Fonctions vectorielles à valeurs dans un espace euclidien

E désigne ici un R-ev euclidien de dimension p,
),..,( 21 p eeeB
en est une base.
D est une partie de R,
EDF :
est une fonction de D dans E.
On note
p
fff ,..., 21
les fonctions de D dans R définies par
 p
iii etftFDt 1)()(,
(On les appelle les fonctions coordonnées de F dans la base B)
I Limite, continuité
Définition, proposition :
Soit
Ra
un point adhérent à D, et
El
de coordonnées
p
lll ,..., 21
dans B.
0)(lim
lim,,1
))((,,0,0lim
ltF
lfpi
ltFatDtlf
at
ii
a
a
Définition, proposition analogues pour l’éventuelle limite en ou lorsque D est
non majorée ou non minorée.
Définition et proposition analogues pour les éventuelles limites à droite ou à gauche en
un point a de R tel que a soit adhérent à
,aD
ou
aD ,
.
On établit aisément les résultats concernant les opérations classiques sur les fonctions
vectorielles : si
EDGF :,
on des limites en un point a de
R
adhérent à D, si
R
et si
RD:
a une limite finie en a.
Alors
GF 
,
F
,
F
,
GF 
et
F
on des limites en a, qui sont respectivement :
GF aa limlim 
,
F
a
lim
,
F
aa lim.lim
,
GF aa limlim 
et
F
a
lim
.
Et dans les cas où E est orienté et de dimension 3,
GF 
a une limite en a qui est
GF aa limlim 
On a aussi le théorème de composition :
Si
RA:
(avec
RA
), si
EDF :
(avec
DA )(
), si
R
est adhérent à A
et si a une limite
Ra
en , alors a est adhérent à D, et si de plus F a une limite en a,
alors
F
a une limite en , qui est
F
a
lim
.
Définition, proposition :
Soit
Da
.
F est continue en a F admet une limite en a (c’est alors nécessairement
)(aF
)
pi ,1
,
i
f
est continue en a.
(Définition, proposition analogues pour l’éventuelle continuité à droite/à gauche en a)
Définition, proposition :
F est continue sur D
D
, F est continue en a.
pi ,1
,
i
f
est continue sur D.
On justifie aisément les résultats attendus concernant la continuité et les opérations
classiques sur les fonctions vectorielles…
On montre aussi facilement le théorème :
Si K est un segment de R, et si
EKF :
est continue sur K, alors F est bornée sur K
(c'est-à-dire qu’il existe
RM
tel que
MtFKt  )(,
)
On a en effet l’équivalence suivante :
F est bornée
pi ,1
,
i
f
est bornée.
Fonctions vectorielles à valeurs dans un espace euclidien

II Dérivabilité
Ici, I désigne un intervalle infini de R, on conserve les notations du début avec
ID 
(ainsi, F est une fonction de I dans E)
A) Définition, proposition
Soit
Ia
.
F est dérivable en a l’application
at atF
t
EaI )()( \
a une limite en a.
pi ,1
,
i
f
est dérivable en a.
Cette limite est alors notée
)(' aF
ou
)(a
dt
dF
, et on a
p
iii eafaF 1)(')('
.
Définitions, propositions analogues pour l’éventuelle dérivabilité et dérivée à
droite ou à gauche en a, et pour la dérivabilité et la dérivée sur I.
Proposition :
(Rappel : I est un intervalle de R)
Si F est dérivable sur I, alors
cte0'  FF
Notions de dérivées successives, de classes de fonctions analogues aux définitions
des fonctions réelles…
B) Opérations sur les fonctions dérivables en un point
Si
EIGF :,
sont dérivables en a, si
R
et si
RI:
est dérivable en a,
alors
GF 
,
F
,
F
et
GF
sont dérivables en a, et on a :
)(')()()(')()'(
)(').()().(')()'.(
)('.)()'.(
)(')(')()'(
aGaFaGaFaGF
aFaaFaaF
aFaF
aGaFaGF
Et, dans le cas où E est de dimension 3 et orienté,
GF 
est dérivable en a et :
)(')()()(')()'(aGaFaGaFaGF 
.
Remarque :
On obtient ensuite par récurrence les formules de Leibniz pour
)()( )(,).( nn GFF 
et
)(
)( n GF 
, lorsque F, G et sont de classe
n
C
.
Théorème de composition :
Si
RJ:
,
EIF :
avec
IJ )(
, si
J
et si est dérivable en et F
dérivable en
)(
, alors
F
est dérivable en , et
))((')(')()'( FF 
Proposition :
Si
EIF :
est dérivable en a, et si
0)( aF
, alors
F
est dérivable en a, et :
)( )(')(
)()'(aF aFaF aF 
En effet,
FFF 
, et en appliquant le théorème de dérivation pour la
composition des fonctions réelles
FF 
et
uu 
:
Si
0)()(  aFaF
(c'est-à-dire si
0)( aF
), alors
FF
est dérivable en a, de
dérivée
)( )(')(
)()(
)(')(2
2
1aF aFaF
aFaF
aFaF 
.
Proposition :
Si F est dérivable sur I, et si
cteF
, alors
'FF 
(c'est-à-dire
)(')(, tFtFIt 
)

