Foncteurs dérivés `a la Dold-Puppe

Foncteurs dérivés à la Dold-Puppe
Serge Bouc
1. Foncteurs dérivés des foncteurs additifs
1.1. Soient A et B des catégories abéliennes. La construction des foncteurs
dérivés (gauches) d’un foncteur additif F : A → B est classique, dans le cas
où A a suffisamment d’objets projectifs, i.e. si tout objet de A est quotient
d’un objet projectif.
1.2. Pour un objet M est de A, on choisit 1 une résolution projective de M ,
c’est-à-dire un complexe exact
...
(1.3)
dn+1
dn
/ Pn
dn−1
/ Pn−1
d2
/ ...
d1
/ P1
d0
/ P0
/0
/M
où les Pi , pour i ∈ N, sont des objets projectifs de A. Une telle résolution
existe car A a suffisamment d’objets projectifs.
Si à présent f : M → N est un morphisme dans A, et si
...
∂n+1
∂n
/ Qn
/ Qn−1
∂n−1
∂2
/ ...
∂1
/ Q1
∂0
/ Q0
/0
/N
est la résolution projective choisie de N dans A, le morphisme f se relève en
un morphisme de complexes
...
dn+1
(1.4)
...
∂n+1
/ Pn
dn
/ Pn−1
fn
/ Qn
∂n
dn−1
/ ...
d2
/ P1
fn−1
/ Qn−1
∂n−1
/ ...
∂2
d1
f1
/ Q1
∂1
/ P0
d0
f0
/ Q0
/M
/0
,
f
∂0
/N
/0
et un tel relèvement est unique à homotopie près.
1.5. Si F : A → B est un foncteur additif, on applique alors le foncteur F
au complexe (1.3) privé de M , pour obtenir le complexe suivant dans B :
. . . F (dn+1 )/ F (Pn )
F (dn )
/ F (Pn−1 ) F (dn−1 )/ . . .
F (d2 )
/ F (P1 )
F (d1 )
/ F (P0 ) .
Le i-ème objet d’homologie de ce complexe est noté Fi (M ), ou Li (F )(M ).
C’est un objet de B.
1. J’ignorerai dans tout cet exposé les questions axiomatiques liées à un tel choix,
lorsque A n’est pas supposée (essentiellement) petite. . .
1
Si f : M → N est un morphisme dans A, on a un morphisme de complexes
. . .F (dn+1/)F (Pn )
F (dn )
F (dn−1 )
/ F (Pn−1 )
F (fn )
. . .F (∂n+1/ )F (Qn )
F (∂n )
/ ...
F (d2 )
/ F (P1 )
F (fn−1 )
/ F (Qn−1 )F (∂n−1/ ). . .
F (∂2 )
F (d1 )
F (f1)
/ F (Q1 )
F (∂1 )
/ F (P0 )
F (f0 )
,
/ F (Q0 )
qui induit, pour tout i ∈ N, un morphisme correspondant
Fi (f ) : Fi (M ) → Fi (N )
entre les objets d’homologie. Ce morphisme ne dépend pas du relèvement
de f choisi en 1.2, puisque deux tels relèvements sont homotopes, et puisque
deux morphismes de complexes homotopes sont envoyés par F sur deux morphismes de complexes homotopes, lorsque le foncteur F est additif.
1.6. Pour tout i ∈ N, la correspondance qui à l’objet M de A associe Fi (M )
et au morphisme f : M → N associe Fi (f ) : Fi (M ) → Fi (N ) est alors un
foncteur (additif) de A dans B, appelé le i-ème foncteur dérivé gauche du
foncteur F . Pour i < 0, on posera Fi = 0.
1.7. Remarque : L’unicité à homotopie près du relèvement de f en 1.4 permet de montrer également qu’un choix de résolutions projectives différentes
en 1.3 pour les objets de A conduit à des foncteurs dérivés Fi0 isomorphes à
Fi , pour tout i ∈ N.
1.8. Remarque : Pour construire les foncteurs dérivés gauches d’un foncteur
additif F : A → B, il suffit de connaı̂tre la restriction de F à une souscatégorie pleine P de A ayant les deux propriétés suivantes :
1. Les objets de P sont projectifs dans A.
2. Tout objet de A est quotient d’un objet de P.
1.9. Remarque : Il résulte de la construction des foncteurs dérivés gauches
du foncteur additif F : A → B que pour tout objet M de A, on a un
morphisme
F0 (M ) = F (P0 )/ImF (d1 ) → F (M ) .
Il est facile de voir qu’il s’agit en fait d’une transformation naturelle F0 → F ,
qui est un isomorphisme si et seulement si le foncteur F est exact à droite,
i.e. si pour toute suite exacte M1
F (M1 )
F (d1 )
d1
/ M0
/ F (M0 )
2
F (d0 )
d0
/M
/ F (M )
/ 0 , la suite
/0
est exacte (un argument classique d’algèbre homologique montre en effet que
pour vérifier la condition précédente, on peut se contenter du cas où M0 et
M1 sont projectifs dans A).
