Limites

Université des Sciences et Technologies de Lille
Master 2, “Mathématiques pures” (2004-05)
Catégories modèles et algèbre homologique
Problèmes, Feuille 3
§4. Limites et colimites : résultats généraux
1. Problème : carrés cartésiens et cocartésiens
On se donne un diagramme commutatif
A
/Z
/Y
X
(I)
/B
(II)
/C
tel que les carrés (I) et (II) sont cartésiens. Prouver que le carré composé
X
/Z
A
/C
est également cartésien. On énoncera un résultat dual pour les carrés cocartésiens.
2. Problème : construction des colimites
Soit C une catégorie. On montre que si tout les produitsQ
et tout les égaliseurs existent dans
C, alors toutes les limites existent dans C. On notera prα : α Xα → Xα la projection sur la
composante d’index α d’un produit.
OnQse donne un foncteur F : I → C défini sur une petite catégorie I. On forme
Q le produit
X 0 = i F (i), indexé par l’ensemble de tout les objets de I, et le produit X 1 = u:i → j F (i),
indexé par l’ensemble de tout les morphismes de I. On considère les applications
X0
d0
d1
// X 1
telles que pru ◦d0 = pri et pru ◦d1 = F (u) ◦ pri . Prouver que l’égaliseur ker(d0 , d1 ) ∈ Ob(C) réalise
la limite de F dans la catégorie C.
Expliciter une construction duale pour les colimites.
3. Problème : morphismes entre limites et colimites
3.1) Soit I une petite catégorie. Soient F, G : I → C des foncteurs reliés par une transformation
naturelle φ : F → G. On suppose que F et G ont une limite dans C. Montrer que φ : F → G induit
un morphisme limI φ : limI F → limI G qui est caractérisé par certaines propriétés. Dualement,
si F et G ont une colimite dans C, alors on a un morphisme colimI φ : colimI F → colimI G induit
par φ : F → G.
3.2) Soit U : J → I un foncteur entre petites catégories. Soit F : I → C un foncteur possédant
une limite dans C. On suppose que le foncteur composé F ◦ U : J → C possède également une
limite dans C. Montrer que l’on a un morphisme φ : limI F → limJ F ◦ U . Observer sur des
exemples que ce morphisme n’est pas un isomorphisme en général.
BF, Courriel: [email protected]
1
3.3) On dit que J est finale dans I si pour tout objet i ∈ Ob(I) on peut trouver un objet
j ∈ Ob(J ) avec un morphisme u : U (j) → i et si pour toute paire de morphismes u1 : U (j1 ) → i
et u2 : U (j2 ) → i dans I on peut trouver un objet j ∈ Ob(J ) avec des morphismes v1 : j → j1 et
u2 : j → j2 dans J , tels que le diagramme
/ U (j2 )
U (j)
U (j1 ) o
HH
v
HH
v
v
HH
vvu2
v
u1 HH
HH vvv
# {v
i
v1
v2
commute. Prouver que le morphisme naturel φ : limI F → limJ F ◦ U est un isomorphisme quand
J est finale dans I.
On énoncera des assertions duales pour les colimites.
4. Problème : commutation des limites et des colimites
Le produit cartésien de deux petites catégories I et J est la catégorie I ×J dont les objets sont
les couples d’objets (i, j) ∈ Ob(I) × Ob(J ) est dont les morphismes sont les couples de morphismes
(f, g) ∈ HomI (i, i0 ) × HomJ (j, j 0 ).
Soit F : I × J → C un foncteur. On fixe un objet i ∈ Ob(I). On observera que l’on a un
foncteur F (i, −) : J → C qui applique j ∈ Ob(J ) sur F (i, j) ∈ Ob(C). Symétriquement, si on fixe
j ∈ Ob(J ), alors on a un foncteur F (−, j) : I → C qui applique i ∈ Ob(I) sur F (i, j) ∈ Ob(C).
On suppose que toute les colimites et les limites considérées dans la suite du problème existent.
4.1) Construire des isomorphismes
lim lim F ' lim F ' lim lim F.
I
J
I×J
J
I
Dualement, on a des isomorphismes
colim colim F ' colim F ' colim colim F.
I
J
I×J
J
I
4.2) Construire un morphisme
colim lim F → lim colim F
I
J
J
I
et prouver que ce morphisme n’est pas un isomorphisme en général. On pourra considérer par
exemple un diagramme commutatif d’applications linéaires
0
M11
g1
f1
g0
0
M10
On pourra également comparer les ensembles
// M
0
f0
`
01
0
// M00 .
m∈N
Q
n∈N
Xmn et
Q
m∈N
`
n∈N
Xmn .
