Cohomologie des groupes

M2 Universit´e Paris Diderot
2016/2017 Cours du 4 octobre 2016
Alg`ebre Homologique et Topologie Alg´ebrique
Chapitre 3–Applications des foncteurs d´eriv´es `a certaines th´eories cohomologiques.
1 M´ethodes pour obtenir des complexes projectifs
1.1 Modules libres
Les propri´et´es d’adjonction du produit tensoriel nous permettent d’´enoncer la proposition suiv-
ante.
Proposition 1.1. Soient Set S0des anneaux. Le foncteur d’oubli SModS0→Set admet un
adjoint `a gauche
Set →SModS0
X→S⊗ZZ[X]⊗ZS0
Le S−S0-bimodule S⊗ZZ[X]⊗ZS0est le S−S0-bimodule libre engendr´e par X. Il v´erifie la
propri´et´e universelle suivante: pour toute application (d’ensembles) f:X→Mo`u Xest un
ensemble et M∈SModS0, il existe un unique morphisme de S−S0-bimodules ˜ f:S⊗ZZ[X]⊗Z
S0→Mtel que ˜ f◦i=fo`u i:X→S⊗ZZ[X]⊗ZS0est l’application qui `a xassocie 1⊗x⊗1.
Remarque. Cas particuliers: si S=Zle S0-module `a droite libre engendr´e par Xest Z[X]⊗ZS0;
si S0=Z, le S-module `a gauche libre engendr´e par Xest S⊗ZZ[X]; si S=S0=Z, le groupe
ab´elien libre engendr´e par Xest Z[X].
On remarque ´egalement que Z[X×Y]'Z[X]⊗ZZ[Y] (voir TD3 exercice 1).
1.2 Objets simpliciaux
D´efinition 1.2. On d´efinit la cat´egorie ∆comme suit:
1. Les objets de ∆sont en bijection avec N. On note [n], n ∈Nun objet de ∆.
2. f∈∆([n],[m]) si et seulement si fest une application croissante de {0,1, . . . , n}dans
{0,1,...m}.
La composition des morphismes est donn´ee par la composition usuelle d’applications.
Pour f∈∆([n],[m]), on notera, par abus de notation, f= (f(0), . . . , f(n)) la suite croissante
de ses images. On peut montrer que les morphismes sont engendr´es par les morphismes faces
n
i: [n−1] →[n], pour 0 ≤i≤net d´eg´en´erescences ηn j: [n+ 1] →[n] pour 0 ≤j≤n, au
sens o`u tout morphisme se d´ecompose en composition de morphismes faces et d´eg´en´erescences.
On peut se r´ef´erer au libre de Weibel, chapitre 8, pour la description des relations entre ces
morphismes. Par d´efinition
n
i= (0,1,...,ˆ
i, . . . , n), ηn
j= (0,1, . . . , j, j, . . . , n)
D´efinition 1.3. Soit Cune cat´egorie. Un objet simplicial dans Cest un foncteur X: ∆op → C.
Un morphisme entre objets simpliciaux Xet X0est une transformation naturelle entre Xet
X0. Cela d´efinit une cat´egorie que l’on note sC.
Proposition 1.4. La donn´ee d’un objet simplicial Xdans Cest ´equivalente `a
1

•La donn´ee d’objets Xnde Cpour n∈N.
•La donn´ee, pour tout n∈N, de morphismes appel´es faces di=Xn→Xn−1pour 0≤i≤n
et la donn´ee, pour tout n∈N, de morphismes appel´es d´eg´en´erescences sj:Xn→Xn+1
pour 0≤j≤nsatisfaisant
didj=dj−1di, i < j
sisj=sj+1si, i ≤j
sidj=
dj−1sj,si i<j
id,si i=jou i=j+ 1
sjdi−1,si i>j+ 1
La donn´ee d’un morphisme entre objets simpliciaux est ´equivalente `a la donn´ee de mor-
phismes fn∈ C(Xn, X0
n)pour tout n∈Nqui commutent aux applications diet sj.
Proposition 1.5. Si Aest une cat´egorie ab´elienne, on a un foncteur (sA)→Ch(A)≥0qui `a
tout objet simplicial Xassocie le complexe (Xn, d)) donn´e par d=Pn
i=0(−1)idi, et qui `a tout
morphisme f:X→X0associe le morphisme de complexes de chaines fn:Xn→X0
n.
2 Cohomologie des groupes
Dans toute cette section on se fixe un groupe G.
2.1 L’anneau de groupe Z[G]
D´efinition 2.1. On d´efinit l’anneau Z[G]comme ´etant le groupe ab´elien libre muni de la mul-
tiplication donn´ee par
(X
g
ng·g)(X
h
mh·h) = X
kX gh=k
ngmh·k, ng, mh∈Z.
L’unit´e de l’anneau est donn´ee par eG.
