Le pendule de Foucault

Le pendule de Foucault
par Gilbert Gastebois
1. Historique
En 1851, Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868) réalisa sa célèbre expérience au
Panthéon de Paris. Il lâcha sans vitesse initiale un long pendule simple de 67 m de longueur
fixé au plafond du dôme. Les spectateurs purent alors observer la lente rotation du plan
d'oscillation du pendule. En une heure, le pendule avait tourné de 11,3°.
2. Notations
Les vecteurs sont notés en gras
Rp Rayon de la Terre = 6370 km
λ Latitude du pendule
Ω Vecteur vitesse angulaire de rotation de la Terre parallèle à
l'axe Sud-Nord
R Distance du point M à l'axe de la Terre : R = Rp cos λ
Tp Période de rotation de la Terre = 23,92 h
( Ω = 2π/Tp = 7,297.10-5
rd/s )
L0 Longueur du pendule simple
T Période du pendule
Tf Période de rotation du plan d'oscillation du pendule
df/dt est notée f ' et d²f/dt² est notée f ''
3. 2ème loi de Newton dans un repère non galiléen
3.1 Accélération dans un repère non galiléen.
Soit un point M dans un repère tournant autour de l'axe z avec une vitesse angulaire Ω
OM = x i + y j + z k
dOM/dt = x' i + x Ω j + y' j - y Ω i + z' k ( i' = Ω j et j' = - Ω i **)
d²OM/dt² = x'' i + x' Ω j + x' Ω j - x Ω ² i + y'' j - y' Ω i - y' Ω i - y Ω ² j + z'' k
d²OM/dt² = x'' i + y'' j + z'' k - Ω ² x i - Ω ² y j + 2x' Ω j - 2y' Ω i
x'' - Ω² x - 2 y' Ω
a = y'' - Ω² y + 2 x' Ω = ar - Ω ² R - 2 vr X Ω ( X est le produit vectoriel )
z''
On pose Ω² R = ae et 2 vr X Ω = ac
( Cette relation vectorielle est vraie quelle que soit l'orientation de Ω par rapport aux axes )
ar est l'accélération relative au repère tournant, ae est l'accélération centrifuge et ac est
l'accélération de Coriolis
a = ar - ae - ac

3.2 2ème loi de Newton
m a = Σ Fext = m ar - m ae - m ac
ou m ar = Σ Fext + m ae + m ac = Σ Fext + Fe + Fc
( Fe est la "force" centrifuge et Fc est la "force" de Coriolis )
m ar = Σ Fext + Fe + Fc
Fe = m Ω² R
Fc = 2 m vr X Ω
2ème loi de Newton dans le repère tournant :
m ar = Σ Fext + Fe + Fc = Σ Fext + m Ω² R + 2 m vr X Ω
On retrouve la loi de Newton à condition d'ajouter aux forces extérieures, deux pseudo-
forces centrifuge et de Coriolis
4. Etude de la rotation du plan d'oscillation du pendule de Foucault
4.1 Période de rotation du plan d'oscillation pour les petits angles et pour une force
centrifuge négligeable
m ar = m g + T + m Ω² R + 2 m vr X Ω
La force centrifuge est une force constante qu'on peut ajouter à mg pour donner un poids
apparent mga = mg + Fe
Dans les conditions terrestres ae << g et ga = g ( 0 < ae < 0,034 m/s² << 9,8 m/s² )
On a alors m ar = m g + T + 2 m vr X Ω
On prend un repère dont l'axe Oz est parallèle à g ( axe d'équilibre du pendule ) et Oy dans
la direction du Nord.
On prend pour simplifier les calculs, vr dans le plan Oyz
Dans ce repère, vr = vy j ( Pour les petits angles, vz = 0 ) donc
vr = vy et Ω = Ω cosλ j + Ω sinλ k
vr X Ω = vy Ω sinλ i donc ( vr X Ω )x = vy Ω sinλ = vr Ω sinλ
Fc est une force perpendiculaire à vr ( vers sa droite dans l'hémisphère Nord où λ > 0) et
vaut ainsi Fc = 2 m( vr X Ω )x = 2 m vr Ω sinλ
Cette force crée une accélération ac = vr²/r et ac = Fc /m = 2 vr Ω sinλ
On a donc vr²/r = 2 vr Ω sinλ donc vr/r = 2 Ω sinλ
A t, le pendule oscille dans le plan xOz. ( La direction Ox est une
direction quelconque perpendiculaire à l'axe du pendule ).
