Nombres Complexes - Lycée Paul Cézanne

. J.P.Grenier ; ECS-1, lyc´ ee C´ ezanne, 2016
La premi` ere semaine de l’ann´ ee sera consacr´ ee ` a la r´ evision et ` a quelques compl´ ements sur les nombres complexes ; lire ce document pour la rentr´ ee.
Nombres Complexes
Bien qu’utilis´ es depuis le XVI-i` eme si` ecle apr` es les travaux de Cardan et Bombelli, les nombres complexes n’ont ´ et´ e d´ efinis clairement par Karl Friedrich
Gauss qu’en 1799.
Forme alg´ ebrique
Tout nombre complexe s’´ ecrit de mani` ere unique z=x+yi avec x, y ∈R.
Le nombre complexe iv´ erifie i2=−1.
De mani` ere unique signifie que si x+yi =a+bi avec x, y, a, b ∈R, alors x=aet y=b.
Cette ´ ecriture est la forme alg´ ebrique de z
Les r` egles de calcul sont les ”r` egles habituelles”.
Affixe, Image.
On munit le plan Pd’un rep` ere (O, −→ e1,−→ e2)orthonormal [direct].
On donne x, y ∈Ret on pose z=x+yi.
Le point Mdu plan de coordonn´ ees (x, y)not´ eMzs’appelle le point image de z.
Le nombre zest l’affixe de Mz.
Le nombre zest aussi l’affixe du vecteur −→ u=x−→ e1+y−→ e2.
Si A, B sont des points de P, on a affixe(−−→ AB ) = affixe(B)−affixe(A).
Conjugu´ e, module.
Soit z=x+yi avec x, y ∈R.
Le conjugu´ ede zest z=x−iy.
Le point M0d’affixe zest le sym´ etrique de Mzpar rapport ` aOx
La partie r´ eelle zest x=z+ ¯z
2,
La partie imaginaire de zest y=z−¯z
2i.
Il est clair que si u, v ∈C, alors R´ e(u+v) = R´ e(u)+ R´ e(v)et Im(u+v) = Im(u)+ Im(v)
z∈Cest r´ eel lorsque Im(z)=0, il est imaginaire pur lorsque R´ e(z) = 0.
Pour tous u, v ∈C, on a u+v=u+vet u.v =u.v. Si de plus vest non nul, on a u
v=u v
Pour tout entier n≥0,(u)n=un. Si v6= 0 pour tout entier n,(v)n=vn.
Le module de zest |z|=px2+y2=√z.z.
Avec les notation du paragraphe Affixe-Image, on a |z|=|z|=OMz.
|u+v| ≤ |u|+|v|in´ egalit´ e triangulaire
|u.v|=|u|.|v|et si vest non nul, |1
v|=1 |v|.
Pour n∈N, on a |un|=|u|n. Si v6= 0, pour n∈Z, on a |vn|=|v|n.
Lorsque zest r´ eel, le module de zn’est autre que la valeur absolue de z.
Donc toutes les formules de ce paragraphe s’appliquent ` a la valeur absolue de nombres r´ eels.
Formes trigonom´ etrique et exponentielle
Soit z∈C∗.
L’´ ecriture z=r.(cos α+isin α)avec r∈R+∗et α∈Rest la forme trigonom´ etrique de z.
En posant eiα = cos α+isin α, on obtient la forme exponentielle z=reiα.
Lorsque l’expression αest ”longue”, on ´ ecrit exp(iα)au lieu de eiα.
αest un argument de z; c’est l’angle (−→ e1,−−−→ OMz);rest le module de z.
La diff´ erence entre forme trigonom´ etrique et forme exponentielle est purement p´ edagogique.
1

