Calcul différentiel Objectifs 1- Calculs: dérivées, dérivée d`un produit

Calcul différentiel
Objectifs
1- Calculs: dérivées, dérivée d'un produit scalaire, dérivées d'ordre supérieur (utilisation répétée du théorème de
prolongement d'une dérivée).
2- Inégalités.
3- Applications :
- Etude d'une suite, recherche d'équivalents
- Majoration de l'erreur dans le calcul d'une intégrale
- Optimisation
- Théorème du point fixe
- Localisation des zéros d'un polynôme
- Problèmes de recollement
Exercice
1.
Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes. Sont-elles de classe C1 ?
fx
x1x
ÑÑ
3
gx x 1
ÑÑ
h1
x x sin si x 0 et h (0) 0
x
ÑÑ
1,2,3
Exercice
2.
Calculer la dérivée n-ième de la fonction x (x - 1)3ex.
Exercice
3.
Soient a , x0 > 0 et f : *+  telle que : f(x)=
0
0
a x si 0<x<x
x² 12 si x x
.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur a et x0 pour que f soit de classe C1 sur +.
Exercice
4.
Soit  la fonction définie sur  par (t) =
1
t
e si t>0
0 si t 0
.
1- Montrer que  est de classe
C
sur *+ et que, pour tout n
ô
et t > 0,
1
(n) tn1
(t)e P t
où Pn est un polynôme de [X].
2- Montrer que  est de classe
C
sur .
3- En déduire que la fonction  définie sur  par (t) =
1
1 t²
e si t 1
0 si t 1
est de classe
C
sur .
Exercice
5.
On munit l'espace 3 de son produit scalaire usuel, noté ., et on considère deux fonctions f, g :  3
de classe C1 sur .
1- Montrer que la fonction  : t f(t).g(t) est de classe C1 sur  puis calculer sa dérivée.
2- Montrer que la fonction  : t
2
f(t)
est de classe C1 sur  puis calculer sa dérivée.
Exercice
6.
1- Etablir les inégalités suivantes :
a-
2x
xx
x , e x 1 e
2
    Ñ

b-
1 1 2
x,y , , arcsin(y) arcsin(x) x y
22 3
c-
2 2 3
x x x
x , x ln(1 x) x
2 2 3
       Ñ
2- Donner une approximation à 10-3 près de ln 2.
Exercice
7.
Pour n *, soit Sn=
n
k1
1
k
.
1- En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction x ln x sur chacun des intervalles
[k,k+1] (k *), montrer que
n
n
LimS
.
2- Trouver un équivalent de Sn lorsque n .
Exercice
8.
Soit
nn
uô
la suite définie par u0 =
1
2
et un+1 = f(un) avec f (x) =
x
e
x2
.
1- Montrer que, pour tout n
ô
, un [0, 1].
2- Montrer qu'il existe un unique réel s [0, 1] solution de l'équation f (x) = x.
3- Déduire de l'inégalité des accroissements finis que :
n 1 n
2
n , u s u s
3
    ô
4- Montrer que
n
n
Limu s
, puis donner une valeur approchée de s à 10-3 près.
Exercice
9.
1- Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Montrer que si f s'annule n fois sur I, alors f s'annule au
moins (n - 1) fois sur I.
2- Soit n * et f une fonction n fois dérivable sur I. Montrer que la dérivée d'ordre (n - 1) de f s'annule au
moins une fois sur I.
3- Soit P un polynôme de degré n à coefficients réels et dont toutes les racines sont réelles et distinctes.
Montrer que les racines de P' sont toutes réelles et distinctes.
Exercice
10.
On veut effectuer un transport sur une distance d. On prend en compte la dépense due au combustible, supposée
proportionnelle au carré de la vitesse, et la paie du personnel, supposée proportionnelle à la durée. Déterminer la
vitesse de telle sorte que la dépense totale soit minimale.
Exercice
11.
Soit f de classe C² sur [a,b] et g la fonction affine que g(a)=f(a) et g(b)=f(b). On approche alors l'intégrale I
=
b
af(t)dt
par J =
b
ag(t)dt
.
1- Calculer J.
2- On désire majorer l'erreur de méthode |I-J|.
Pour cela, on considère la fonction  définie sur [a, b] par(x)=
x
af(t)dt
xa
2
(f(x) + f(a)) - K (x-a)3.
a- Calculer (a) et (b).
b- On choisit désormais K de façon que (b) = 0. Calculer ' et ".
c- A l'aide d'utilisations répétées du théorème de Rolle, prouver l'existence de d ]a, b[ tel que K= -
f "(d)
12
.
d- En déduire I = J -
3
(b a) f "(d)
12
.
3- On discrétise l'intervalle [a,b] en (n+1) points xi = a+i
nab
avec
0 i n
et on applique la méthode
précédente sur chaque intervalle [xi, xi+1].
Prouver que l'on peut écrire :

I=
b
af(t)dt
=
n2 )ab( 
( f(a) + 2f(xl) + … + 2f(xn-l) + f(b)) + n
où |n|
²n12 )ab( 3
M2 et M2= sup{f"(x), x [a, b]}
Cette formule est appelée formule des trapèzes.
4- Application numérique : à partir de quelle valeur de n peut-on affirmer que l'utilisation de la formule
pour approcher ln2 =
1
0
dt
1t
assure une erreur de méthode inférieure à 10-6 ?