On peut noter également que la propriété d’être exact à droite, telle
que définie ci-dessus pour un foncteur F , a un sens pour un foncteur nonnécessairement additif. On peut montrer qu’elle entraı̂ne en fait l’additivité
du foncteur F (cf. [1] Lemma 2.1).
1.10. Foncteurs dérivés droits : le passage aux catégories opposées permet de définir de manière analogue les foncteurs dérivés droits d’un foncteur
additif F : A → B entre catégories abéliennes, lorsque A a suffisamment
d’objets injectifs (cf. [3]). On obtient dans ce cadre la notion de foncteur
additif exact à gauche.
2. La correspondance de Dold-Kan
2.1. Soit A une catégorie abélienne. La correspondance de Dold-Kan établit
une équivalence de catégories entre la catégorie Ch≥0 (A) des complexes de
chaı̂nes (nuls en degré négatif) dans A et la catégorie S(A) des objets simpliciaux dans A, qui envoie les classes l’homologie de degré n des complexes sur
les classes d’homotopie de n-simplexes des ensembles simpliciaux correspondants, et morphismes homotopes sur morphismes simpliciaux homotopes.
2.2. Soit X un objet simplicial dans A. On lui associe classiquement un
complexe de chaı̂nes C(X) dans A : pour n ∈ N, on pose Cn (X) = Xn , et on
définit la différentielle dn : Cn (X) → Cn−1 (X) par
dn =
n
X
(−1)i ∂i ,
i=0
où ∂i : Xn → Xn−1 est le i-ème opérateur de face de X. Il est facile de vérifier
que l’on obtient ainsi un foncteur C : S(A) → Ch≥0 (A).
On définit également le complexe de chaı̂nes normalisé (ou de Moore)
N(X) de X en posant, pour n ∈ N
(2.3)
Nn (X) =
n−1
\
Ker(∂i : Xn → Xn−1 ) .
i=0
La différentielle d : Nn (X) → Nn−1 (X) est définie comme la restriction de
(−1)n ∂n à Nn (X).
On a de même obtenu ainsi un foncteur N : S(A) → Ch≥0 (A).
2.4. Remarque : la définition 2.3 est celle adoptée par Weibel, par exemple
(cf. [5] Definition 8.3.6). Ce n’est pas la définition originelle de Dold-Puppe
3
(cf. [2] 3.1), qui posent plutôt
Nn (X) =
n
\
Ker(∂i : Xn → Xn−1 ) ,
i=1
en définissant la différentielle d : Nn (X) → Nn−1 (X) comme la restriction
de ∂0 . Ces deux définitions conduisent à des foncteurs naturellement isomorphes de S(A) dans Ch≥0 (A) (cf. [2] Satz 3.29, ou [5] Exercise 8.3.4).
2.5. Soit
(2.6)
C : ...
dn+1
/C
n
dn
/ Cn−1
dn−1
/ ...
d2
/C
1
d1
/C
0
/0
un complexe de chaı̂nes dans A. Pour n ∈ N, on pose
K(C)n = ⊕
⊕
p≤n η:[n][p]
Cp [η] ,
où la somme intérieure porte sur les surjections monotones η : [n] [p], le
symbole [n] désignant l’ensemble totalement ordonné {0, 1, . . . , n}, et Cp [η]
une copie de Cp .
Si m, n ∈ N, et si α : [m] → [n] est une application croissante, alors
on définit un morphisme K(α) : K(C)n → K(C)m de la façon suivante : si
η : [n] → [p] est une application croissante, alors la restriction de K(α) à la
composante Cp [η] de K(C)n est déterminée par η 0 = ηα. Elle est égale
– à l’isomorphisme canonique Cp [η] → Cp [η 0 ], si η 0 est surjective,
– à la différentielle d : Cp → Cp−1 = Cp−1 [η 0 ] si l’image de η 0 est égale à
[p − 1] ⊂ [p],
– au morphisme nul sinon.
On montre qu’on obtient ainsi un foncteur K : Ch≥0 (A) → S(A), et de plus :
2.7. Théorème [Dold-Kan] : Soit A une catégorie abélienne. Alors :
1. les foncteurs K et N
N
S(A) o
K
/
Ch≥0 (A)
sont des équivalences de catégories quasi-inverses l’une de l’autre.
2. pour tout objet X de
πn (X) est naturellement iso S(A), l’homotopie
morphe à Hn C(X) et à Hn N(X) .
3. deux morphismes f, g : X → Y dans S(A) sont (simplicialement) homotopes si et seulement si les morphismes (de complexes) N(f ) et N(g)
sont homotopes.
Démonstration : cf. [2] Section 3, ou [5] Section 8.3.
