Les foncteurs dérivés d`un foncteur non-additif

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
A LBRECHT D OLD
Les foncteurs dérivés d’un foncteur non-additif
Séminaire N. Bourbaki, 1958-1960, exp. no 170, p. 19-25
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Séminaire BOURBAKI
(Décembre 1958)
LES FONCTEURS
DÉRIVÉS
D’UN FONCTEUR NON-ADDITIF
par Albrecht DOLD
Soient e
C. -~ C’un
T :
e’
resp.
la
foncteur
resp. ’-modules (à gauche)
catégorie des A(covariant). Si T
nissent les foncteurs dérivés
(gauches)
Lq
additif, CARTAN-EILENBERG [1 ] défi-
est
T
et
T
de
en
utilisant les faits
suivants :
I.
Chaque A ~ C possède
ont même
des résolutions
La
et deux telles
résolutions
type d’homotopie.
prolongement de T à la catégorie
C’conserve la relation d’homotopie.
II. Le
resp.
projectives
des
complexes (de chaînes) dans C
plus vraie pour les foncteurs non-additifs quoique le
toujours possible si T vérifie seulement T(0) = 0 . Par
propriété (II)
n’est
prolongement soit
contre, il est facile de voir que le prolongement d’un T arbitraire aux
FD-complexes conserve la relation de FD-homotopie. L’analogue de (I) pour la
FD-catégorie est aussi vrai et résulte d’une équivalence entre "complexes" et
"FD-complexes", qu’on expliquera ci-dessous (paragraphe 3). Ceci permet de définir
n)
les foncteurs dérivés d’un T arbitraire ([3]). Par exemple, les groupes
d’EILENBERGMACLANE ~4 ~~ ou .les groupes. d’homologie des produits symétriques,
cycliques etc. (des polyèdres, voir ~ 2 ~) s’expriment ainsi comme foncteurs dérivés
de certains foncteurs non-additifs.
Les définitions et résultats
1.
et
FD-complexes
Un
FD-complexe
teurs de face et de
satisfaisant
aux
se
généralisent
catégories abéliennes ([6]).
FD-homomorphismes.
K
dans e
est
une
suite de modules
dégénérescence
identités usuelles
FD-homomorphisme F
phismes~ compatibles avec
K EC
(les FD-identités; [4J).
chaînes d’un complexe semi-simplicial forment
Un
aux
K1 ~ K2 est
les
ai et si .
:
19
une
un
munie des
Par
exemple,
opéra-
les
FD-complexe.
suite
F :
K1 ~ K2
d’homomor-
Les modules
H*(K) =
~2 ~
~0 ~
Soit
T :
C
C’
°
°
q=0
°
se
définissent
avec
°
foncteur covariant. Alors
IK
FD-complexe (dans
opérateurs de face et de dégénérescence sont T(à ) 6t T(s ) ;
en particulier,
T (K ) . Définition analogue pour les FD-homomorphismes :
(TK)
On
dit
T(F ) .
(TF)
prolongé T à la FD-catégorie. On notera que
@’ )
+
un
sera
le
dont les
=
qu’on a
=
q
q
l’opérateur bord dans
T(à)
TK
et non,
en général,
(É (~ i )~ é~ )
* T
°
FD-homotopie ([ 2 ]) .
2.
Soit
I
la
FD-complexe,
sur
les entiers
Z,
complexe semi-simplicial. Le Z-module
q-simplexes du segment (ils sont tous
comme
du
I
segment, qu’on considère
les Sommets
forment
e0 , ei
@ le produit cartésien
x
K) q
=
I
q
à,
ài
,o i
sont
à~ Kq ,
et
s .
I
x
et les
e
j
2 ,1 Définition. - Une
Une
K
base de
est
un
opérateurs
possède comme base
> 1 ) . En
particulier;
est libre et
q
dégénérés si
les
(I
est 03A3(-1)i T(~i)
q
Pour
chaque FD-complexe K dans
FD-complexe dans Q , On a
Io.
de face et de
dégénérescence
I
de
x
K
s ..
j
FD-homotopie est
un
FD-homomorphismes F0 , F : K - K’
existe Une FD-homotopie ° telle que
a
et 1
e K
0 , 1 . Définition usuelle
q
q
Deux
0 :
FD-homomorphisme
x
(FD)-homotopes, F0 ~
sont
8SÉei> aq> F aq>
de
=
1
°
K - K’ .
