non nulle sur I alors
1
est dérivable sur I
v
u
est dérivable sur I
v
Exemples :
Ex 40-41-35-36 p.142
Feuille d’exercices
et
et
( ku )' = k.u'.
( u + v )’ = u’ + v’ .
( u . v )’ = u’ v + v’ u

v'
1
et
   2 .
v
v
 u'v  v'u
u
.
  
v2
v