4
3. Foncteurs dérivés des foncteurs non-additifs
3.1. Soit F : A → B un foncteur (non nécessairement additif) entre
catégories abéliennes. On suppose que A a suffisamment d’objets projectifs. Dans ces conditions, pour chaque couple d’entiers naturels (n, q), Dold
et Puppe ont défini un foncteur Lq F (−, n) de la façon suivante :
• Pour un objet M de A, on choisit une résolution projective de M
(3.2)
...
dj+1
/ Pj
dj
/ Pj−1
dj−1
/ ...
dn+2
/ Pn+1
dn+1
/ Pn
dn
/M
/0 ,
que l’on prolonge en posant Pn−1 = Pn−2 = . . . = P0 = 0. Le complexe P
formé des Pi , pour i ∈ N, s’appelle une résolution projective de (M, n). Son
homologie est non-nulle seulement en degré n, où elle est isomorphe à M .
• On applique à P le foncteur K défini en 2.5, pour obtenir un objet simplicial
K(P ) de A. En composant K(P ) avec le foncteur F : A → B, on a un objet
simplicial F K(P ) dans la catégorie abélienne B, dont on peut prendre le complexe de chaı̂nes CF K(P ), ou le complexe de chaı̂nes normalisé NF K(P ). On
définit alors Lq F (M, n) comme l’homologie de degré q du complexe NF K(P )
(ou du complexe CF K(P ), qui lui est isomorphe) :
Lq F (M, n) = Hq NF K(P ) .
• Si N est un objet de A, on choisit également une résolution projective Q
de (N, n). Lorsque f : M → N est un morphisme dans A, on peut relever f
en un morphisme de complexes fe : P → Q, unique à homotopie près. On en
déduit un morphisme NF K(fe) : NF K(P ) → NF K(Q), unique à homotopie
près, donc, pour tout q ∈ N, un morphisme bien défini
Lq F (f, n) : Lq F (M, n) → Lq F (N, n) .
• On vérifie facilement qu’on a ainsi obtenu un foncteur Lq F (−, n) : A → B,
appelé le q-ième foncteur dérivé (gauche) de niveau n de F .
3.3. Remarque : Comme en 1.7, un choix de résolutions projectives différentes pour les (M, n) conduit à des foncteurs L0q F (−, n) naturellement isomorphes à Lq F (−, n), pour tout couple (n, q) ∈ N × N.
3.4. Remarque : Comme dans le cas des foncteurs additifs, un passage
aux catégories opposées permet de définir les foncteurs dérivés droits d’un
foncteur F : A → B entre catégories abéliennes, lorsque A a suffisamment
d’objets injectifs.
3.5. La proposition suivante permet de comparer, pour un foncteur additif,
5
les foncteurs dérivés Fi obtenus au paragraphe 1 avec les foncteurs Lq F (−, n)
obtenus ci-dessus :
3.6. Proposition : Si F : A → B est additif, alors
∀(q, n) ∈ N × N, Lq F (−, n) ∼
= Fq−n .
Démonstration : Si F est additif, alors pour tout complexe de chaı̂nes C
dans Ch≥0 (A), on a
F K(C)n = F ⊕
⊕ Cp [η]
p≤n η:[n][p]
=
⊕
⊕ F (Cp )[η]
KF (C) n ,
p≤n η:[n][p]
∼
=
qui donne un isomorphisme de foncteurs F K ∼
= KF .
Il en résulte, pour tout objet M de A et toute résolution projective P de
(M, n) dans A, des isomorphismes de complexes dans B
NF K(P ) ∼
= NKF (P ) ∼
= F (P ) ,
le dernier isomorphisme provenant du fait que le foncteur NK est isomorphe
au foncteur identité de Ch≥0 (B). La proposition en résulte, puisque P est
une résolution projective de M , où le degré est décalé de n.
4. Explicitement. . .
4.1. Soit C un complexe de Ch≥0 (A). Pour calculer K(C), on doit connaı̂tre
pour deux entiers naturels n et p, les applications croissantes surjectives
η : [n] → [p]. À une telle application, on associe la partie s(η) de {1, 2, . . . , n}
définie par
s(η) = {i | 1 ≤ i ≤ n, η(i) > η(i − 1)} .
On constate facilement que s(η) est de cardinal p, si η est croissante et
surjective.
Inversement, si l’on se donne une partie A de {1, 2, . . . , n} de cardinal p,
on peut définir une application t(A) : [n] → [p] en posant
∀i ∈ [n], t(A)(i) = |[1, i] ∩ A| ,
où [1, i] = {j ∈ N | 1 ≤ j ≤ i}. Alors t(A) est clairement une application
croissante surjective de [n] dans [p].
6
Il est facile de vérifier que s et t sont des bijections inverses l’une de l’autre
entre l’ensemble des surjections croissantes de [n] dans [p] et l’ensemble des
parties de {1, 2, . . . , n} de cardinal p. Il en résulte que K(C)n peut s’écrire
⊕
K(C)n =
A⊆{1,...,n}
A
C|A|
,
A
est une copie de C|A| . Par exemple :
où C|A|
K(C)0 = C0∅ ,
{1}
K(C)1 = C0∅ ⊕ C1
{1}
K(C)2 = C0∅ ⊕ C1
K(C)3 = C0∅ ⊕
{1}
C1
{2}
⊕ C1
⊕
{2}
C1
{1,2}
⊕ C2
⊕
{3}
C1
,
{1,2}
⊕ C2
{1,3}
⊕ C2
{2,3}
⊕ C2
{1,2,3}
⊕ C3
.