Egalit´ e de deux nombres ´ ecrits sous forme trigonom´ etrique/exponentielle
Pour r, R ∈R+∗et α, β ∈Ron a :
r.eiα =R.eiβ ssi r=Ret
il existe k∈Z, α =β+k.2π
Soit I= [0,2π[(ou [−π, π[(ou plus g´ en´ eralement un intervalle semi-ouvert de longueur 2π), alors, pour r, R ∈R+∗et
α, β ∈Ion a :
r.eiα =R.eiβ ssi r=Ret α=β
La notion de congruence, n’est pas au programme ECS, on la rappelle ici pour les ´ etudiants qui la connaˆ ıtraient d´ ej` a
Soit T∈R. On dit que le nombre r´ eel best congru au nombre r´ eel amodulo Tlorsqu’il existe un entier ntel que b=a+nT . On
note b=a(T)ou b≡a(T).
Avec cette notation, on a : r.eiα =R.eiβ ssi r=Ret α≡β(2π)
Les ´ etudiants qui connaissent correctement cette notion peuvent l’utiliser, mais on peut compl` etement s’en passer.
Il faut prendre garde que cette notion ”ne marche jamais ” avec des in´ egalit´ es et demande des pr´ ecautions avec multiplications et
divisions.
Formules
reiα.Reiβ =rRei(α+β);reiα
Reiβ =r Rei(α−β)(R6= 0) ;reiα =re−iα ;
Moivre
Pour tout entier n,(eiα)n=eniα = cos(nα) + isin(nα)ou encore (eiα)n=eniα.
Attention : cette formule n’a pas de sens si nn’est pas entier.
Exemple :
e2iπ = 1 donc (e2iπ)1/2= 1 alors que e1
2.2iπ =eiπ =−1.
Euler
cos(α) = eiα +e−iα
2et sin(α) = eiα −e−iα 2i
Trigonom´ etrie
On rappelle qu’on ´ ecrit cos2xau lieu de (cos x)2, . . .
On a les formules suivantes :
cos2x+ sin2x= 1
cos(a+b) = cos acos b−sin asin bcos(a−b) = cos acos b+ sin asin b
sin(a+b) = sin acos b+ cos asin bsin(a−b) = sin acos b−cos asin b
cos(2x) = cos2x−sin2x= 2 cos2x−1=1−2 sin2x
Ces formules permettent d’obtenir cos2x
2et sin2x 2en fonction de cos x
sin 2x= 2 sin x. cos x
La fonction tangente
Pour x6=π
2+nπ,nentier, on pose tan(x) = sin(x) cos(x).
D´ erivation
sin0(x) = cos xcos0(x) = −sin x
Pour x6=π
2+nπ,nentier tan0(x) = 1 cos2x= 1 + tan2x
Equation zn=a, a, z ∈C, n ∈N∗
Probl` eme : On donne a∈Cet on cherche tous les z∈Ctels que zn=a.
•Pour a= 0, il y a une seule solution z= 0.
•Pour a6= 0, on pose a=Reiθ et z=reiα avec R, r > 0et α, θ ∈[0,2π[;
2

zn=adevient Reiθ = (reiα)n=rneinα,
c’est-` a-dire (rn=R)et il existe k∈Ztel que nα =θ+ 2kπ
On en tire : r=R1/n et α=θ
n+k2π n.
Mais 0≤α < 2πsignifie 0≤θ
n+k2π n<2πou encore −θ 2π≤k < n −θ 2π.
Usant de θ
2π∈[0,1[ et kentier, on en tire k∈ {0,1, . . . , n −1}
Conclusion :
Pour a6= 0 l’´ equation zn=aansolutions complexes distinctes zk=r. exp (θ
n+k2π n)iavec k∈ {0,1, . . . , n −1}.
Equation zn= 1 ; Racines n-i` emes de l’unit´ e(Le r´ esultat n’a pas ` aˆ etre retenu)
On a R= 1 et θ= 0.
Pour n∈N∗, l’´ equation zn= 1 a exactement nsolutions distinctes dans C.
Ces solutions sont ”traditionnellement” not´ ees ω0, ω1,...,ωn−1avec ωk=ek. 2iπ
n
Remarques
ωk= (ω1)k(suite g´ eom´ etrique)
ωk×ωn−k=ωk+n−k
1=ωn= 1 donc ωn−k=1
ωk
=ωk
ωkωk
=ωk
Si z0est une solution de l’´ equation zn=a, toutes les solutions zn=asont
zk=z0.ωk=z0.ωk
1, pour k∈ {0, ..n −1}
Les affixes des zksont les sommets d’un polygones r´ egulier ` ancˆ ot´ es.
Cas n= 2.
Pour tout ∆∈C, il existe deux nombres complexes δet −δ(distincts si ∆6= 0) tels que δ2= ∆.
Equation az2+bz +c= 0 ,a, b, c ∈Ret a6= 0
On reprend la m´ ethode expos´ ee en premi` ere et Terminale
az2+bz +c=a(z2+ 2 b
2az+c a) = a(z+b 2a)2+ ( c a−b2 4a2)=a(z+b 2a)2−b2−4ac 4a2
On pose ∆ = b2−4ac.
•Si ∆>0, l’´ equation az2+bz +c= 0 devient (z+b
2a)2−√∆ 2a2= 0, il y a deux solutions z1=−b+√∆ 2aet
z2=−b−√∆
2a.
•Si ∆=0, il y a une seule solution z=−b
2a
•Si ∆<0, l’´ equation az2+bz +c= 0 devient (z+b
2a)2−i√−∆ 2a2= 0, il y a deux solutions z1=−b+i√−∆ 2a
et z2=−b−i√−∆
2a.
Somme et Produit des racines :
z1+z2=−b
aet z1z2=c a.
La r´ eciproque tient :
Soient set pdeux nombres complexes.
Le syst` eme d’´ equations u+v=s
uv =pa pour solutions uet vles racines complexes de l’´
equation x2−sx +p= 0.
Exercice
En vous aidant ´ eventuellement de la repr´ esentation graphique de la fonction de variable r´ eelle f:x7→ ax2+bx +c,
donner le signe de f(x)lorsque :
•∆<0,
•∆=0,
•∆>0, en fonction de la position de xpar rapport aux solutions z1et z2de l’´ equation ax2+bx +c= 0.
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