Feuille d`exercices 3

MAT5920 S´ eminaire II Hiver 2013
Feuille d’exercices 3
Exercice 1. Soit Run anneau.
a. Montrer que l’application de ψ: HomR(R, M)→Md´efinie par ψ(f) = f(1R) est une
isomorphismes de R-modules `a gauche.
b. Montrer que l’application ϕ:R→EndR(M) d´efinie par ϕ(r) = rIdM, o`u IdMest
l’endomorphisme identit´e, est un morphisme d’anneaux.
c. En d´eduire que les R-alg`ebres EndR(R) = HomR(R, R) et Rsont isomorphes.
Exercice 2.
Pour un id´eal Id’un anneau Ret un entier n∈N, on d´efinit Incomme l’ensemble
des combinaison lin´eaire finie des ´el´ements de la forme i1· · · in, o`u i1, . . . , in∈I.
Soit Run anneau commutatif. Soit Iun id´eal de Rtel que In={0}pour un certain n∈N.
Soit ϕ:M→Nun R-morphisme. Montrer que si l’application ¯ϕ:M/IM →N/IN d´efinie
par ¯ϕ(m+IM) = ϕ(m) + IN est sujective, alors ϕest surjective.
Exercice 3. Soit Ret Sdeux anneaux. Montrer les ´enonc´es suivants.
a. Pour RASet RB, HomR(A, B) est un S-module `a gauche par sf :a7→ f(as).
b. Pour RASet BS, HomS(A, B) est un R-module `a droite par fr :a7→ f(ra).
c. Pour SBRet AR, HomR(A, B) et un S-module `a gauche par sf :a7→ s(f(a)).
d. Pour SBRet SA, HomS(A, B) est un R-module `a gauche par fr :a7→ f(a)r.
Exercice 4. Soit Run anneau. Soit MRun R-module quelconque et RNun R-module libre
avec base {e1, e2, . . . , en}.
a. Montrer que tout ´el´ement de M⊗RNs’exprime de fa¸con unique sous la forme
n
X
i=1
mi⊗ei,o`u mi∈M.
b. En d´eduire que si Pn
i=1 mi⊗ei= 0, alors mi= 0 pour tout i∈ {1,2, . . . , n}.
Exercice 5. Montrer que dans la cat´egorie Ab, les ´epimorphismes sont les morphismes
surjectifs et les monomorphismes sont les morphismes injectifs.
D´epartement de Math´ematiques, Universit´e du Qu´ebec `a Montr´eal Page 1 sur 2

MAT5920 S´ eminaire II Hiver 2013
Exercice 6. Soit Cun cat´egorie.
– Un objet Fde Cest un objet final si, pour tout X∈Obj(C), il existe un
unique morphisme X→F.
– Un objet Ide Cest un objet initial si, pour tout X∈Obj(C), il existe un
unique morphisme I→X.
– Un objet Nde Cest un objet nul si Nest `a la fois initial et final.
a. Montrer qu’un objet initial est unique `a isomorphisme pr`es.
b. Montrer qu’un objet final est unique `a isomorphisme pr`es.
c. Soit Cune cat´egorie avec un objet nul. Montrer que HomC(X, Y )6=∅pour tous
X, Y ∈Obj(C).
d. Montrer que Gr,Ann1,EvRet MatRcontiennent des objets nuls.
e. Montrer que Ens a un objet initial et un objet final, mais pas d’objet nul.
Exercice 7.
Le groupe d´eriv´e d’un groupe Gest le sous-groupe de Gengendr´e par les ´el´ements
de la forme ghg−1h−1:
G0=ghg−1h−1:g, h ∈G.
Il est un sous-groupe normal de Get le groupe quotient G/G0est ab´elien.
Soient Gr la cat´egorie des groupes et Ab la cat´egorie des groupes ab´eliens.
a. Montrer que la correspondance
G7−→ G/G0
Gϕ
−−→ H7−→ G/G0¯ϕ −−→ H/H0
o`u ¯ϕ(gG0) = ϕ(g)H0pour tout g∈G, d´efinit un foncteur Ab :Gr →Gr. (En fait, Ab
prend valeurs dans Ab.)
Exercice 8. Montrer que, pour le monomorphisme j:Z/2Z→Z/4Z, le morphisme induit
j⊗1 : Z/2Z⊗ZZ/2Z→Z/4Z⊗ZZ/2Zest nul.
D´epartement de Math´ematiques, Universit´e du Qu´ebec `a Montr´eal Page 2 sur 2