Pendant que le pendule se déplace de dx, son plan d'oscillation
tourne de dφ.
dφ étant très petit, r dφ = dx/2
Si l'amplitude d'oscillation est faible, approximation des petits
angles, vr reste quasiment perpendiculaire à Oz
et vr = dx/dt
2 r dφ = dx = vr dt donc vr/r = 2 dφ/dt
vr/r = 2 dφ/dt et vr/r = 2 Ω sinλ donc ωf = dφ/dt = Ω sinλ = constante
ωf est constant donc le plan d'oscillation tourne uniformément autour de l'axe du pendule.
Tf = 2 π/ωf = 2 π/ (Ω sinλ ) = Tp/sinλ

La période de rotation du pendule autour de son axe est Tf = Tp/sinλ
Par exemple à Paris où λ = 49°, le pendule fait un tour complet autour de son axe en
24/sin λ = 31 h 48 min ( 11,3° en 1 heure )
Aux pôles, Tf = Tp, le pendule garde un plan d'oscillation fixe par rapport à l'Univers et la
Terre tourne sous lui..
A l'équateur, λ = 0, Tf est infini, le pendule ne tourne pas. Si l'amplitude est assez grande,
une faible force de Coriolis existe encore et lui donne un mouvement compliqué, le plan
d'oscillation va et vient à droite et à gauche, mais globalement, il n'y a pas de rotation.
Remarque : Cette théorie suppose qu'on est dans l'approximation des petits angles
( La formule Tf = Tp/sinλ n'est strictement vraie que pour une amplitude nulle... ).
Si l'amplitude augmente dx < vr dt et dφ/dt < ωsinλ donc Tf > Tp/sinλ
La période de rotation du plan d'oscillation du pendule augmente légèrement avec
l'amplitude d'oscillation.
D'autre part dans l'hémisphère Sud, λ < 0 donc ωf < 0 et le pendule tourne dans l'autre sens
( le sens inverse des aiguilles d'une montre, vu de dessus ).
4.2 Période de rotation du plan d'oscillation pour les petits angles avec force centrifuge
ga est la pesanteur apparente : ga = g + ae
ga² = g² + ae² - 2 g ae cosλ = g² + Ω² Rp cosλ - 2 g Ω² Rp cos²λ
tan α = ae sinλ /( g - ae cosλ ) = Ω² Rp cosλ sinλ /( g - Ω² Rp cos²λ)
Il suffit d'appliquer la théorie précédente ( sans force centrifuge ) en remplaçant g par ga et λ
par λa = λ + α
donc Tf = Tp/sinλa
5. Équations différentielles du mouvement du pendule de Foucault pour les
petits angles.
a = m ga + T + 2 m v X Ω La force centrifuge est intégrée dans ga
On prend un repère dont l'origine O est l'axe du pendule ( z < 0 ), l'axe Oz est parallèle à
ga( axe d'équilibre du pendule ) et Oy dans la direction du Nord. On appelle θ l'élongation
angulaire par rapport à l'axe Oz.
Si θ est petit, on n'a plus de mouvement significatif sur Oz, donc
z = - l, z' = 0 , z'' = 0 et cos θ = 1 - θ²/2 = 1.
