Période d’un pendule simple Exercice

Terminale SExercice page n°1
Période d’un pendule simple
On considère un pendule simple constitué d’un solide ponctuel de masse msuspendu à un l de
longueur l.
À un instant t, le pendule en mouvement fait un angle θavec la verticale. Le centre d’inertie du
solide se trouve alors à la hauteur z. On considère que les frottements sont négligeables et on se
place dans le cadre des petites oscillations.
Les frottements étant négligeables, il y a conservation de l’énergie mécanique : Ereste constante,
donc sa dérivée est nulle !
x
l
z
O
z
On a :
E=EC+EP=
1
2mv2+mg z
Or dE
dt
=0
D’où :
d[ 1
2mv2+mg z ]
dt
=0
soit
mv dv
dt
+mg dz
dt
=0 (1)
Or, dans le repère (O;~ k)dirigé vers le haut :
z=l(1 −cosθ)donc dz
dt
=ldθ
dtsinθ
Dans le cadre des petites oscillations, l’angle θrestant très petit, on peut faire l’approximation :
sinθ≈θ
De plus, on sait que la vitesse est reliée à la vitesse angulaire ω0par :
v=lω0=ldθ
dtlétant ici le rayon de la trajectoire du solide
L’équation (1) devient donc :
ml 2dθ
dt
d2θ
dt2+mg l dθ dtθ=0
Dans le cas où la vitesse angulaire n’est pas nulle, on peut simplier par dθ
dt, d’où :
ld2θ
dt2+gθ=0
soit :
d2θ
dt2+g lθ=0
Cette équation étant de la forme d2θ
dt2+ω0θ=0, elle admet un ensemble de solutions de la forme θ(t)=θmcos(ω0t+ϕ)avec ω0la
pulsation propre des oscillations :
ω2
0=g
l
donc la période propre T0est donnée par :
T0=2πsl
g