Canonicité

Canonicit´ e
En math´ ematiques on utilise le mot canonique comme un mot magique. Demandez autour
de vous qu’est-ce qu’il veut dire, et personne ne saura vous donner de d´ efinition. Il est bien
connu qu’un espace vectoriel de dimension finie n’est pas canoniquement isomorphe ` a son
dual (alors qu’il est canoniquement isomorphe ` a son bidual), cependant cet ´ enonc´ e n’est jamais
´
ecrit sous une forme pr´ ecise.
En fait le terme canonique signifie simplement fonctoriel. Voyons voir ce que cela veut dire,
pour l’exemple du dual d’un espace vectoriel (1).
Le dual d’un espace vectoriel
“Un espace vectoriel n’est pas canoniquement isomorphe ` a son dual” veut simplement dire
qu’il n’y a pas de mani` ere fonctorielle d’associer un isomorphisme V∼ −→V∗` a un espace vec-
toriel V. Pour mettre cela en forme on doit consid´ erer
•la cat´ egorie Edes espaces vectoriels (sur un corps fix´ e), avec pour morphismes les iso-
morphismes lin´ eaires.
•la cat´ egorie Ides isomorphismes entre espaces vectoriels, avec pour morphismes les
carr´ es commutatifs qu’on imagine.
Il y a un foncteur contravariant Dqui ` a un espace vectoriel Vassocie son dual, c’est-` a-dire
D:E→E◦
o` uE◦d´ esigne la cat´ egorie oppos´ ee, avec D(V) = V∗. Il est involutif en un sens ´ evident, c’est-
`
a-dire D◦◦D=idE. Le fait de consid´ erer pour seuls morphismes dans Eles isomorphismes
est crucial ; cela a pour cons´ equence qu’il y a un autre foncteur involutif I:E◦→E, d´ efini par
I(V) = Vet I(f) = f−1pour tout f:V→W. Il y a aussi deux foncteurs S, B :I→Equi ` a un
isomorphisme associent sa source et son but.
Proposition 1 Il n’existe par de foncteur F:E→Itel que S◦F=idEet B◦F=I◦D.
D´emonstration : Soit Fun tel foncteur. On note qu’un isomorphisme f:V→Wdonne lieu ` a
deux isomorphismes α=F(V)et β=F(W)formant un carr´ e commutatif
Vα//
f
V∗
Wβ//W∗
f∗
OO
Prenons V=W, donc α=β. La commutativit´ e ci-dessus dit que pour tous x, y ∈Von a
α(f(x)).f(y) = α(x).y. Si on choisit y1et y2dans V, diff´ erents de x, tels que α(x).y1=0et
α(x).y26=0, et si on choisit fqui fixe xet envoie y1sur y2, on a une contradiction. 
La puissance ext´erieure maximale d’un espace vectoriel
1C’est apr`
es que PE a pos´ e la question qu’on a d´ ecid´ e d’y r´ epondre.
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Dans la mˆ eme veine que pr´ ec´ edemment on peut remarquer qu’il n’existe pas d’isomorphisme
canonique entre ΛmaxVet R.
On note Enla sous-cat´ egorie pleine de Eform´ ee des espaces vectoriels de dimension n. Il
y a un foncteur Λn:En→Equi ` aVassocie ΛnV. On note aussi Rla sous-cat´ egorie ponctuelle
de Edont le seul objet est Ret le seul morphisme est l’identit´ e de R.
Proposition 2 Il n’existe par de foncteur F:E→Itel que S◦F=Λnet B◦Fse factorise par R.
D´emonstration : Soit Fun tel foncteur, pour tout f:V→Von doit avoir un isomorphisme
α=F(V)dans un triangle commutatif
ΛnVα//
Λnf
R
ΛnV
α
<<
z
z
z
z
z
z
z
z
Ceci n’est possible que si Λnf=det(f) = 1.
On note qu’on aurait un ´ enonc´ e plus simple en remplac¸ant la cat´ egorie Ipar la cat´ egorie
IRdes isomorphismes V∼ −→Rentre un espace vectoriel et R, les morphismes ´ etant les iso-
morphismes formant un triangle commutatif.
On voit aussi que si on regarde au lieu de Enla cat´ egorie Eu+
ndes espaces euclidiens orient´
es
de dimension n(i.e. les e.v. munis d’un produit scalaire et d’une orientation), alors il existe
canoniquement un isomorphisme ΛnV∼ −→R.
Proposition 3 Il existe un foncteur F:Eu+
n→IRtel que S◦F=Λn.
D´emonstration : Soit Vun e.v.e.o., on choisit une base orthonorm´ ee positive (ei)et on d´ efinit
un isomorphisme α:ΛnV∼ −→Vpar α(e1∧· · · ∧en) = 1. Cette d´ efinition ne d´ epend pas du
choix de (ei)car si on change de base alors la matrice de passage est de d´ eterminant 1.
Il d´ ecoule par exemple de cette remarque que pour tout fibr´ e en espaces euclidiens orient´ es
V→Xsur un espace topologique X, on a ΛnV'R×Xcanoniquement. (Un tel fibr´ e est
´
equivalent ` a un SOn(R)-fibr´ e principal sur X,` a isomorphisme pr` es.)
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