De plus, d'après la conservation de l'énergie mécanique,
v²/L0 = 2 ga( cos θ - cos θm ) = ga( θm² - θ² ) << ga donc T = m ga
On pose ω0² = ga/L0 ( ω0 est la pulsation du pendule dans un repère galiléen )
x'' = - T/m x/L0 + 2 y'Ωsinλa - 2 z'Ω cosλa = -gax/L0 + 2 y'Ωsinλa = - ω0²x + 2 y'Ωsinλa
y'' = - T/m y / L0 - 2 x' Ω sinλa = - ga y / L0 - 2 x' Ω sinλa = - ω0² y - 2 x' Ω sinλa
z'' = 0
Équations différentielles pour les petits angles
x'' = - ω0² x + 2 y' Ω sinλa
y'' = - ω0² y - 2 x' Ω sinλa

6. Solution des équations pour les petits angles
6.1 Solution générale
x'' = - ω0² x + 2 y' Ω sinλa
y'' = - ω0² y - 2 x' Ω sinλa
On peut alors prendre comme solution x = C1 e jαt et y = C2 e jαt puis remplacer dans
les deux équations, mais la méthode la plus simple pour résoudre ces équations est de
considérer x et y comme la partie entière et imaginaire d'un complexe Z = x + j y
On a alors une seule équation Z'' = - ω0² Z - 2 j Z' Ω sinλa
La solution est du type Z = c e jαt donc - α² = - ω0² + 2 α Ω sinλa
La solution est α = - Ω sinλa ± ( ω0² + Ω² sin²λa )1/2 On pose ( ω0² + Ω² sin²λa )1/2 = ω
donc α = - Ω sinλa ± ω
On pose : Ωz = Ω sin λa ω1
= ω + Ωz ω2 = ω - Ωz
La solution est donc Z = ( C1 e -jω1t + C2 e jω2t ) ( C1 et C2 sont des complexes :
C1 = c1 + j c'1 C2 = c2 + j c'2 ) donc
Z = ( c1 + j c'1) cos ω1t - j ( c1 + j c'1) sin ω1t + ( c2 + j c'2) cos ω2t +
j ( c2 + j c'2) sin ω2t = x + j y
x = c1 cos (ω + Ωz)t + c'1 sin (ω + Ωz)t + c2 cos (ω - Ωz)t - c'2 sin (ω - Ωz)t
y = c'1 cos (ω + Ωz)t - c1 sin (ω + Ωz)t + c'2 cos (ω - Ωz)t + c2 sin (ω - Ωz)t
vx = - c1 (ω + Ωz) sin (ω + Ωz)t + c'1 (ω + Ωz) cos (ω + Ωz)t -
c2 (ω - Ωz) sin (ω - Ωz)t - c'2 (ω - Ωz) sin (ω - Ωz)t
vy = - c'1 (ω + Ωz) sin (ω + Ωz)t - c1 (ω + Ωz) cos (ω + Ωz)t -
c'2 (ω - Ωz) sin (ω - Ωz)t + c2 (ω - Ωz) cos (ω - Ωz)t
Conditions initiales : A t = 0, x = x0, y = y0, vx = vx0 et vy = vy0 Cela donne :
c1 = ((ω - Ωz) x0 - vy0)/(2ω) c'1 = ((ω - Ωz) y0 + vx0)/(2ω)
c2 = ((ω + Ωz) x0 + vy0)/(2ω) c'2 = ((ω + Ωz) y0 - vx0)/(2ω)
6.2 1ère solution ( simple )
On prend c1 = c2 = r0/2 c'1 = c'2 = 0
x = r0/2 cos (ω + Ωz)t + r0/2 cos (ω - Ωz)t = r0 cos Ωzt cos ωt
y = - r0/2 sin (ω + Ωz)t + r0/2 sin (ω - Ωz)t = - r0 sin Ωzt cos ωt
vx = - r0 ω cos Ωzt sin ωt - r0 Ωz sin Ωzt cos ωt
vy = r0 ω sin Ωzt sin ωt - r0 Ωz cos Ωzt cos ωt
On change de repère en prenant un repère OXYz tournant autour de l'axe Oz à la vitesse
angulaire Ωz, on obtient
X = x cos Ωzt - y sin Ωzt = r0 cos ωt
Y = y cos Ωzt + x sin Ωzt = 0
On a donc une oscillation sinusoïdale de pulsation ω dans un plan qui tourne à la vitesse
angulaire Ωz = Ω sin λa. On retrouve donc la période de rotation du plan d'oscillation :
Tf = Tp/sin λa
Les conditions initiales à t = 0, sont alors x0 = r0 , y0 = 0, vx0 = 0 et vy0 = - r0 Ωz

Si on décale le pendule de r0 vers l'Est et qu'on le lance latéralement vers le Sud avec une
vitesse de r0 Ωz, le pendule a un mouvement particulièrement simple, il oscille dans un plan
qui tourne à la vitesse angulaire Ωz = Ω sin λa. Le problème est que ce ne sont pas des
conditions initiales très réalistes car difficiles à réaliser en pratique.