4.2. Soit F : A → B un foncteur, et M un objet de A. Pour calculer les
Lq F (M, 0), on choisit une résolution projective P de M ,
...
dn+1
/ Pn
dn
/ Pn−1
dn−1
/ ...
d2
/ P1
d1
/ P0
d0
/0 ,
/M
et on construit le complexe U = CF K(P ). Les remarques précédentes montrent que le terme de degré n de ce complexe peut s’écrire
A
Un = F
⊕
P|A|
.
A⊆{1,...,n}
La différentielle δn : Un → Un−1 de ce complexe est égale à la
n
P
(−1)i F (∂i ),
i=0
où ∂i : K(P )n → K(P )n−1 est le morphisme simplicial associé à l’unique
injection croissante εi : [n − 1] → [n] dont l’image ne contient pas i.
A
Pour A ⊆ {1, . . . , n}, la restriction ∂i,A de ∂i à la composante P|A|
de K(P )n
dépend de la composée η 0 = s(A)εi : [n − 1] → [|A|], comme suit :
• ou bien η 0 est surjective. Autrement dit s(A)(i) = s(A)(i − 1) ou
s(A)(i) = s(A)(i + 1).
Autrement dit, au moins un des entiers i, i + 1 n’est pas dans A (si
i = n, alors n ∈
/ A, et si i = 0, alors 1 ∈
/ A). Dans ce cas ∂i,A identifie
A
B
P|A| avec la composante P|B| de K(P )n−1 , où
B = {j ∈ A | 1 ≤ j ≤ i} t {j | i ≤ j ≤ n − 1, j + 1 ∈ A}
= A ∩ [1, i] t A ∩ [i + 1, n] − 1 .
7
• ou bien l’image de η 0 est égale à [|A| − 1]. Alors |A| n’est pas dans
l’image de η 0 , donc n n’est pas dans l’image de εi .
Autrement dit i = n.
De plus η(n) 6= η(n − 1), sinon |A| = η(n − 1) = η 0 (n − 1).
A−{n}
A
→ P|A|−1 ⊆
Donc n ∈ A, et ∂i,A est égale au morphisme d|A| : P|A|
K(P )n−1 .
A
) = 0.
• dans les autres cas ∂i,A (P|A|
4.3. Le complexe U se termine donc par
(4.4)
F (P0 ⊕ P1 ⊕ P1 ⊕ P2 )
δ2
/ F (P0 ⊕ P1 )
δ1
/ F (P0 )
/0 ,
où
δ1 = F (1, 0) − F (1, d1 )
1 0 d1 0
1 0 0 0
1 0 0 0
δ2 = F
−F
+F
.
0 1 0 d2
0 1 1 0
0 0 1 0
4.5. Exemple : Soit B un objet de B, et ΓB le foncteur constant sur B,
qui envoie tout objet de A sur B, et tout morphisme de A sur l’identité
de B. Alors Lq ΓB (−, 0) = 0 pour q > 0, et L0 ΓB (−, 0) ∼
= ΓB : en effet, dans
le complexe Q, les différentielles δi sont nulles si i est impair, et égales à
l’identité de B si i est pair.
5. Foncteurs exacts non-additifs
5.1. Il résulte en particulier de 4.4 que L0 F (M, 0) est égal au conoyau du
morphisme F (1, 0) − F (1, d1 ) : F (P0 ⊕ P1 ) → F (P0 ). On a donc toujours
un morphisme L0 F (M, 0) → F (M ), qui induit une transformation naturelle
L0 F (−, 0) → F . Au vu de la remarque 1.9, cela justifie la notation 2 et la
définition suivantes :
5.2. Notation : Soit F : A → B un foncteur entre catégories abéliennes.
Pour un morphisme ϕ : M → N dans A, on pose :
∆F (ϕ) = F (1, 0) − F (1, ϕ) : F (N ⊕ M ) → F (N ) .
2. Le morphisme ∆F (ϕ) défini dans [1] est l’opposé de celui introduit ici. Naturellement,
cela ne change rien à son conoyau. . .
8
5.3. Définition : Soit F : A → B un foncteur entre catégories
abéliennes. On dit que F est exact à droite si pour toute suite exacte
M1
d1
/ M0
d0
/M
/ 0 dans A, la suite
F (M0 ⊕ M1 )
∆F (d1 )
/ F (M0 )
F (d0 )
/ F (M )
/0
est exacte dans B.
5.4. Remarque : Il résulte de la proposition 3.6 qu’un foncteur additif est
exact à droite au sens de 1.9 si et seulement si il est additif au sens de la
définition 5.3.
5.5. Exemple : Pour un objet B de B, le foncteur constant ΓB décrit en 4.5
est exact à droite. Il n’est additif que si B est l’objet nul de B.
5.6. Remarque : En passant aux catégories opposées, on définit de même
la notion de foncteur non-additif exact à gauche.
