2.5. OÙ L`ON CARACTÉRISE $Com_C^f - E

2.5. OÙ L'ON CARACTÉRISE $Com_C^f$
Objekttyp: Chapter
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 39 (1993)
Heft 1-2: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am: 24.05.2017
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2) II n'est pas indispensable de passer aux modules pour prouver le
lemme 1. On remarque d'abord (cf. n° 1.4, Exemple 2) que Fest isomorphe
àun sous-comodule de CE®F, i.e. de (CE)n9n
9avec n=rang(F). D'autre
part, CECEest isomorphe, comme comodule, àun quotient de E®E\
c'est-à-dire de Em,où m= rang(£). D'où le résultat.
Exemples
1) La sous-catégorie de Com^ formée des objets semi-simples corres
pondà la plus grande sous-cogèbre semi-simple de C(la somme de toutes les
sous-cogèbres simples).
2) Supposons Csemi-simple, et soit (Ei)iel un ensemble de repré
sentantsdes classes de C-comodules simples. Posons C, =CEi ,de sorte
que Cest somme directe des cogèbres simples Q. Si /est une partie
de I, Cj =Y* Ci est une sous-cogèbre de C, et toute sous-cogèbre de C
ieJ
s'obtient de cette manière, et de façon unique. La sous-catégorie correspondant
àCj est formée des comodules isomorphes àdes sommes directes finies
des Et ,/e/.
2.5. OÙ L'ON CARACTÉRISE $Com_C^f$
Soit Mune catégorie abélienne munie des deux structures suivantes:
a) Mest une catégorie sur K; cela signifie que, si E, Fsont des objets de
M, HomM(E, F) est muni d'une structure de vectoriel, la compo
sitiondes morphismes étant bilinéaire.
b) On se donne un foncteur v: M^ Vect^ de Mdans la catégorie des
vectoriels de dimension finie.
On fait les hypothèses suivantes:
(i) Le foncteur uest K-linéaire, i.e. pour tout E,FeM, l'application
u: HomM(E, F) -> Hom(u(E), v(F)) est
(ii) Le foncteur vest exact et fidèle.
Théorème 3. Sous les hypothèses ci-dessus, il existe une cogèbre C
sur K(et une seule, àisomorphisme près) telle que Msoit équivalente à
Com£, cette équivalence transformant le foncteur ven le foncteur
C-module espace vectoriel sous-jacent.
[Ici, il est nécessaire d'interpréter Mcomme une petite catégorie, ou en tout
cas de supposer qu'il existe un ensemble de représentants pour les classes
d'isomorphisme d'objets de M.]

Avant de commencer la démonstration, remarquons que les hypothèses (i)
et (ii) entraînent que HomM(ls, F) est un espace vectoriel de dimension finie
pour tout E,F eM. De plus, un sous-objet d'un objet Ede Mest connu
lorsqu'on connaît le sous-espace vectoriel correspondant de o(E); l'ensemble
des sous-objets de Es'identifie ainsi àun sous-ensemble réticulé de l'ensemble
des sous-espaces vectoriels de v(E); en particulier, Eest de longueurfinie. On
ades résultats analogues pour les objets quotients.
D'autre part, si EeM, nous noterons MEMEla sous-catégorie pleine de M
formée des quotients FIG, où Fest isomorphe àun sous-objet d'un
En(n entier >0quelconque).
Enfin, si Eest un objet de M, et si Xest une partie de V(E), nous dirons
que Xengendre Esi tout sous-objet Fde Etel que u(F) DXest égal àE.
Démonstration du théorème 3
a) Le cas fini; une majoration.
C'est celui où il existe un objet EdeMtel que MEME=M. Soit n=rang^u(E).
Lemme 2. Soit Fun objet de Mpouvant être engendré par un
élément (cf. ci-dessus). On a
Par hypothèse, on peut écrire Fcomme quotient F]/F2i où Fxest
isomorphe àun sous-objet d'un Emtpour mconvenable. Soit xeu(F)
engendrant Fet soit xxun élément de u{Fx)dont l'image dans v(F) est x.
Soit Gle plus petit sous-objet de Emtel que o(G) contienne xl.On aGCFx
et l'image de Gdans F=Fl/F1est égale àF. Il suffit donc de prouver que
xzngKv{G) n2.Si m72, c'est évident. Supposons donc que m>n.Ona
X! ey(G) C=7)?. Soient yu...,ymles composantes de xu
considéré comme élément de u(E)m.Puisque m>n,il existe des ateK, non
tous nuls, tels que Vaiyi=o.Or les atdéfinissent un morphisme surjectif
Em-> E; si Nest le noyau de ce morphisme, on aN- £T/7Î ~1,comme on le
voit facilement. D'autre part, on axxeu(N), d'où GCNpuisque Xj
engendre G. On adonc obtenu un plongement de Gdans EEm~~ l\d'où le
lemme, en raisonnant par récurrence sur m.
b) Le cas fini; construction d3un générateur projectif
Les hypothèses étant les mêmes que ci-dessus, on choisit un objet Pde M
pouvant être engendré par un élément xeu(P), et tel que u(P) soit de rang
maximum parmi ceux jouissant de cette propriété. C'est possible en vertu du
Lemme 2.