Pour le pendule du Panthéon, cela donnerait vy0 = - 0,357 mm/s = -1,285 m/heure !
Remarque : ω est légèrement différente de ω0 donc la période mesurée dans le repère en
rotation est légèrement différente de la période propre du pendule, cependant l'écart est
infime. ω = ( ω0² + Ω² sin²λa )1/2 = ω0 ( 1 + Ωz²/(2ω0²) ) et T = T0 ( 1 - Ωz²/(2ω0²) )
ce qui fait une différence relative de 10-8
pour le pendule du Panthéon !.
6.3 2ème solution ( plus réaliste )
Les conditions initiales les plus simples à réaliser sont : à t = 0, x0 = r0, y0 = 0, vx0 = 0
et vy0 = 0
c1 = (ω - Ωz)/(2ω) r0 c'1 = 0
c2 = (ω + Ωz)/(2ω) r0 c'2 = 0
donc
x = (ω - Ωz)/(2ω) r0 cos (ω + Ωz)t + (ω + Ωz)/(2ω) r0 cos (ω - Ωz)t =
r0 cos Ωzt cos ωt + r0 Ωz/ω sin Ωzt sin ωt
y = - (ω - Ωz)/(2ω) r0 sin (ω + Ωz)t + (ω + Ωz)/(2ω) r0 sin (ω - Ωz)t =
- r0 sin Ωzt cos ωt + r0 Ωz/ω cos Ωzt sin ωt
x = r0 cos Ωzt cos ωt + r0 Ωz/ω sin Ωzt sin ωt
y = - r0 sin Ωzt cos ωt + r0 Ωz/ω cos Ωzt sin ωt
On change de repère en prenant un repère OXYz tournant autour de l'axe Oz à la vitesse
angulaire Ωz, on obtient
X = x cos Ωzt - y sin Ωzt
Y = y cos Ωzt + x sin Ωzt
X = r0 cos²Ωzt cos ωt + r0 Ωz/ω sin Ωzt cos Ωzt sin ωt + r0 sin² Ωzt cos ωt -
r0 Ωz/ω sin Ωzt cos Ωzt sin ωt
X = r0 cos ωt
Y = - r0 cos Ωzt sin Ωzt cos ωt + r0 Ωz/ω cos² Ωzt sin ωt + r0 cos Ωzt sin Ωzt cos ωt + r0
Ωz/ω sin² Ωzt sin ωt
Y = r0 Ωz/ω sin ωt
donc X = a cos ωt et Y = b sin ωt. Ce sont les équations paramétriques d'une ellipse de
demi-grand axe a = r0 et de demi-petit axe b = r0 Ωz /ω décrite dans le sens des aiguilles
d'une montre ( vu de dessus ) dans l'hémisphère Nord ( en sens inverse dans l'hémisphère
Sud ).
Le pendule décrit une ellipse de demi-grand axe r0 et de demi-petit axe r0 Ωz/ω dans
un repère tournant à la vitesse Ωz autour de Oz,
Remarque : c'est le mouvement d'un pendule dans un repère galiléen si on l'écarte d'une
distance r0 et qu'on le lance avec une vitesse initiale transverse égale à -r0 Ωz, ce qui est
bien la vitesse relative initiale du pendule par rapport au repère OXYz. Ainsi, par rapport au
repère tournant OXYz, le mouvement du pendule est le même, que celui du même pendule