En effet :
Si
0cte F
, c’est que
0cte F
, d’où le résultat.
Sinon, selon la propriété précédente, on peut écrire :
)( )(')(
)()'(0, aF aFaF aFIa 
Exemple :
C est un cas particulier d’espace euclidien sur R. (de dimension 2, une base
orthonormée étant par exemple la base
),1( i
, la norme euclidienne étant le module)
On a déjà traité le cas des fonctions d’une partie de R dans C (et on a dans ce cas
une opération supplémentaire, à savoir la multiplication)
Pour tout
Cm
, la fonction
tm
et .
est dérivable sur R, de dérivée
tm
met.
.
Lorsqu’on prend
im 
, cette fonction,
ti
et .
est de module constant égal à 1, et
sa dérivée
)(
.2
ti
ti eiet
lui est bien orthogonale.
III Intégration
Proposition, définition :
Soit
EbaF ],[:
, continue. Alors la valeur de
p
ii
b
aiedttf
1)(
est indépendante du
choix de la base
),...,( 21 p eeeB
. Cette valeur est par définition
b
adttF )(
.
La définition peut s’étendre aux fonctions continues par morceaux…
Propriété : linéarité, relation de Chasles…
Théorème (admis) :
Si
EbaF ],[:
est continue (ou continue par morceaux), et si
ba
, alors :
 b
a
b
adttFdttF )()(
Théorème :
Si I est un intervalle de R, et si
EIF :
est continue, alors la fonction
x
adttFx )(
est une primitive de F sur I, et c’est l’unique primitive de F sur I nulle en a.
Il en résulte que si
EIF :
est continue sur I, alors F admet une primitive G, et pour
tous a, b de I,
)()()( aGbGdttF
b
a
.
Conséquences : théorème d’intégration par parties, de changement de variables…
Remarque : La formule de la moyenne est fausse (Avec
CE
par exemple).
IV Inégalités et formules de Taylor diverses
Inégalité des accroissements finis :
Si F est continue sur
],[ ba
, dérivable sur
[,] ba
, et si il existe
Rk
tel que
ktFbat  )('[,,]
, alors
abkaFbF  )()(
.
L’égalité des accroissements finis est fausse (voir encore avec
CE
)
Inégalité de Taylor–Lagrange à l’ordre
1n
:
Si F est de classe
n
C
(
1n
) sur
],[ ba
, et si
)(sup )(
],[ tFM n bat
n
(qui existe d’après le I),
alors
n
n
n
nM
n
ab
aF
nab
aFabaFbF ! ))(
)!1( )(
...)(')()(()( )1(
1
L’égalité de Taylor–Lagrange est fausse (elle est vraie dans R mais hors programme)

Formule de Taylor avec reste intégral (à l’ordre
1n
) :
EbaF ],[:
est de classe
n
C
(
1n
), alors :
b
a
n
n
n
ndttF
n
tb
aF
nab
aFabaFbF )(
)!1(
)(
)!1( )(
...)(')()()( )(
1
)1(
1
(Cette formule s’établit aisément grâce à des intégrations par parties successives, et
donne ainsi une preuve de l’inégalité de Taylor–Lagrange grâce au théorème de majoration vu
au III)
Formule de Taylor–Young (à l’ordre n) :
Si
EIF :
est de classe
n
C
sur un intervalle I contenant 0, alors il existe
EI :
,
telle que
0)(lim
0t t
et :
)()0(....)0(''.)0('.)0()(, )(
!2
2ttFFFtFtFIt nn
n
tt n
V Développements limités
Définition :
Soient I un intervalle infini de R,
It 
0
, notons
ID 
ou
0
\tI
, et
EDF :
.
On dit que F admet un DL à l’ordre n en
0
t
lorsqu’il existe une fonction
ED :
et
des éléments
n
aaa ,..., 10
de E tels que :
)()()(...)()()(,
0)(lim
002
2
0100
0
tttattattattatFDt
t
n
n
n
tt
Propriétés :
- Unicité de l’éventuel DL à l’ordre n en
0
t
.
- Existence d’un DL à l’ordre n en
0
t
existence de DL en
0
t
à tout ordre
nq 
.
- Existence d’un DL à l’ordre 0 en
0
t
existence d’une limite en
0
t
En supposant maintenant que
It 
0
(c'est-à-dire que
ID 
) :
- Existence de DL à l’ordre 1 en
0
t
dérivabilité en
0
t
(Mais ne s’étend pas aux ordres supérieurs)
- F est de classe
n
C
au voisinage de
0
t
F a un DL à l’ordre n en
0
t
(Donné alors par la formule de Taylor–Young)
Opérations sur les DL :
- Somme, produit par un scalaire : évident.
- Pour les autres opérations : voir ce qui se passe dans chaque cas particulier.