Leçon 50

Leçon 50 Dérivabilité
(1ère S, ES, Term S, ES)
Pré Requis : _ Fonctions affines
_Coefficient directeur d’une droite
_Limite en un point
_Continuité
I) Activité introductive.
II) Dérivée en un point
Cadre : soient la fonction f :E->R avec E un intervalle de R non vide et non réduit à un
point, et le point a dans I.
Définition 1 : f est dérivable en a si 
 existe et est finie. Dans ce cas, ce
nombre est appelé le nombre dérivé de f en a et il est noté f’(a).
Le rapport 
 est appelé le taux d’accroissement de f en a.
Remarque : par un changement de variable, si f est dérivable en a,
 =f’(a)
Théorème 1: Si f est derivable en a, alors f est continue en a.
Preuve : soit  
Or 
Donc 
Donc f est continue en a.
Remarque : la réciproque est fausse.
Contre exemple : la fonction valeur absolue ou racine.
III) Interprétation géométrique et tangente à une courbe.
Expliquer graphiquement à l’aide de géogebra.

Définition 2 : Si f est dérivable en a, on appelle tangente en A à la courbe C, la droite qui
passe par A et de coefficient directeur le nombre dérivé f’(a).
Proposition 2 : La tangente à la courbe C au point A d’abscisse a, a pour équation :
y=f’(a)(x-a)+f(a)
Preuve : la tangent a pour coefficient directeur f’(a), donc elle a une équation de la forme
y=f’(a)x+b . Or cette droite passe par le point (a,f(a)), donc f(a)=f’(a)a+b , d’où b=f(a)-f’(a)a
IV) Fonction dérivée
Définition 3 : Soit I un intervalle de R, soit f une fonction de I dans R, soit  l’ensemble
des points de I en lesquels f est dérivable. Pour x, l’application  est appelée
la fonction dérivée de f et noté f’.
a) Exemples :
Fonctions
Fonctions dérivées
b) Opérations algébriques :
Notons D(I) l’ensemble des applications de I dans R qui sont dérivables sur I.
Théorème 2 : Soient f et g deux élements de D(I). Alors
1) f+gD(I) et (f+g)’=f’+g’
2) f.gD(I) et (f.g)’=f’.g+f.g’

3) si g ne s’annule pas sur I alors la fonction 
D(I) et  = 
Preuve : 1) Evident en revenant à la définition de la dérivée.
2) 
 en rajoutant et en retranchant au
numérateur f(a)g(a+h), on a 
 or f et g sont dérivables en
a et 
 = 
3) En revenant à la définition :
Donc 
C) Dérivée d’une fonction composée
Théorème 3 : 
Preuve : Soit x un réel voisin et distinct de a tel que f(x)f(a). Le taux d’accroissement de gof
en a s’écrit 
 ou encore 
Or f est dérivable et donc continue en a, d’où 
  et 
Et puisque g est dérivable en f(a), alors 
D’où par produit, on obtient : 
V) Applications de la dérivée
Activité introductive avec géogébra
a) Lien entre signe de la dérivée et sens de variation
Propriété : Soit I un intervalle et f une fonction dérivable sur I.
_f est croissante sur I si et seulement si la fonction dérivée f’ est positive sur I.
_f est décroissante sur I si et seulement si la fonction dérivée f’ est négative sur I.
_f est constante sur I si et seulement si la fonction dérivée f’ est nulle sur I.

Preuve : Supposons que f est croissante sur I. Soit a un réel appartenant à I, et un réel h tel
que a+h appartient à I.
_ Si h>0, alors la croissance de f permet d’écrire f(a)f(a+h) d’où f(a+h)-f(a)0.
En divisant par h>0, on a 
_Si h<0, la croissance de f entraine f(a)f(a+h), et donc f(a+h)-f(a)0.
Donc 
. Donc f’(a)0.
La réciproque est admise.
b) Extremum local d’une fonction
Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit  . Si f admet en  un
extremum local alors f’()=0.