UPMC 5MF32 Groupes réductifs et représentations 2015 - IMJ-PRG

UPMC 5MF32 Groupes r´eductifs et repr´esentations 2015-2016
Feuille de TD no. 1
Dans la suite, tous les anneaux consid´er´es sont commutatifs et l’on ´ecrira «Λ-alg`ebre »
au lieu de «Λ-alg`ebre commutative ».
Exercice 1. — Soit Cune cat´egorie. On note b Cla cat´egorie des foncteurs contravariants
de Cdans la cat´egorie des ensembles et, pour tout objet Xde C, on d´esigne par hXl’objet
de b Cd´efini par
hX(Y) = HomC(Y, X) pour tout Y∈C.
On rappelle le lemme de Yoneda : pour tout objet Fde b C, on a une bijection canonique :
Hom b
C(hX, F )∼
−→ F(X), φ 7→ φX(idX).
(1) Soit Fun objet de b C. On dit Fest repr´esentable s’il existe un couple (X, φ) o`u X
est un objet de Cet φun isomorphisme hX∼ −→ F. Montrer que, dans ce cas, le couple
(X, φ) est unique `a isomorphisme unique pr`es.
(2) On suppose que les produits finis existent dans Cet que Cposs`ede un objet final ω.
Soit Xun objet de Ctel que le foncteur hXsoit un foncteur en groupes, i.e. hX(Y) est un
groupe pour tout objet Yet hX(f) : hX(Y)→hX(Z) est un morphisme de groupes, pour
tout morphisme f:Z→Ydans C. Montrer alors que Xest un groupe dans la cat´egorie
C, i.e. il existe dans Cdes morphismes m:X×X→X,e:ω→Xet ι:X→Xtels que
les diagrammes ci-dessous soient commutatifs :
X×X×Xm×idX//
idX×m
X×X
m
X×Xm//X
X(idX,e)//
(e,idX)
idX
&&
X×X
m
X×Xm//X
X(idX,ι)//
(ι,idX)
e
&&
X×X
m
X×Xm//X
o`u l’on a not´e e:X→Xla compos´ee de l’unique morphisme X→ωavec e:ω→X.
Exercice 2. — Soit Λ un anneau commutatif et Cla cat´egorie des Λ-sch´emas affines. Un
groupe dans Cest appel´e un Λ-sch´ema en groupes.
(1) Montrer qu’un objet G= Spec(A) de Cest un Λ-sch´ema en groupes si et seulement
si Aest muni d’une structure de Λ-alg`ebre de Hopf.
(2) Soit H= Spec(B) un second Λ-sch´ema en groupes et soit f:H→Gun morphisme
de Λ-sch´emas, donn´e par un morphisme de Λ-alg`ebres φ:A→B. Montrer que fest un
morphisme de sch´emas en groupes ssi φest un morphisme d’alg`ebres de Hopf, et que ceci
est le cas ssi ∆B◦φ= (φ◦φ)◦∆A(i.e. que les conditions εB◦φ=εAet τB◦φ=φ◦τA
sont automatiquement v´erifi´ees).
(3) Expliciter les structures d’alg`ebre de Hopf sur Z[Ga], Z[Gm] et Z[GLn].
Exercice 3. — Soit kun anneau commutatif et G= Spec(A) un k-sch´ema en groupes. On
note k[] = k⊕k, o`u 2= 0. (Cette variable de carr´e nul n’est pas `a confondre avec l’augmentation
ε:A→k.) Pour toute k-alg`ebre R, on pose R[] = R⊗kk[] = R⊕R. Le morphisme de
k-alg`ebres R[]→Renvoyant sur 0 induit un morphisme de groupes G(R[]) →G(R)
et l’on note Lie(G)(R) le noyau de ce morphisme. Ceci d´efinit un foncteur Lie(G) de la
cat´egorie des k-alg`ebres dans celle des groupes.
(1) Montrer que Lie(G)(R) s’identifie au R-module Derε(A, R) des applications k-
lin´eaires δ:A→Rtelles que, pour tout a, b ∈A,
δ(ab) = ε(a)δ(b) + ε(b)δ(a).
1

2
Pour un tel δ, montrer que δ(1A) = 0.
(2) Soit m= Ker(ε). Montrer que tout δcomme ci-dessus est d´etermin´e par sa restriction
`a m, puis que Derε(A, R)'Homk(m/m2, R).
(3) Montrer que via l’identification pr´ec´edente, la structure de groupe de Lie(G)(R)
(induite par celle de G(R[])) co¨ ıncide avec la structure de groupe ab´elien du R-module
Derε(A, R).
(4) Si kest noeth´erien et si Aest une k-alg`ebre de type fini, montrer que m/m2et
Lie(G)(k) sont des k-modules de type fini.
(5) Si m/m2est un k-module libre de rang fini montrer que l’application naturelle
Lie(G)(k)⊗kR→Lie(G)(R) est un isomorphisme.
Exercice 4. — Soit Run syst`eme de racines dans V, irr´eductible et de rang ≥2. On
fixe un produit scalaire ( , ) sur Vinvariant par W=W(R) et pour tout x∈Von pose
kxk=p(x, x).
(1) On suppose Rr´eduit. En utilisant la classification, montrer que l’ensemble des normes
kαk, pour α∈R, a au plus deux ´el´ements.
D´esormais, on suppose Rnon r´eduit. On dit qu’une racine αest indivisible si α/26∈ R
et l’on note R0l’ensemble de ces racines. On suppose de plus que les ´el´ements de R0de
longueur minimale sont de longueur 1.
(2) Montrer que R0est un syst`eme de racines r´eduit dans V, que W(R0) = W(R), et
que R0est irr´eductible.
(3) Soit α∈R0telle que 2α∈R. Montrer qu’il existe γ∈R0non proportionnelle et non
orthogonale `a α. En utilisant la classification des syst`emes de racines de rang 2, montrer
que kγk=√2.
(4) Pour r= 1,√2,2, on note Rrl’ensemble des racines de longueur r. Montrer que
R=R1∪R√2∪R2et R0=R1∪R√2.
(5) Montrer que deux ´el´ements non proportionnels de R1sont orthogonaux. En utilisant
la classification des syst`emes de racines r´eduits, montrer que R0est de type Bn.
(6) R´eciproquement, si (e1, . . . , en) est une base orthonorm´ee de V=Rnmontrer que
R={±ei,±2ei|i= 1, . . . , n} ∪ {±ei±ej|1≤i6=j≤n}est un syst`eme de racines
irr´eductible non r´eduit. On dit qu’il est de type BCn.