F1 ,
s
’il
pour tout
=
l’homotopie-équivalence
F
K
Q
Ki ,
’Fi
Soit T : @ - C’ un foncteur covariant.
sont des FD-homomorphismes homotopes, alors,
2.2. Proposition. -
F1 : K + K’
TF1 : TK - TK’
équivalents, TK,
DÉMONSTRATION. -
d’où
un
.TK’
Pour
homomorphisme
sont
homotopes. En particulier,
si
K ,
K’
Si
sont homotopie-
le sont aussi.
chaque simplexe
qé I
on a un
q
homomorphisme canonique
q-simplexe de I , a ~ T(Kq) . On vérifie que les
FD-homomorphisme 03C4 : I x (TK) -’r T(I x K ) ; de plus, si
F~ =’
une homotopie
l’homomorphisme composé
6
forment
03C4 q
un
03B8 :
1
x
un
K ~ K’
est
Fl ,
est
TF ~ TF .
homotopie
une
3.1 Définition. - Soit K
complexe)
est réduit à
forment
son
J
1(J)
([ 5 ~ ~ 2 ~) .
(NK)
noyau
=
a~ .
=
F :
K --~ K’
associe,
on
par restriction de
F ~
un
NK 2014~- NK’ ..
:
foncteur additif. On
un
complexe
Soit
chaînes
un
chaque FD-homomorphisme
homomorphisme de chaînes NF
est
de
FD-complexe. Les modules
un
A
N
complexes
sous-complexe de chaînes NK (pas un sous-FDK, qui s’appelle le complexe normal de K. L’opérateur-bord dans
(ai : Kq ~ K 9" 1)
de
NK
et
FD-complexes
3. Equivalence entre
va
voir que
K
est
complètement déterminé
par
normal.
(jl ’ j2 , ... jn)
= n co,
n > 0.
une
suite
Si pour tout
i,j~q-i,
de
longueur
elle définit un homomor-
d’entiers ± 0 ,
phisme
c’est
un
l’est
parce que chaque
(à. J sj
monomorphisme,
’1 suite
est q-admissible si pour tout
=
identité) ;
donc
J
(les
suites
q-admissibles de longueur
quement aux applications monotones surjectives
tre 1~ 3). Ceci dit, on a
et ji > ji+1
3.2 Proposition. s’étend
sur
Kq (NK) + ~-j
DEMONSTRATION par récurrence
K
avec
=
noyau
(ô : K
correspondant biunivo[4], I, chapi-
(somme directe) ;
=
toutes les suites
n
la
somme
q-admissibles.
sur
-
q . -
K~);
A
les
K
on associe un
opérateurs
nouveau
de face et de
FD-complexe
K sont les
identité implique
dégénérescence
a
s9~1 ~
g
A
de
K q- let K q -1
(NK)i-l = (NK)1
on
pour
restrictions de
ceux
peut appliquer l’hypothèse
i >
0 , ceci
donne la
de
relation
K . La
de
récurrence ;3
en
utilisant
proposition.
proposition 3.2 résulte bien que le FD-complexe K est déterminé par
la complexe de chaînes NK (on déduit des FD-identités comment les
De plus, elle montre comment on peut associor à
comportent vis-à-vis des
complexe de chaînes C arbitraire (positif) un FD-complexe K LC tel que
De la
se
un
=
proposition 3.2 indique
N,
par les formules 3.2. Plus généralement, la
comment on peut construire un foncteur L réciproque à
définir
NK = C ; on n’a qu’à
L
c’est-à-dire tel que
K
N
et
forment
gories des FD-complexes et des complexes de
(Groupe
peut
FD-Hom (K ~ Kt) ^’ CH-Hom (NK ~ NK’) .
