Algèbre homologique - IMJ-PRG

TD n◦1 : Algèbre homologique Faisceaux Pervers – M2 Mathématiques Fondamentales
Dans cette feuille, Adésignera une catégorie abélienne et Tune catégorie
triangulée.
Suites exactes
Exercice 1. (Lemme du serpent) Montrer que le morphisme de suites
exactes de Asuivant :
A//
u
B//
v
C//
w
0
0//A′//B′//C′
induit une suite exacte
ker u→ker v→ker w→coker u→coker v→coker w.
Exercice 2. (Lemme des cinq) On considère le diagramme suivant, où les
lignes sont des suites exactes dans A:
A//
B//
∼
C//
f
D//
∼
E_
A′//B′//C′//D′//E′
Montrer que fest un isomorphisme.
Objets injectifs
Exercice 3. Soit Iun objet de A. Montrer qu’il y a équivalence entre
•le foncteur HomA(−,I)est exact
•toute suite exacte courte
0→I→X→Y→0
est scindée.
On dit que Iest injectif.
Exercice 4. Soit I∈C+(A)un complexe d’objets injectifs, borné à
gauche. Montrer que si Iest acyclique, alors Iest homotope à zéro. Est-ce
que cela reste vrai si In’est pas borné ?
Exercice 5. Soit X∈C+(A). Une résolution injective de Xest un quasi-
isomorphisme s:X→I. Montrer que si t:X→Jest une autre résolution
injective alors I≃Jdans K(A).
Catégorie homotopique
Exercice 6. Soient M,N,Pdes objets de A. Caractérisez les complexes
0→Mf →M→0(1)
homotopes à zéro. Même question avec
0→Mf →Ng →P→0.
Plus généralement, montrer qu’un complexe homotope à 0est somme di-
recte de décalés de complexes de la forme (1) avec fun isomorphisme.
Exercice 7. Soit I∈C+(A)un complexe d’objets injectifs.
(i) Si X∈C(A)est acyclique, montrer que tout morphisme de complexes
f:X→Iest homotope à zéro.
(ii) Si Y∈C(A), montrer que tout quasi-isomorphisme I−→ Yest
scindé dans K(A).
En déduire que si Aa assez d’objets injectifs, alors le foncteur naturel
K+(inj A)→D+(A)est une équivalence de catégories.
Exercice 8. Montrer que Hn(Hom•
A(X,Y)) ≃HomK(A)(X,Y[n]).
Université Paris Diderot

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Catégories triangulées
Exercice 9. Montrer que pour tout objet Xde T, les foncteurs
HomT(X,−)et HomT(−,X)(à valeurs dans la catégorie des groupes abé-
liens) sont cohomologiques.
Exercice 10. Soit Xf →Yg →Zh un triangle distingué de T. Montrer que
le triangle est scindé (i.e. isomorphe à X→X⊕Z→Z0 )dans les cas
suivants :
(i) h= 0
(ii) fse rétracte, c’est-à-dire qu’il existe k:Y→Xtelle que kf = idX.
Exercice 11. Soit Xf →Y→Z un triangle distingué de T. Montrer que
fest un isomorphisme si et seulement si Z≃0.
Exercice 12. Soit f:X→Yun morphisme dans T. Montrer que si f
est un monomorphisme, alors il existe Z∈ T tel que Y≃X⊕Z, et que
via cet isomorphisme, fest l’inclusion canonique.
Exercice 13. Soit Cune sous-catégorie épaisse de T. Soit X∈ T tel que
HomT(C,X) = 0. Montrer que pour tout Ydans T, le foncteur quotient
T → T /Cinduit un isomorphisme
HomT(Y,X)≃HomT/C(Y,X).
Adjonction
Exercice 14. Soient F:X → Y et G:Y → X deux foncteurs entre les
catégories Xet Y. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
•pour X∈ X et Y∈ Y, on a un isomorphisme
HomY(F(X), Y)≃HomX(X,G(Y))
naturel en Xet en Y.
•il existe des transformations naturelles ǫ:F G →1(counité) et η:
1→G F (unité) telle que les compositions
FFη −→ F G F ǫF −→ F
GηG −→ G F G Gǫ −→ G
soient les transformations identité.
Dans ce cas on dit que (F,G)forment une paire adjointe.
Exercice 15. Soit (F,G)une paire adjointe de foncteurs. Montrer que
F G →1(resp. 1→G F ) est un isomorphisme si est seulement si G(resp.
F) est pleinement fidèle.
Exercice 16. Soient (F,G)une paire adjointe de foncteurs entre catégories
abéliennes. Montrer que G(resp. F) est exact à gauche (resp. à droite).
Exercice 17. Soient (F,G)une paire adjointe de foncteurs entre catégories
triangulées. Montrer que Fest exact si et seulement si Gl’est.
Troncation
Exercice 18. Pour un complexe X∈C(A), on définit les opération de
truncation suivantes :
τ≥n(X) = ··· //0//0//coker dn−1//Xn+1 //Xn+2 //···
eτ≥n(X) = ··· //0//im dn−1//Xn//Xn+1 //Xn+2 //···
τ≤n(X) = ··· //Xn−2//Xn−1//ker dn//0//0//···
eτ≤n(X) = ··· //Xn−2//Xn−1//Xn//im dn//0//···
Université Paris Diderot

