Nombres Complexes - Lycée Paul Cézanne

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J.P.Grenier ; ECS-1, lycée Cézanne, 2016
La première semaine de l’année sera consacrée à la révision et à quelques compléments sur les nombres complexes ; lire ce document pour la rentrée.
Nombres Complexes
Bien qu’utilisés depuis le XVI-ième siècle après les travaux de Cardan et Bombelli, les nombres complexes n’ont été définis clairement par Karl Friedrich
Gauss qu’en 1799.
Forme algébrique
Tout nombre complexe s’écrit de manière unique z = x + yi avec x, y ∈ R.
Le nombre complexe i vérifie i2 = −1.
De manière unique signifie que si x + yi = a + bi avec x, y, a, b ∈ R , alors x = a et y = b.
Cette écriture est la forme algébrique de z
Les règles de calcul sont les ”règles habituelles”.
Affixe, Image.
−
−
On munit le plan P d’un repère (O, →
e1 , →
e2 ) orthonormal [direct].
On donne x, y ∈ R et on pose z = x + yi.
Le point M du plan de coordonnées (x, y) noté Mz s’appelle le point image de z.
Le nombre z est l’affixe de Mz .
−
−
−
Le nombre z est aussi l’affixe du vecteur →
u = x→
e1 + y →
e2 .
−−→
Si A, B sont des points de P, on a affixe(AB ) = affixe(B) − affixe(A).
Conjugué, module.
Soit z = x + yi avec x, y ∈ R .
Le conjugué de z est z = x − iy.
Le point M 0 d’affixe z est le symétrique de Mz par rapport à Ox
z + z̄
La partie réelle z est x =
,
2
z − z̄
La partie imaginaire de z est y =
.
2i
Il est clair que si u, v ∈ C, alors Ré(u + v) = Ré(u) + Ré(v) et Im(u + v) = Im(u) + Im(v)
z ∈ C est réel lorsque Im(z) = 0, il est imaginaire pur lorsque Ré(z) = 0.
u u
Pour tous u, v ∈ C, on a u + v = u + v et u.v = u.v. Si de plus v est non nul, on a
=
v
v
Pour tout entier n ≥ 0, (u)n = un . Si v 6= 0 pour tout entier n, (v)n = v n .
p
√
Le module de z est |z| = x2 + y 2 = z.z.
Avec les notation du paragraphe Affixe-Image, on a |z| = |z| = OMz .
|u + v| ≤ |u| + |v| inégalité triangulaire
1
1
|u.v| = |u|.|v| et si v est non nul, | | =
.
v
|v|
Pour n ∈ N, on a |un | = |u|n . Si v 6= 0, pour n ∈ Z, on a |v n | = |v|n .
Lorsque z est réel, le module de z n’est autre que la valeur absolue de z.
Donc toutes les formules de ce paragraphe s’appliquent à la valeur absolue de nombres réels.
Formes trigonométrique et exponentielle
Soit z ∈ C∗ .
L’écriture z = r.(cos α + i sin α) avec r ∈ R+∗ et α ∈ R est la forme trigonométrique de z.
En posant eiα = cos α + i sin α, on obtient la forme exponentielle z = reiα .
Lorsque l’expression α est ”longue”, on écrit exp(iα) au lieu de eiα .
−−−→
−
α est un argument de z ; c’est l’angle (→
e1 , OMz ) ; r est le module de z.
La différence entre forme trigonométrique et forme exponentielle est purement pédagogique.
1
Egalité de deux nombres écrits sous forme trigonométrique/exponentielle
Pour r, R ∈ R+∗ et α, β ∈ Ron a :
r = R et
r.eiα = R.eiβ
ssi
il existe
k ∈ Z, α = β + k.2π
Soit I = [0, 2π[ (ou [−π, π[ (ou plus généralement un intervalle semi-ouvert de longueur 2π), alors, pour r, R ∈ R+∗ et
α, β ∈ I on a : r.eiα = R.eiβ
ssi
r = R et α = β
La notion de congruence, n’est pas au programme ECS, on la rappelle ici pour les étudiants qui la connaı̂traient déjà
Soit T ∈ R. On dit que le nombre réel b est congru au nombre réel a modulo T lorsqu’il existe un entier n tel que b = a + nT . On
note b = a (T ) ou b ≡ a (T
).
Avec cette notation, on a : r.eiα = R.eiβ
ssi
r = R et α ≡ β (2π)
Les étudiants qui connaissent correctement cette notion peuvent l’utiliser, mais on peut complètement s’en passer.
Il faut prendre garde que cette notion ”ne marche jamais ” avec des inégalités et demande des précautions avec multiplications et
divisions.
Formules
reiα .Reiβ = rRei(α+β) ;
r
reiα
= ei(α−β) (R 6= 0) ;
Reiβ
R
reiα = re−iα ;
Moivre
Pour tout entier n, (eiα )n = eniα = cos(nα) + i sin(nα) ou encore (eiα )n = eniα .