N :
3.3
aussi
les caté-
équivalence ([6]) entre
chaînes. En particulier,
une
des
se
homomorphismes de
resp. des
FD-homomorphismes,
chaînes) ;
ceci
déduire immédiatement de 3.2 .
L’isomorphisme 3.3
conserve
les
homotopies,
3.4.Proposition. - Deux FD-homomorphismes
NF~ ~
si et seulement si
NF :
NK ~ NK’
i.e.
FO,
sont
K-~K’
sont
homotopes
(chaîne-) homotopes.
DEMONSTRATION. - On considère les homomorphismes de chaînes
qui figurent
tre 1, 2).
dans la démonstration du théorème
Si maintenant
(N0)
o
V :
(NI)
homotopie
homotopie
d’une
a ’1
1
K --~ K’
(NK) ~
:
(NI )
8
D
x
par
NK’
9
est
est
(NK)
o
- NK’
3.5 Corollaire. - Les homomorphismes F0* ,
des
FD-homotopie
homotopie NF0 ~
une
une
f) :
FD-homomorphismes homotopes F0 , F1
d’Eilenberg-Zilber (~4 ~~ II~ chapi-
I
entre
x
NF0
et
FO "-’ Fl , le composé
NF1 . Réciproquement,
NF1 on obtient une
K - K’ .
Fi :
H
(K)
sont * égaux.
~ H*
*
(K’ )
induits par
,
DEMONSTRATION. -
(quotient de
peut
p
donc identifier H * (K)
normalisé de
NK
D’après 3 .2,
K
K
H
=
*
Fi* *= (NFi)* ,
T : e -~ ~
(G , n)
est
=
ii.
iii. tous les
q
G -~ G’
est
(P)
sont
Pq
(G, n)
Pour tout
f s
H
G,
un
un
dans C
voir
complexe
[4 ~~ I) ;
on
d’où le corollaire.
*
arbitraires
entier. une
au
(~3 ~).
FD-résolution projective de
tel que
q ~n ;
pour
=
P
FD-complexe
un
Pq 0
H n (p).
i.
0
module et
un
dégénérés ;
par les éléments
(NK) et
4. Foncteurs dérivés des foncteurs
Soient G E ~
canoniquement isomorphe
est
=
0
q~
pour
n ;
projectifs.
FD-résolution projective P. Si
homomorphisme et P’ une FD-résolution projective de
il existe
une
et un seul à une homotopie
(G’ , n) , il y a un FD-homomorphisme F : P --~
-~
est égal à f . En particulier, deux
près, tel que F* :
FD-résolutions projectives de (G, n) sont toujours homotopiquement équivalentes
Tout ça résulte des propriétés analogues des résolutions ordinaires et de
valence établie au paragraphe 3.
Soit maintenant
T :
C~ -.~ e ’un
foncteur covariant. Le
l’équi-
type d’homotopie
de
TF ~ ne dépend que de (G, n) , resp. de (f, n) (voir paragraphe 2) ; en particulier, H*(TP) et (TF)* : H*(TP) -~ H*(TP~) ne dépendent
que de (G, n) et (f ~ n) . On appelle q-ième foncteur dérivé (à gauche) de
T le foncteur
L T qui est défini par L9 T(G ~ n) = H
resp. de
TP ,
n) -
L
Si
T
T
:
T
et coincident
arbitraire il y
Lq
T(G , n)
n’est pas
~
a
toujours
additif, «
G =
par définition
une
Lq
est
... ) =
Gl !
un
l’usuel
un
n +
plus
03A3~n=0
FD-résolution projective de
T(G , t) ,
G -+
avec
T(G ,
L g +1 n’est
GENERALISATION. - Soit
une
H (TP’) .
~
est additif les foncteurs
équivalents
tous
un
(TF)* :
1) ,
G
la
0,
suspension (paragraphe 5),
module
(Gn , n) ,
=
la
1
... ,
sont
T. Pour
naturel
isomorphisme,
un
n
t
k-ième foncteur dérivé de
homomorphisme
un
pour
en
général.
gradué,
somme
mais si
G
n~C.
directe
Si
Pn
est
Pn
est
FD-résolution projective de
homomorphisme gradué.