5.7. Les propriétés suivantes sont des conséquences faciles des définitions :
5.8. Proposition :
1. Soient F : A → B et G : B → C des foncteurs exacts à droite entre
catégories abéliennes. Alors G ◦ F : A → C est exact à droite.
2. Soient F : A → B et F 0 : A0 → B 0 des foncteurs exacts à droite entre
catégories abéliennes. Alors F × F 0 : A × A0 → B × B0 est exact à
droite.
3. Soient F1 , F2 : A → B des foncteurs exacts à droite entre catégories
abéliennes. Alors F1 ⊕ F2 : A → B est exact à droite.
4. Soient A, A0 et B des catégories abéliennes, et soit F : A × A0 → B un
foncteur biadditif. Alors F est exact à droite si et seulement si pour tout
objet M de A et tout objet M 0 de A0 , les foncteurs (additifs) F (M, −)
et F (−, M 0 ) sont exacts à droite.
5. En particulier, si (M, N ) 7→ M ⊗ N est un foncteur biadditif et exact
à droite en chaque variable de B × B dans une catégorie abélienne C,
alors pour tous foncteurs exacts à droite F, F 0 : A → B, le foncteur
F ⊗ F 0 : A → C est exact à droite.
6. Dans les mêmes conditions, si de plus A = B = C, l’endofoncteur
M 7→ M ⊗n de A est exact à droite, pour tout n ∈ N.
9
6. Applications
La plupart des applications de la notion de foncteur exact non-additif reposent sur le théorème suivant, s’inspirant de la remarque 1.8 :
6.1. Théorème : Soit P une sous-catégorie pleine d’une catégorie
abélienne A ayant les propriétés suivantes :
1. les objets de P sont projectifs dans A.
2. tout objet de A est quotient d’un objet de P.
3. la somme directe de deux objets de P est dans P.
Alors pour tout foncteur F de P dans une catégorie abélienne B, il existe
un foncteur exact à droite Fe : A → B dont la restriction à P est isomorphe
à F , et un tel prolongement Fe est unique à isomorphisme près.
Démonstration : (cf. [1] Section 2.4.) Méthode 1 : Sans rien connaı̂tre 3 de
la correspondance de Dold-Kan, on peut choisir, pour tout objet M de A,
un début de résolution
Q
ϕ
/P
ψ
/M
/0 ,
de M par des objets de P, et définir Fe(M ) comme le conoyau de ∆F (ϕ),
pour s’assurer la suite
F (P ⊕ Q)
∆F (ϕ)
/ F (P )
/F
e(M )
/0
soit exacte. Il reste à rendre Fe(M ) fonctoriel en M , à montrer que le foncteur
Fe ne dépend pas des résolutions choisies, à isomorphisme près, et qu’il est
exact à droite. Il est alors clair que Fe est l’unique prolongement exact à
droite de F à A.
Méthode 2 : En utilisant les sections précédentes, on a Fe = L0 F (−, 0). Il
reste juste à vérifier que ce foncteur est exact à droite.
6.2. La partie existence du théorème 6.1 permet de définir certains
foncteurs non-additifs, notamment diverses espèces d’inductions tensorielles
généralisées 4 . La partie unicité permet quant à elle de prouver assez
facilement certaines propriétés des foncteurs ainsi définis.
3. C’est la méthode utilisée dans [1].
4. On notera cependant que cette définition est fort peu constructive en général, de
sorte que les évaluations des foncteurs en question sont souvent très difficiles à calculer
explicitement.
10
6.3. Inductions tensorielles de modules. Pour un groupe fini G et
un anneau commutatif R, soit A = RG-Mod la catégorie des RG-modules,
et P = RG-ModL la sous-catégorie pleine formée des RG-modules libres.
La catégorie P est équivalente à la catégorie P ] dont les objets sont les
G-ensembles libres, dans laquelle un morphisme d’un G-ensemble libre Y
vers un G-ensemble libre X est une matrice m(x, y) indexée par X × Y à
coefficients dans R, invariante par G (i.e. telle que m(gx, gy) = m(x, y) pour
tout g ∈ G et tout (x, y) ∈ X × Y ), et telle que pour tout y ∈ Y , il n’y
ait qu’un nombre fini de x ∈ X tels que m(x, y) 6= 0. La composition des
morphismes dans P ] est donnée par le produit de matrices.
Soient G et H des groupes finis, et U un (H, G)-bi-ensemble fini libre à
droite. Soit U op le (G, H)-bi-ensemble opposé , qui est le même ensemble U
doté des actions à gauche de g ∈ G et à droite de h ∈ H définies par
g · u · h = h−1 ug −1 . Pour un G-ensemble libre X, on pose
tU (X) = RHomG (U op , X) ,
où HomG (U op , X) est l’ensemble des applications G-équivariantes de U op
dans X. Cet ensemble est doté d’une action de H à gauche définie par
∀h ∈ H, ∀ϕ ∈ HomG (U op , X), ∀u ∈ U, (hϕ)(u) = ϕ(h−1 u) .
Il s’ensuit que le module tU (X) est un RH-module.