Remarque. On remarque que cette multiplication est induite par l’application d’ensembles
G×G→Gqui `a (g, h) associe gh. En effet, par propri´et´es d’adjonctions, se donner une
application d’ensembles G×G→Z[G] est ´equivalente `a se donner un morphisme de groupes
ab´eliens de Z[G]⊗ZZ[G]→Z[G], qui est ´equivalent `a se donner une application bilin´eaire de
Z[G]×Z[G]→Z[G]. Donc la multiplication d´efinie ci-dessus est bien distributive par rapport
`a l’addition et est associative.
Proposition 2.2. Soit i:G→Z[G]l’application qui `a gassocie g. Le couple (G, i)v´erifie la
propri´et´e universelle suivante: pour tout anneau Rpour toute application f:G→Rmultiplica-
tive, c’est-`a-dire f(gg0) = f(g)f(g0)et f(eG)=1R, il existe un unique morphisme d’anneaux
˜
f:Z[G]→Rtel que ˜ fi =f.
D´efinition 2.3. Un groupe ab´elien Aest un G-module `a gauche (`a droite) si Aest un Z[G]-
module `a gauche (`a droite).
Remarque. Soit Aun groupe ab´elien, on note Aut(A) l’ensemble des morphismes de groupes
ab´eliens f:A→Abijectifs. La donn´ee d’une structure de Z[G]-module `a gauche sur A´equivaut
`a la donn´ee d’un morphisme de groupes G→Aut(A).
Lemme 2.4. On consid`ere Zcomme un G-module `a gauche (`a droite) trivial: g·α=α, ∀g∈
G, α ∈Z(α·g=α, ∀g∈G, α ∈Z.) Le morphisme d’augmentation :Z[G]→Zqui `a Pgng·g
associe Pgngest un morphisme de G-modules `a gauche (`a droite).
2

2.2 (Co)homologie des groupes `a coefficients dans un module
D´efinition 2.5. Soit Aun G-module `a gauche. On d´efinit
Hn(G, A) = Extn
Z[G](Z, A)
Hn(G, A) = TorZ[G]
n(Z, A)
Pour calculer la cohomologie, il faut donc connaitre une r´esolution projective (ou libre) de
Zcomme G-module trivial.
Exemple. On consid`ere Gle groupe `a deux ´el´ements G={e, τ}avec τ2=e. Une r´esolution
libre de Zest donn´ee par le complexe
. . . →Z[G]d− →Z[G]d+ →Z[G]d− →Z[G] →Z.
o`u
d−(e) = e−τet d+(e) = e+τ.
Remarquons que ceci caract´erise enti`erement d−et d+car ce sont des morphismes de G-
modules; comme Z[G] est le G-module libre engendr´e par eon obtient
d−(τ) = d−(τ·e) = τ·d−(e) = τe −ττ =τ−e, d+(τ) = τ+e.
2.3 La construction bar
On donne ici une m´ethode syst´ematique pour construire une r´esolution libre de Zcomme G-
module trivial.
D´efinition 2.6. On consid`ere le foncteur F: ∆op →Z[G]Mod qui `a [n]associe Z[G×n+1]et
qui `a f: [n]→[m]associe l’application
F(f) : Z[G×m+1]→Z[G×n+1]
(a0, . . . , am)7→ (b0, . . . , bn)
d´efinie par bi=af(i−1)+1 ·. . . ·af(i)o`u par convention f(−1) = −1et si f(i−1) = f(i)alors
bi=eG.
Proposition 2.7. Fest bien un foncteur. Il d´efinit donc un objet simplicial dans la cat´egorie
des G-modules. On obtient
di(a0, . . . , an) = ((a0, . . . , ai·ai+1, . . . , an),si 0≤i<n
(a0, . . . , an−1),si i=n.
Remarque. Il faut montrer que
•F([n]) est un G-module
•F(f) est bien un morphisme de G-modules.
•F(id) = id,F(f◦g) = F(f)◦F(g).
Cours du 7 octobre
Notation: On note B0
n(G) = Z[G×n+1] et d=Pn
i=0(−1)idi.
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Th´eor`eme 2.8. Le complexe B0
∗(G)est une r´esolution libre du G-module Zvu comme G-module
trivial. En particulier Hn(G, A)peut ˆetre calcul´e en consid´erant le complexe
Cn(G, A) = (HomSet(G×n, A), δ)
o`u
(δf)(g1, . . . , gn+1) = g1·f(g2, . . . , gn+1)+
n
X
i=1
(−1)if(g1, . . . , gigi+1, . . . , gn+1)+(−1)n+1f(g1, . . . , gn)
Proposition 2.9. On a H1(G, A) = Der(G, A)/Ider(G, A)
2.4 Classification des extensions de groupes
D´efinition 2.10. Soit Gun groupe, Aun groupe ab´elien. Une extension du groupe Gpar A
est une suite exacte courte de groupes
E: 0 →A→E→G→1
Lemme 2.11. Toute extension de Gpar Ainduit une structure de Z[G]-module sur A.