G , et l’on pose
Définition analogue pour
Lq
-~ G’
EXEMPLES.
1° Soit
G
un
groupe abélien
l’algèbre symétrique
> 0 , coincident avec
les groupes
n
2° Soit
rS n
(sur
G
module
T
donnent
en
fonction de
au
moins si
A
un
q (G ,
n ;
q
son anneau
T(G ~ n)
et
L
9
de groupe,
T’G
T~(G ~ n) ~
Z) d’Eilenberg-MacLane.
sous-groupe du groupe symétrique de degré n . Pour chaque
anneau commutatif ./~") soit
TG = G~ le quotient de la n-ième
G
e
l’homologie
H* (X ) :
est
L
H
TG
soit
Alors
un
puissance tensorielle
de
(Z-module ),
(sur Z).
G
de
G
a
du
par l’opération du groupe ~ . Les dérivés
r-produit Xi (analogue à G~) d’un polyèdre X
.~1. ) = L q
(X ~ .~ ) , H 1 (X ~ "~. ) ~ ...) ~
on a
héréditaire.
G
e
..,
5. La suspension.
Comme
géométrie,
peut définir
le cône
CK
suspension SK d’un
FD-complexe
contractile, i.e. homotopiquement équivalent à
0 , et l’on a un isomorphisme naturel du complexe normal NSK sur NK J qui abaisse les degrés d’une unité. En particulier, si
P est une FD-résolution projective pour (G ~ n) , la suspension SP en est une pour
aussi
0 --~ K -4 CK -S-~ SK --~ 0 , qui est triviale en tant que suite
une suite exacte
K + (SK) , q 0 .
exacte de modules, i.e.
en
on
K . Le cane
CK
(CK)
Soit maintenant
et la
est
=
T : C ~ C’
tel que T(0) = 0 . Alors
-~
homomorphisme (Ti) :
un
f oncteur
(Tp) o (Ti ) ~ T (pi ) 0 ’d’où un
(noyau de
H
q
(TK
)
H
Tp) . D’autre part TSK ~TCK/noyau (Tp) (Tp est un épimorphisme parce que
(CK) = K + (SK) ) , et TCK est homotopiquemant équivalent à 0 (paragraphe 2),
-~ H
donc l’homomorphisme-bord à : Hq
(noyau de Tp) est un isomorq
=
phisme La suspension est l’homomorphisme composé
*
en
particulier,
On
a
la
si
K = P
est
une
FD-résolution projective de
(G ~ n)
proposition ci-après
5.1 Proposition. - 6" :
Pour des résultats
plus précis
(les "cross-effect8" ) ;
on
pour q ~ 2n .
Lq
on
suppose
étudie "la déviation de l’additivité" de
toujours T(0)
=
0 .
T
Pour
A,
B ~C
de deux variables. En
~[2j ~ "~
En
on
T(A + B) TA + TB
égalant les variables
on a
construit des
T(AJB)
+
on
obtient
un
est
un
foncteur
foncteur
=T(AJA) .
~’~
appliquant
=
T
à "l’addition"
homomorphismes
A
+
A 2014~ A
et à "la
diagonale"
A 2014~ A
+
A
naturels
5 .2 Proposition.
1~
L
2~
Dans
(5.3)
pour
q2n.
la suite
Lq T~~(G ,
n)
T(G , n)
T(G ,
n +
n +
1)
composé de deux homomorphismes consécutifs est 0 ("la suspension tue les
éléments décomposables et a comme image des éléments primitif s")
le
3~ La suite 5 .3 est exacte
pour
q~3n.
Ces résultats et d’autres découlent d’une
peut définir dans
ce
cadre
espèce
de
"bar-construction" qu’on
(D])
BIBLIOGRAPHIE
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CARTAN
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Soc.,
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c.s.s.
d’algèbre homologique,
complexes,
Tohoku
Trans. Amer. math.