Leçon 50

Leçon 50 Dérivabilité
(1ère S, ES, Term S, ES)
Pré Requis :
_ Fonctions affines
_Coefficient directeur d’une droite
_Limite en un point
_Continuité
I)
II)
Activité introductive.
Dérivée en un point
Cadre : soient la fonction f :E->R avec E un intervalle de R non vide et non réduit à un
point, et le point a dans I.
Définition 1 : f est dérivable en a si 𝑥→𝑎
lim
𝑥≠𝑎
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
existe et est finie. Dans ce cas, ce
nombre est appelé le nombre dérivé de f en a et il est noté f’(a).
Le rapport
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
est
𝑥−𝑎
appelé le taux d’accroissement de f en a.
Remarque : par un changement de variable, si f est dérivable en a,
lim
ℎ→0
ℎ≠0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
=f’(a)
Théorème 1: Si f est derivable en a, alors f est continue en a.
Preuve : soit 𝑥 ∈ 𝐸\{𝑎}, 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) − 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎)
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
= 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑥 − 𝑎) [
− 𝑓 ′ (𝑎)]
𝑥−𝑎
Or
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
= 𝑓′(𝑎)
Donc 𝑥→𝑎
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥≠𝑎
Donc f est continue en a.
Remarque : la réciproque est fausse.
Contre exemple : la fonction valeur absolue ou racine.
III)
Interprétation géométrique et tangente à une courbe.
Expliquer graphiquement à l’aide de géogebra.
Définition 2 : Si f est dérivable en a, on appelle tangente en A à la courbe C, la droite qui
passe par A et de coefficient directeur le nombre dérivé f’(a).
Proposition 2 : La tangente à la courbe C au point A d’abscisse a, a pour équation :
y=f’(a)(x-a)+f(a)
Preuve : la tangent a pour coefficient directeur f’(a), donc elle a une équation de la forme
y=f’(a)x+b . Or cette droite passe par le point (a,f(a)), donc f(a)=f’(a)a+b , d’où b=f(a)-f’(a)a
IV)
Fonction dérivée
Définition 3 : Soit I un intervalle de R, soit f une fonction de I dans R, soit 𝐼1 l’ensemble
des points de I en lesquels f est dérivable. Pour x∈ 𝐼1, l’application 𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) est appelée
la fonction dérivée de f et noté f’.
a) Exemples :
Fonctions
𝑓: 𝑅 → 𝑅
𝑥→𝐶
Fonctions dérivées
𝑓: 𝑅 → 𝑅
𝑥→0
𝑓: 𝑅 → 𝑅
𝑥→𝑥
𝑓: 𝑅 → 𝑅
𝑥→1
𝑓: 𝑅 ∗ → 𝑅
1
𝑥→
𝑓: 𝑅 ∗ → 𝑅
1
𝑥→
𝑓: 𝑅+ → 𝑅
𝑥 → √𝑥
𝑓: 𝑅+∗ → 𝑅
1
𝑥→2 𝑥
𝑓: 𝑅 → 𝑅
𝑥 → 𝑥𝑛
𝑓: 𝑅 → 𝑅
𝑥 → 𝑛𝑥 𝑛−1
𝑓: 𝑅 → 𝑅
𝑥 → sin(𝑥)
𝑓: 𝑅 → 𝑅
𝑥 → cos(𝑥)
𝑓: 𝑅 → 𝑅
𝑥 → cos(𝑥)
𝑓: 𝑅 → 𝑅
𝑥 → −sin(𝑥)
𝑥
𝑥²
√
b) Opérations algébriques :
Notons D(I) l’ensemble des applications de I dans R qui sont dérivables sur I.
Théorème 2 : Soient f et g deux élements de D(I). Alors
1) f+g∈D(I) et (f+g)’=f’+g’
2) f.g∈D(I) et (f.g)’=f’.g+f.g’
3) si g ne s’annule pas sur I alors la fonction
1
𝑔
1
𝑔
∈D(I) et ( )′=
−𝑔′
𝑔²
Preuve : 1) Evident en revenant à la définition de la dérivée.