Pour un morphisme m : Y → X dans P ] , et pour ϕ ∈ HomG (U op , X) et
ψ ∈ HomG (U op , Y ), on pose
Y
m ϕ(u), ψ(u) .
m(ϕ,
e
ψ) =
u∈U/G
On vérifie facilement que cette matrice m
e est bien définie (elle ne dépend pas
des choix des repésentants des G-orbites sur U ), qu’elle est H-invariante, et
que pour tout ψ, il n’y a qu’un nombre fini de ϕ tels que m(ϕ,
e
ψ) 6= 0. La
matrice m
e définit donc un morphisme de RH-modules de tU (Y ) dans tU (X).
6.4. Lemme : Soit R un anneau commutatif, et soient G et H des groupes
finis. Soit U un (H, G)-bi-ensemble fini libre à droite. Alors la correspondance
X 7→ tU (X) = RHomG (U op , X), m 7→ m
e
est un foncteur de P ] dans la catégorie B des RH-modules.
Démonstration : Il est clair que si Y = X et si m est la matrice identité
indexée par X, alors m
e est la matrice identité indexée par HomG (U op , X). Il
11
reste à vérifier que si p : Z → Y et m : Y → X sont des morphismes dans
P ] , alors m
]
·p=m
e · pe. C’est ici que l’on utilise l’hypothèse que U est libre à
droite. Pour le détail de cette vérification, voir [1] Lemma 10.1.
On est donc dans la situation du théorème 6.1 : la catégorie P ] est (équivalente à) une sous-catégorie pleine de la catégorie abélienne A = RG-Mod,
formée d’objets projectifs, stable par somme directe, et telle que tout objet
de A est quotient d’un objet de P ] . On peut donc prolonger à A le foncteur
tU : P ] → B précédent :
6.5. Définition : Soit R un anneau commutatif, et soient G et H des
groupes finis. Soit U un (H, G)-bi-ensemble fini libre à droite. On appelle
induction tensorielle généralisée associée à U (et l’on note également tU )
l’unique foncteur exact à droite de RG-Mod dans RH-Mod qui prolonge le
foncteur tU défini dans le lemme 6.4.
6.6. On peut dans ce cas donner une description de tU (M ) pour un RGmodule M , indépendante d’une résolution projective de M : pour cela, on
note {M } le G-ensemble sous-jacent à M , et l’on considère le H-ensemble
HomG (U op , M ) comme un ensemble de fonctions de U vers M . De plus :
• si x ∈ R et f ∈ HomG (U op , {M }), soit xf l’élément de HomG (U op , M )
défini par
∀u ∈ U, (xf )(u) = xf (u) .
• Si λ ∈ HomG (U op , {R}), soit π(λ) ∈ R défini par
Y
π(λ) =
λ(u) .
u∈U/G
• Si λ ∈ HomG (U op , {R}), soit λ ∗ f ∈ HomG (U op , {M }) défini par
∀u ∈ U, (λ ∗ f )(u) = λ(u)f (u) .
• Si f, f 0 ∈ HomG (U op , {M }), soit < f + f 0 >∈ HomG (U op , {M }) défini
par
∀u ∈ U, < f + f 0 > (u) = f (u) + f 0 (u) .
• Si V ⊆ U est une partie G-invariante de U , et si f, f 0 ∈ HomG (U op , {M }),
soit [f, f 0 ]V ∈ HomG (U op , {M }) défini par
f (u) si u ∈ V
0
∀u ∈ U, [f, f ]V (u) =
f 0 (u) si u ∈ U − V
12
6.7. Proposition : Soit R un anneau commutatif, et soient G et
H des groupes finis. Soit U un (H, G)-bi-ensemble fini libre à droite.
Si M est un RG-module, alors tU (M ) s’identifie au quotient du module
RHomG (U op , {M }) par le R-sous-module I engendré par les éléments de
la forme
(λ ∗ f ) − π(λ)f, pour λ ∈ HomG (U op , {R}) et f ∈ HomG (U op , {M })
X
< f + f0 > −
[f, f 0 ]V
V ⊆U
V ·G=V
Démonstration : On voit facilement que le R-module quotient t0U (M ) =
RHomG (U op , {M })/I est isomorphe à ⊗ M , et qu’il est fonctoriel en M .
u∈U/G
Il résulte de la proposition 5.8 que leQfoncteur t0U est exact à droite. D’autre
part si X est un G-ensemble, alors
X s’identifie à HomG (U op , X), donc
u∈U/G
Q
op
∼
t0U (RX) ∼
R
X
RHom
(U
, X). Il s’ensuit que tU et t0U sont deux
=
=
G
u∈U/G
foncteurs exacts à droite qui coı̈ncident sur P ] . Il sont donc isomorphes.
6.8. Remarque : En particulier, si X est un G-ensemble (quelconque),
alors tU (RX) ∼
= RHomG (U op , X).
6.9. Remarque : La définition classique de l’induction tensorielle correspond au cas où G est un sous-groupe de H, et U est l’ensemble H, vu
comme (H, G)-bi-ensemble par multiplication à gauche et à droite.