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(i) Montrer que la cohomologie des complexes tronqués est donnée par
Hk(τ≥n(X)) = Hk(eτ≥n(X)) = 0si k<n
Hk(X)si k≥n
Hk(τ≤n(X)) = Hk(eτ≤n(X)) = 0si k>n
Hk(X)si k≤n
(ii) Montrer que les flèches naturelles eτ≥n(X)→τ≥n(X)et τ≤n(X)→
eτ≤n(X)sont des quasi-isomorphismes.
(iii) Montrer que l’on a des suites exactes dans A
0→eτ<n(X)→τ≤n(X)→Hn(X)[−n]→0
0→τ≤n(X)→X→eτ>n(X)→0
En déduire les triangles distingués associés dans D(A).
Exercice 19. Soit D≥0(A)la sous-catégorie pleine de D(A)formé des
complexes Xtels que Hi(X) = 0 pour i<0. On note ι≥0:D≥0(A)→
D(A)le plongement naturel. Montrer que (τ≥0,ι≥0)est une paire adjointe.
Exercice 20. Soit X∈C(A)tel que Hi(X) = 0 pour i<aet i>b, avec
a<bfixés. Montrer que Xest quasi-isomorphe à un complexe concentré
en degrés a,a+ 1, ...,b.
Catégories dérivées
Exercice 21. Montrer que D(A)est abélienne si est seulement si Aest
semisimple.
Exercice 22. Montrer qu’un morphisme de complexe s:X−→ Yest un
quasi-isomorphisme si et seulement si son cone est acyclique.
Exercice 23. Pourquoi le foncteur HomZ(−,Z)ne donne pas une notion
de dualité satisfaisante sur la catégorie Z-mod des Z-modules de type fini ?
Montrer que D=RHom•
Z(,Z)est une auto-équivalence de Db(Z-mod)et
calculer D(Z/nZ).
Pour les exercices suivants on supposera que Aa assez d’objets injectifs.
Exercice 24. Montrer que pour X∈D(A)et Y∈D+(A)on a
Hn(RHom•
A(X,Y)) ≃HomD(A)(X,Y[n]).
En déduire que pour A,B∈ A, on a
HomD(A)(A,B[n]) ≃Extn
A(A,B).
Exercice 25. Montrer que la suite exacte courte dans A
0→A→B→C→0
est scindée si et seulement si Ext1
A(C,A) = 0.
Exercice 26. On suppose que Exti
A(A,B) = 0 pour tout i>1et tous
A,B∈ A. Montrer que pour X∈Cb(A), on a
X≃MHi(X)[−i]
dans Db(A). L’isomorphisme est-il canonique ?
Université Paris Diderot