Lemme 3. (i) Le couple (P, x) représente le fondeur v.
(ii) Pest un générateur projectif de M.
Il suffit de prouver (i); l'assertion (ii) en résultera, puisque le foncteur v
est exact et fidèle.
Soient donc FeM, et yev(F). Il nous faut prouver l'existence et l'unicité
d'un morphisme /:P-> Ftransformant xen y. L'unicité provient de ce
que xengendre P. Pour démontrer l'existence, soit Qle plus petit sous-objet
de PxFtel que v(Q) contienne (x,y). Le morphisme Q-> Finduit par pri
est surjectif, du fait que Pest engendré par x. On adonc
mais le caractère maximal de u(P) entraîne qu'il yaégalité; le morphisme
Q-+ Pest donc un isomorphisme. En composant son inverse avec la seconde
projection Q-? F, on obtient un morphisme /ayant la propriété voulue.
c) Le cas fini; fin de démonstration.
Soit Al'algèbre des endomorphismes de P. C'est une de
dimension finie. Le lemme suivant est bien connu:
Lemme 4. // existe un foncteur cp: Mod^o -* Met un seul (à isomor
phismeprès) qui soit exact àgauche et transforme A(considéré comme
A-module àdroite) en P. Ce foncteur est une équivalence de catégories.
Indiquons brièvement la démonstration. Pour chaque A-module àdroite
Hde rang fini, on choisit une présentation finie de H:
où aest une px#-matrice àcoefficients dans A. Cette matrice définit un
morphisme Pp-+ Pqet l'on prend pour cp(if) le conoyau de ce morphisme.
On prolonge de façon évidente (p en un foncteur Mod-^o ->? Met l'on vérifie
qu'il ala propriété voulue. On note généralement ce foncteur H^H®AP.
C'est un adjoint du foncteur F^> HomM(P, F). Son unicité est immédiate.
Le fait que ce soit une équivalence résulte de ce que Pest un générateur
projectif de M.
De plus, l'équivalence cp:i/H> H®APtransforme le foncteur «espace
vectoriel sous-jacent àun A-module» en un foncteur isomorphe àv(en effet
le premier foncteur est représentable par A, le second par P, et (p transforme
Aen P). On peut donc prendre pour cogèbre la cogèbre duale de l'algèbre A,
et toutes les conditions sont vérifiées.

d) Cas général.
Soit Xl'ensemble des sous-catégories Nde Mtelles qu'il existe EeMavec
N= ME.L'ensemble Xest ordonné filtrant puisque ME{XEIM
E{XEl contient MEx et
MEI.M
El .Si NeX, soit comme ci-dessus (PN,xN)un couple représentant la
restriction àTVdu foncteur v, et soit ANA N=End(Pat). Si N{JN2,il existe un
unique morphisme PNIPNl -> PNIPNl transformant xNIxNl en xNIxNl ;on voit aisément que
ce morphisme identifie PNIPNl au plus grand quotient de PNIPNl appartenant àN2 .
En particulier, tout endomorphisme de PNIPNl définit par passage au quotient
un endomorphisme de PNI.PNl .D'où un homomorphisme ANI->A Nl ->ANl qui est
surjectif. Si Adésigne l'algèbre profinie limite projective des AN,pour
NeX, il est alors clair que la cogèbre duale de Arépond àla question.
Quant àFunicité de cette cogèbre (ou de l'algèbre A), elle provient de la
remarque suivante: Aest isomorphe àl'algèbre des endomorphismes du
foncteur v, munie de la topologie de la convergence simple.
Remarque. Il est probablement possible d'éviter le passage par le cas
M=MEi en utilisant le théorème de Grothendieck disant qu'un foncteur
exact àdroite est proreprésentable:on appliquerait ce théorème àu, d'où
PeProM représentant vet on obtiendrait Acomme l'algèbre des endo
morphismesde P. §3. Bigèbres
3.1. DÉFINITIONS ET CONVENTIONS
(Dans ce n°, ainsi que dans le suivant, on ne suppose pas que Ksoit un
corps.)
Rappelons (cf. Alg. III) qu'une bigèbre sur Kest un if-module Cmuni
d'une structure de cogèbre d'.C-+C®C et d'une structure d'algèbre
m: C(x) C->C -> C, ces structures vérifiant l'axiome suivant:
(i) Si l'on munit C(g) Cdela structure d'algèbre produit tensoriel de celle
de Cpar elle-même, dest un homomorphisme d'algèbres de Cdans C(x) C.
Cet axiome équivaut d'ailleurs à:
(i') L'application m: C(x) C-? Cest un morphisme de cogèbres (pour la
structure naturelle de cogèbre de C(x) C).
Dans tout ce qui suit, nous réserverons le terme de bigèbres àcelles vérifiant
les conditions suivantes:
(ii) La cogèbre (C, d) possède une co-unité e: C-> K.
(iii) L'algèbre (C, m) est commutative, associative, et possède un élément
unité 1.