6.10. Théorème : Soit R un anneau commutatif.
1. Si G, H, et K sont des groupes finis, si U est un (H, G)-bi-ensemble
fini libre à droite, et si V est un (K, H)-bi-ensemble fini libre à droite,
alors
tV ◦ tU ∼
= tV ×H U .
2. Si G, H, et K sont des groupes finis, si U est un (K, G×H)-bi-ensemble
fini libre à droite, si M est un RG-module et N un RH-module, alors
tU (M R N ) ∼
= tU/H (M ) ⊗R tU/G (N ) .
3. Si G et H sont des groupes finis, si U est un (H, G)-bi-ensemble fini
13
libre à droite, et si M et N sont des RG-modules, alors
tU (M ⊗R N ) ∼
= tU (M ) ⊗R tU (N ) .
4. Si G et H sont des groupes finis, si U et U 0 sont des (H, G)-bi-ensembles
finis libres à droite, et si M est un RG-module, alors
tU tU 0 (M ) ∼
= tU (M ) ⊗R tU 0 (M ) .
5. Si G et H sont des groupes finis, si U est un (H, G)-bi-ensemble fini
libre à droite, et si M et M 0 sont des RG-modules, alors
0
tU (M ⊕ M 0 ) ∼
,
= ⊕ IndH
HV tV (M ) ⊗R tU −V (M )
V ⊆U
V ·G=V
V mod.H
où HV est le stabilisateur de V dans H.
De plus, tous ces isomorphismes sont naturels.
Démonstration : Toutes les assertions concernent des isomorphismes de
foncteurs exacts à droite. Pour les démontrer, il suffit donc de restreindre
ces foncteurs aux catégories de modules de permutation correspondantes, et
l’isomorphisme de ces restrictions découle alors facilement de l’isomorphisme
des ensembles avec action de groupe sous-jacents. Par exemple, l’assertion 3
résulte du fait que si X et Y sont des G-ensembles (libres), alors
HomG (U op , X × Y ) ∼
= HomG (U op , X) × HomG (U op , Y )
comme H-ensemble.
6.11. Remarque : Si l’on envisage tU (M ) comme M U , alors l’assertion 5
du théorème 6.10 est une généralisation de la formule du binôme.
6.12. Inductions tensorielles de foncteurs de Mackey. Une autre
application de la notion de foncteur exact non-additif et du théorème de
prolongement 6.1 est la définition d’inductions tensorielles généralisées pour
les foncteurs de Mackey sur les groupes finis (à coefficients dans Z). Rappelons
rapidement de quoi il s’agit (le lecteur intéressé trouvera tous les détails
dans [1]).
6.13. Si G est un groupe fini, soit S(G) la catégorie suivante :
– les objets de S(G) sont les G-ensembles finis.
– si X et Y sont des G-ensembles finis, alors HomS(G) (X, Y ) est le groupe
de Grothendieck B(Y × X) de la catégorie des G-ensembles finis audessus de Y × X (appelé aussi groupe de Burnside de Y × X).
14
– si X, Y , et Z sont des G-ensembles finis, la composition des morphismes
B(Z × Y ) × B(Y × X) → B(Z × X) est induite par bilinéarité à partir
du produit fibré :
D1
a Z
11
11b
1
c ×
Y
D ×Y1 C
C1
11
11d
1
Y
7→
X
e
Z
11
11f
1
,
X
où D ×Y C = {(x, y) ∈ D × C | b(x) = c(y)}, et e(x, y) = a(x), et
f (x, y) = d(y).
– le morphisme identité du G-ensemble X est (la classe) du G-ensemble
X
////
//////
////
X
X
au dessus de X × X.
6.14. La catégorie S(G) est préadditive, et la catégorie MackZ (G) des
foncteurs de Mackey pour le groupe G (sur Z) est la catégorie des foncteurs additifs de S(G) vers la catégorie des groupes abéliens. La catégorie
A = MackZ (G) est une catégorie abélienne.
6.15. Si D est un G-ensemble fini, et M un foncteur de Mackey pour G,
on note MD le foncteur de Mackey pour G obtenu par précomposition avec
l’endofoncteur X 7→ X×D de S(G). Le foncteur M 7→ MD est la construction
de Dress relative à D. Il est autoadjoint. Plus généralement, si D est un Gensemble quelconque, on définit MD comme la somme directe des Mω , où ω
parcourt les G-orbites (finies) de X.
6.16. Le foncteur de Burnside B est le foncteur de Yoneda HomS(G) (•, −),
où • est un G-ensemble de cardinal 1. Si D est un G-ensemble, alors le
foncteur BD obtenu par la construction de Dress relative à D est projectif dans
MackZ (G). Un tel foncteur de Mackey s’appelle un foncteur de permutation.
Soit P = PMackZ (G) la sous-catégorie pleine de A formée des foncteurs de
permutation.
