Exercice Terminale S page n°1 Période d’un pendule simple z On considère un pendule simple constitué d’un solide ponctuel de masse m suspendu à un fil de longueur l . À un instant t , le pendule en mouvement fait un angle θ avec la verticale. Le centre d’inertie du solide se trouve alors à la hauteur z . On considère que les frottements sont négligeables et on se place dans le cadre des petites oscillations. Les frottements étant négligeables, il y a conservation de l’énergie mécanique : E reste constante, donc sa dérivée est nulle ! x ��� � l z O On a : 1 E = EC + EP = mv 2 + mg z 2 Or dE =0 dt D’où : d[ 12 mv 2 + mg z ] dt =0 soit mv dv dz + mg =0 dt dt (1) Or, dans le repère (O;~ k) dirigé vers le haut : z = l (1 − cos θ) dθ dz =l sin θ dt dt donc Dans le cadre des petites oscillations, l’angle θ restant très petit, on peut faire l’approximation : sin θ ≈ θ De plus, on sait que la vitesse est reliée à la vitesse angulaire ω0 par : v = l ω0 = l dθ dt l étant ici le rayon de la trajectoire du solide L’équation (1) devient donc : dθ d2 θ dθ + mg l θ=0 2 dt dt dt dθ Dans le cas où la vitesse angulaire n’est pas nulle, on peut simplifier par , d’où : dt ml 2 l d2 θ + gθ = 0 dt 2 soit : d2 θ g + θ=0 dt 2 l d2 θ Cette équation étant de la forme 2 + ω20 θ = 0, elle admet un ensemble de solutions de la forme θ(t ) = θm cos(ω0 t + ϕ) avec ω0 la dt pulsation propre des oscillations : g l ω20 = donc la période propre T0 est donnée par : s T0 = 2π l g