Attention : cette formule n’a pas de sens si n n’est pas entier.
Exemple :
1
e2iπ = 1 donc (e2iπ )1/2 = 1 alors que e 2 .2iπ = eiπ = −1.
Euler
cos(α) =
eiα − e−iα
eiα + e−iα
et sin(α) =
2
2i
Trigonométrie
On rappelle qu’on écrit cos2 x au lieu de (cos x)2 , . . .
On a les formules suivantes :
cos2 x + sin2 x = 1
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
cos(2x) = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x
x
x
Ces formules permettent d’obtenir cos2 et sin2 en fonction de cos x
2
2
sin 2x = 2 sin x. cos x
La fonction tangente
sin(x)
π
.
Pour x 6= + nπ, n entier, on pose tan(x) =
2
cos(x)
Dérivation
sin0 (x) = cos x
cos0 (x) = − sin x
1
π
= 1 + tan2 x
Pour x 6= + nπ, n entier tan0 (x) =
2
cos2 x
Equation z n = a, a, z ∈ C, n ∈ N∗
Problème : On donne a ∈ C et on cherche tous les z ∈ C tels que z n = a.
• Pour a = 0, il y a une seule solution z = 0.
• Pour a 6= 0, on pose a = Reiθ et z = reiα avec R, r > 0 et α, θ ∈ [0, 2π[ ;
2
z n = a devient Reiθ = (reiα )n = rn einα ,
c’est-à-dire (rn = R) et il existe k ∈ Z tel que nα = θ + 2kπ
θ
2π
On en tire : r = R1/n et α = + k .
n
n
θ
2π
θ
θ
Mais 0 ≤ α < 2π signifie 0 ≤ + k
< 2π ou encore −
≤k <n−
.
n
n
2π
2π
θ
Usant de
∈ [0, 1[ et k entier, on en tire k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}
2π
Conclusion :
θ
2π Pour a 6= 0 l’équation z n = a a n solutions complexes distinctes zk = r. exp ( + k )i avec k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
n
n
Equation z n = 1 ; Racines n-ièmes de l’unité (Le résultat n’a pas à être retenu)
On a R = 1 et θ = 0.
Pour n ∈ N∗ , l’équation z n = 1 a exactement n solutions distinctes dans C.
2iπ
Ces solutions sont ”traditionnellement” notées ω0 , ω1 , . . . , ωn−1 avec ωk = ek. n
Remarques
ωk = (ω1 )k (suite géométrique)
ωk
1
=
= ωk
ωk × ωn−k = ω1k+n−k = ωn = 1 donc ωn−k =
ωk
ωk ωk
n
Si z0 est une solution de l’équation z = a, toutes les solutions z n = a sont
zk = z0 .ωk = z0 .ω1k , pour k ∈ {0, ..n − 1}
Les affixes des zk sont les sommets d’un polygones régulier à n côtés.
Cas n = 2.
Pour tout ∆ ∈ C, il existe deux nombres complexes δ et −δ (distincts si ∆ 6= 0) tels que δ 2 = ∆.
Equation az 2 + bz + c = 0 , a, b, c ∈ R et a 6= 0
On reprend la méthode exposée en première et Terminale
b
c
b
c
b2 b
b2 − 4ac az 2 + bz + c = a(z 2 + 2 z + ) = a (z + )2 + ( − 2 ) = a (z + )2 −
2a
a
2a
a 4a
2a
4a2
On pose ∆ = b2 − 4ac.
√
√
−b + ∆
b 2 ∆ 2
) −
et
= 0, il y a deux solutions z1 =
• Si ∆ > 0, l’équation az 2 + bz + c = 0 devient (z +
2a
2a
2a
√
−b − ∆
z2 =
.
2a
−b
• Si ∆ = 0, il y a une seule solution z =
2a
√
√
b 2 i −∆ 2
−b + i −∆
2
• Si ∆ < 0, l’équation az + bz + c = 0 devient (z + ) −
= 0, il y a deux solutions z1 =
2a
2a
2a
√
−b − i −∆
et z2 =
.
2a
Somme et Produit des racines :
−b
c
z1 + z2 =
et z1 z2 = .
a
a
La réciproque tient :
Soient s et p deux nombres
complexes.
u+v =s
Le système d’équations
a pour solutions u et v les racines complexes de l’équation x2 − sx + p = 0.
uv = p
Exercice
En vous aidant éventuellement de la représentation graphique de la fonction de variable réelle f : x 7→ ax2 + bx + c,
donner le signe de f (x) lorsque :
• ∆ < 0,
• ∆ = 0,
• ∆ > 0, en fonction de la position de x par rapport aux solutions z1 et z2 de l’équation ax2 + bx + c = 0.
3