D´efinition 2.12. Soit Aun Z[G]-module. On note E(G, A)l’ensemble des extensions de Gpar
Ainduisant la structure de G-module existante sur A. Deux extensions E,E0∈E(G, A)sont
dites ´equivalentes s’il existe un morphisme ϕ:E→E0qui fait commuter les diagrammes. On
note ∼cette relation d’´equivalence.
Remarque. Noter que si Aest un groupe ab´elien et si Eet E0sont deux extensions de Gpar
A´equivalentes alors la structure de G-module induite sur Apar Eest la mˆeme que celle induite
par E0.
Th´eor`eme 2.13. L’ensemble E(G, A)/∼est en bijection avec H2(G, A).
3 Cohomologie de Hochschild
Soit kun anneau commutatif et Aune k-alg`ebre. On ´etend la notion de R−S-bimodules, o`u
R, S sont des anneaux `a la notion de A−B-bimodules o`u Aet Bsont des k-alg`ebres. Plus
pr´ecis´ement un A−B-bimodule est un k-module Mmuni d’op´erations λ:A⊗kM→Met
ρ:M⊗kA→Mcompatibles avec la multiplication de Aet l’unit´e de A. Par abus de langage
on dira que Mest un A-bimodule si Mest un A−A-bimodule.
D´efinition 3.1. Soit Aune k-alg`ebre et Mun A-bimodule. L’homologie de Hochschild de A`a
coefficients dans Mest Hn(A;M) = TorA−bimod
n(A, M). La cohomologie de Hochschild de A`a
coefficients dans Mest Hn(A;M) = Extn
A−bimod(A, M ).
De la mˆeme mani`ere que pour la cohomologie des groupes, on construit un A-bimodule
simplicial donn´e par
B0
n(A) = A⊗kA⊗kn⊗kA
di(a0, . . . , an+1) = a0⊗. . . ai·ai+1 ⊗. . . ⊗an+1,0≤i≤n
sj(a0, . . . , an+1) = a0⊗. . . ai⊗1A⊗ai+1 ⊗. . . ⊗an+1,0≤i≤n
muni d’une augmentation donn´ee par la multiplication:
:B0(A) = A⊗kA→A
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Th´eor`eme 3.2. Le complexe augment´e ˜ B0(A)est contractile. Si Aest un k-module libre alors
˜
B0(A)est une r´esolution libre de Adans la cat´egorie des A-bimodules.
Ainsi dans le cas o`u Aest un k-module libre, on peut donner une description explicite d’un
complexe CHn(A, M ) qui calcule la cohomologie de A`a coefficients dans M. On a
CHn(A, M ) = HomA−bimod(B0
n(A), M) = Homk−mod(A⊗n, M )
muni de la diff´erentielle
(δf)(a1⊗. . . ⊗an+1) = a1·f(a2⊗. . . ⊗an+1)+
n
X
i=1
(−1)if(a1⊗. . . ⊗ai·ai+1 ⊗. . . ⊗an+1)+(−1)n+1f(a1⊗. . . ⊗an)·an+1.
Proposition 3.3.
H0(A, M) = MA={m∈M|∀a∈A, a ·m=m·a}
H0(A, A) = Z(A)
4 La m´ethode des mod`eles acycliques
Soit Cune cat´egorie. Un ensemble d’objets Mde Cest appel´e mod`ele. Soit G:C → RMod
un foncteur. La cat´egorie RMod peut ˆetre remplac´ee par la cat´egorie RModSpour R,Sdes
anneaux ou des k-alg`ebres.
D´efinition 4.1. On dit que Gest libre relativement au mod`ele Msi pour tout M∈ M il existe
BM⊂G(M)tel que G(X)est un R-module libre de base {G(f)(b)}b∈BM,f :M→X. Autrement
dit, le morphisme de R-modules
L
M∈M
R[BM×Hom(M, X)] →G(X)
(b, f)7→ G(f)(b)
est un isomorphisme.
On dit qu’un foncteur G:C → Ch(RMod) est libre relativement au mod`ele Msi pour tout
j∈Z, le foncteur Gj:C → RMod est libre par rapport au mod`ele M.
Lemme 4.2. Soit G:C → RMod un foncteur libre relativement au mod`ele Met H:C → RMod
un foncteur. L’application
Nat(G, H)→QM∈M H(M)BM
τ7→ τM|BM
est une bijection.
Corollaire 4.3. Soit G:C → RMod un foncteur libre relativement au mod`ele M. Tout
diagramme
G
τ
HΦ
//H0
de transformations naturelles entre foncteurs satisfaisant ∀M∈ M,ΦMest surjective admet un
rel`evement τ0:G→H, `a savoir Φ◦τ0=τ.
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