(𝑓𝑔)(𝑎+ℎ)−(𝑓𝑔)(𝑎)
𝑓(𝑎+ℎ)𝑔(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)𝑔(𝑎)
ℎ≠0
en rajoutant et en retranchant
ℎ
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
𝑔(𝑎+ℎ)−𝑔(𝑎)
numérateur f(a)g(a+h), on a
𝑔(𝑎 + ℎ) + 𝑓(𝑎)
or f et g sont dérivables
ℎ
ℎ
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
𝑔(𝑎+ℎ)−𝑔(𝑎)
a et lim
𝑔(𝑎 + ℎ) + 𝑓(𝑎)
= 𝑓 ′ (𝑎)𝑔(𝑎) + 𝑓(𝑎)𝑔′ (𝑎)
ℎ
ℎ
ℎ→0
2)
ℎ
=
au
en
3) En revenant à la définition :
1
1
1
(
− 𝑔(𝑎))
𝑥−𝑎 𝑔(𝑥)
1 ′
Donc (𝑔) (𝑎) =
1
= − 𝑔(𝑥)𝑔(𝑎) ∗
𝑔(𝑥)−𝑔(𝑎)
𝑥−𝑎
−𝑔′ (𝑎)
𝑔²(𝑎)
C) Dérivée d’une fonction composée
Théorème 3 : 𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑓: 𝐼1 → 𝑅 𝑒𝑡 𝑔: 𝐼2 → 𝑅 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑓(𝐼1 ) 𝐶 𝐼2 𝑒𝑡 𝑎 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐼1 .
𝑆𝑖 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑎 𝑒𝑡 𝑓 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑓(𝑎)𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑔𝑜𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑎
𝑒𝑡 (𝑔𝑜𝑓)′ = (𝑔′ 𝑜𝑓) ∗ 𝑓
Preuve : Soit x un réel voisin et distinct de a tel que f(x)≠f(a). Le taux d’accroissement de gof
en a s’écrit
𝑔(𝑓(𝑥))−𝑔(𝑓(𝑎))
𝑥−𝑎
ou encore
𝑔(𝑓(𝑥))−𝑔(𝑓(𝑎))
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
Or f est dérivable et donc continue en a, d’où lim
𝑥→𝑎
Et puisque g est dérivable en f(a), alors lim
𝑔(𝑓(𝑥))−𝑔(𝑓(𝑎))
𝑥→𝑎
V)
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
= 𝑓 ′ (𝑎) et lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑔(𝑓(𝑥))−𝑔(𝑓(𝑎))
𝑥→>𝑎
D’où par produit, on obtient : lim
−
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
∗
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
𝑥→𝑎
= 𝑔′ (𝑓(𝑎))
= 𝑓 ′ (𝑎) ∗ 𝑔′ (𝑓(𝑎))
Applications de la dérivée
Activité introductive avec géogébra
a) Lien entre signe de la dérivée et sens de variation
Propriété : Soit I un intervalle et f une fonction dérivable sur I.
_f est croissante sur I si et seulement si la fonction dérivée f’ est positive sur I.
_f est décroissante sur I si et seulement si la fonction dérivée f’ est négative sur I.
_f est constante sur I si et seulement si la fonction dérivée f’ est nulle sur I.
Preuve : Supposons que f est croissante sur I. Soit a un réel appartenant à I, et un réel h tel
que a+h appartient à I.
_ Si h>0, alors la croissance de f permet d’écrire f(a)≤f(a+h) d’où f(a+h)-f(a)≥0.
En divisant par h>0, on a
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
≥0
_Si h<0, la croissance de f entraine f(a)≥f(a+h), et donc f(a+h)-f(a)≤0.
Donc
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
≥ 0. Donc f’(a)≥0.
La réciproque est admise.
b) Extremum local d’une fonction
Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit 𝛼 ∈ 𝐼. Si f admet en 𝛼 un
extremum local alors f’(𝛼)=0.