6.17. Si H est un autre groupe fini, et si U et un (H, G)-bi-ensemble fini,
alors on peut définir un foncteur
TU : P → B = MackZ (H)
qui envoie le foncteur de permutation BD sur le foncteur de permutation
BHomG (U op ,D) . C’est la partie la plus délicate de la construction : un moyen d’y
15
parvenir consiste à décrire explicitement les morphismes de BD dans BE , pour
des G-ensembles D et E quelconques, au moyen de classes d’équivalence de Gensembles ordonnés au dessus de D×E, à fibres finies sur D, et montrer qu’on
peut associer à un tel ensemble ordonné un H-ensemble ordonné du même
type au-dessus de HomG (U op , D) × HomG (U op , E), bien défini à équivalence
près.
6.18. Le foncteur d’induction tensorielle A = MackZ (G) → B = MackZ (H)
est alors défini comme l’unique prolongement exact à droite du foncteur TU
précédent. Il est également noté TU .
6.19. La catégorie MackZ (G) est une catégorie monoı̈dale symétrique complète : pour deux foncteurs de Mackey M et N , le foncteur H(M, N ) des
hom-internes de M dans N est le foncteur de Mackey dont la valeur en un
G-ensemble fini X est HomMackZ (G) (M, NX ). Le produit tensoriel de M et de
N est le foncteur de Mackey M ⊗ N caractérisé par la propriété d’adjonction
HomMackZ (G) (M ⊗ N, L) ∼
= HomMackZ (G) N, H(M, L) .
Lorsque G et H sont des groupes finis, on a également une bonne notion de
produit tensoriel externe (cf [1] Section 6), qui à un foncteur de Mackey M
pour G et un foncteur de Mackey N pour H associe un foncteur de Mackey
M N pour G × H.
6.20. On peut également définir un foncteur d’induction
IndH
K : MackZ (K) → MackZ (H) ,
pour tout sous-groupe K d’un groupe fini H, par précomposition avec le
foncteur de restriction des H-ensembles finis vers les K-ensembles finis. On
obtient finalement le théorème suivant :
6.21. Théorème :
1. Si G, H, et K sont des groupes finis, si U est un (H, G)-bi-ensemble
fini, et si V est un (K, H)-bi-ensemble fini, alors
TV ◦ TU ∼
= TV ×H U .
2. Si G, H, et K sont des groupes finis, si U est un (K, G×H)-bi-ensemble
fini, si M est un foncteur de Mackey pour G et N un foncteur de
Mackey pour H, alors
TU (M N ) ∼
= TU/H (M ) ⊗ TU/G (N ) .
16
3. Si G et H sont des groupes finis, si U est un (H, G)-bi-ensemble fini,
et si M et N sont des foncteurs de Mackey pour G, alors
TU (M ⊗ N ) ∼
= TU (M ) ⊗ TU (N ) .
4. Si G et H sont des groupes finis, si U et U 0 sont des (H, G)-bi-ensembles
finis, et si M est un foncteur de Mackey pour G, alors
TU tU 0 (M ) ∼
= TU (M ) ⊗ TU 0 (M ) .
5. Si G et H sont des groupes finis, si U est un (H, G)-bi-ensemble fini,
et si M et M 0 sont des foncteurs de Mackey pour G, alors
0
TU (M ⊕ M 0 ) ∼
,
= ⊕ IndH
HV TV (M ) ⊗ TU −V (M )
V ⊆U
V ·G=V
V mod.H
où HV est le stabilisateur de V dans H.
De plus, tous ces isomorphismes sont naturels.
6.22. Le lecteur intéressé trouvera dans [1] deux autres constructions d’induction tensorielles : l’une pour les foncteurs de Mackey cohomologiques,
l’autre pour les kG-modules de p-permutation (où G est un groupe fini et k
un corps de caractéristique p).
Cette dernière construction a permis une interprétation fonctorielle de
la construction P 7→ Dk (P ) associant à un p-groupe fini P le groupe de
Dade Dk (P ) des kP -modules d’endo-permutation. Cette interprétation sera
un des outils importants pour la classification de ces derniers, achevée en 2006
(cf. [4] pour une description générale des nombreux résultats nécessaires à
cette classification).
Références
[1] S. Bouc. Non-additive exact functors and tensor induction for Mackey
functors, volume 144 of Memoirs. A.M.S., 2000. no 683.
[2] A. Dold and D. Puppe. Homologie nicht-additiver Funktoren. Ann. Inst.
Fourier Grenoble, 11 :201–312, 1961.
[3] A. Grothendieck. Sur certains points d’algèbre homologique. Tôhoku
Math. J., 9 :119–121, 1957.
[4] J. Thévenaz. Endo-permutation modules, a guided tour. In Group representation theory. EPFL Press Lausanne, 2007. Edited by M. Geck, D.
Testerman, J. Thévenaz.
17
[5] C. A. Weibel. An introduction to homological algebra, volume 38 of Cambridge studies in advanced mathematics. Cambridge University Press,
1994.
Serge Bouc, CNRS-LAMFA, Université de Picardie - Jules Verne,
33, rue St Leu, F-80039 Amiens Cedex 1, France.
[email protected]
18