Transparents

Sur les K-th´eories de Morava
des 2-groupes ab´eliens ´el´ementaires
NGUYEN L.C. Quyet
Universit´e d’Angers
Amiens 2016
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Introduction Construction naturelle de K2La bi-filtration de K2Relation avec H∗K(2)∗
Th´eorie de cohomologie g´en´eralis´ee
IRappel : Une th´eorie de cohomologie g´en´eralis´ee
= une famille des foncteurs contravariants {Hn:CW 2→ Ab}
+ une famille des connectants {δn}
qui satisfont les axiomes : Homotopie, Exactitude, Excison.
Notation : Le groupe de coefficients H∗:= H∗(pt).
IThm (Milnor) :
Soit ψ:H→Kune op´eration de cohomologie stable.
Si H,Ksatisfont l’axiome d’additivit´e et H∗=K∗,
alors ψest un iso.
IEx :
K(0) = HQ`a coefficients rationnels Q
K(1) = KU/pla K-th´eorie complexe mod. pFp[ν+
−1
1], |ν1|=−2
K(n)la n-i`eme K-th´eorie de Morava Fp[ν+
−1
n],|νn|= 2 −2pn
K(∞) = HFpla cohomologie sing. mod. pFp

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Introduction Construction naturelle de K2La bi-filtration de K2Relation avec H∗K(2)∗
Loi de groupe formel
IDef : Une th´eorie de cohomologie multiplicative Hest dite
complexe orient´ee si ∃x∈H2(CP∞) : H∗(CP∞) = H∗[[x]].
IH∗(CP∞×CP∞)∼
=H∗[[x1,x2]].
IConsid´erons le morphisme
µ∗:H∗(CP∞)−→ H∗(CP∞×CP∞)
x7−→ FH(x1,x2)
FHsatisfait les axiomes :
•Associativit´e : FH(FH(x,y),z) = FH(x,FH(y,z)),
•´ El´ement neutre : FH(x,0) = FH(0,x) = x,
•Commutativit´e : FH(x,y) = FH(y,x).
FHest la loi de groupe formel associ´ee `a la th´eorie H.
IEx :
•FHFp=x+y.
•FKU =x+y+ν1xy.
•FK(n)=Fn: la loi de Honda de hauteur n.

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Introduction Construction naturelle de K2La bi-filtration de K2Relation avec H∗K(2)∗
P´eriodicit´e et Probl`eme
K(n) : La n-i`eme K-th´eorie de Morava modulo p.
•L’anneau de coefficients : K(n)∗=Fp[ν+
−1
n], |νn|= 2 −2pn.
•La loi de groupe formel : Fn∈K(n)∗[[x,y]].
•(2pn−2)-p´eriodique :
K(n)k(X)∼
=K(n)k+2pn−2(X) =: K(n)k(X).
⇒K(n)∗(X)est Z/(2pn−2)-gradu´e, K(n)∗=Fp.
Objectif
Le foncteur covariant (pour le cas p= 2)
Kn:V7→ K(n)∗(BV ]),
o`u Vest un 2-groupe ab´elien ´el´ementaire, i.e. un F2-espace
vectoriel de dimension finie.

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Introduction Construction naturelle de K2La bi-filtration de K2Relation avec H∗K(2)∗
Motivation
IPour tout groupe fini G, (Atiyah-Segal)
RC(G)∧
I(G)
'//KU∗(BG )
RC(G) : l’anneau des repr´esentations complexes.
Cor : F2[V]'//K(1)∗(BV ]),|V|= 2.
IK(n)∗(BZ/2) ∼
=F2[x]/(x2n) vient de la fibration
S1→BZ/2→CP∞. La formule de K¨unneth (dim V=d) :
K(n)∗(BV ])∼
=F2[x1,...,xd]/(x2n
1,...,x2n
d).
Plan :
1´
Etudier K2en tant qu’un objet de la cat´egorie F.
- Construction naturelle de K2.
- La bi-filtration de K2.
2´
Etudier le module instable correspondant au foncteur K2par
l’´equivalance de cat´egories U/Nil f −−→ Fω.