§5. Exemples de limites et de colimites
5. Problème : colimites dans la catégorie des monoı̈des
On travaille dans la catégorie M des monoı̈des. On rappelle qu’un monoı̈de est un ensemble
M muni d’un produit associatif · : M × M → M et d’un élément neutre 1 ∈ M . Un morphisme
de monoı̈des est une application f : M → M 0 qui préserve les produits et les éléments neutres.
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5.1) On affirme que tout foncteur sur une petite catégorie F : I → M possède une colimite dans
M. On demande de prouver ce résultat. On prouvera l’existence des coproduits et des coégaliseurs
en en donnant une réalisation explicite. On concluera en utilisant le résultat de l’exercice 2.
5.2) On note G la catégorie des groupes. On a un foncteur d’oubli U : G → M. Soit F : I → G
un foncteur. Prouver que la colimite dans la catégorie des monoı̈des du foncteur composé U ◦ F :
I → M possède une structure de groupe et représente la colimite de F : I → G dans la catégorie
des groupes.
6. Problème : coproduits dans les catégories d’algèbres
6.1) On fixe un anneau de base K. On prendra tout les produits tensoriels sur K. Soient A et B
des algèbres associatives. Montrer que le produit tensoriel A ⊗ B possède une structure d’algèbre
naturelle.
6.2) On suppose que A et B sont des K-algèbres commutatives. Montrer que A ⊗ B représente le
coproduit de A et B dans la catégorie des algèbres associatives et commutatives.
6.3) Observer que le produit tensoriel A ⊗ B ne représente pas le coproduit de A et B dans la
catégorie des algèbres associatives. Donner une réalisation explicite de ce coproduit en s’inspirant
de la construction du coproduit dans la catégorie des monoı̈des et en utilisant le produit tensoriel.
7. Problème : colimites sequentielles et modules de fractions
On fixe un anneau de base R. On travaille dans la catégorie des R-modules C = R Mod.
7.1) On considère le système multiplicatif S = {un , n ∈ N} associé à un élément u ∈ R. Soit M
un R-module. Prouver que la colimite séquentielle
u
u
u
u
colim(M −−→M −−→ · · · −−→M −−→ · · ·)
s’identifie au module de fractions M [u−1 ]
7.2) Prouver en adaptant les arguments de la question précédente que la colimite séquentielle
1
2
n
n+1
colim(Z −−→Z −−→ · · · −−→Z −−→ · · ·)
s’identifie au Z-module Q des nombres rationnels.
7.3) Plus généralement, on se donne un système multiplicatif S. On considère la catégorie S dont
les objets sont les éléments s ∈ S et telle que
HomS (s, t) = {u ∈ S tels que t = us}.
Le produit de composition de S est induit par la multiplication dans R. Soit M un R-module. On
considère le foncteur F : S → R Mod qui applique tout objet s ∈ Ob(S) sur le module F (s) = M ,
et un morphisme u ∈ HomS (s, t) correspondant à un élément u ∈ S sur l’application linéaire
F (u) : M → M définie par la multiplication par u ∈ S. Prouver que la colimite de ce foncteur
s’identifie au module de fractions M [S −1 ]
§6. Objets projectifs
8. Problème : foncteurs représentables et limites
8.1) On se donne un foncteur F : C → D. On suppose que toutes les limites, respectivement toutes
les colimites, existent dans D. Soit G : I → C un foncteur qui possède une limite, respectivement
une colimite, dans C. Construire un morphisme naturel F (limI G(i)) → limI F (G(i)), respectivement colimI F (G(i)) → F (colimI G(i)). On dit que F préserve les limites, respectivement les
colimites, si ce morphisme est une bijection pour tout G : I → C.
8.2) On considère le foncteur représentable FA : C → Ens associé à un objet A ∈ Ob C fixé. On
rappelle que par définition on a FA (X) = HomC (A, X). Prouver que FA préserve toutes les limites.
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8.3) Montrer que FA ne préserve pas les coproduits en général.
8.4) Montrer que FA ne préserve pas les coégaliseurs en général.
9. Problème : objets projectifs
On dit qu’un objet A est projectif si l’application naturelle
Coker(FA (d0 ), FA (d1 )) → FA (Coker(d0 , d1 ))
est bijective pour toute paire parallèle de morphismes d0 , d1 : X1 → X0 .
9.1) On dit qu’un objet A0 est rétract de A si on a des morphismes i : A → A0 et r : A0 → A tel
que ri = IdA0 . Montrer qu’un rétract d’objet projectif est encore projectif.
9.2) On fixe un anneau R. On travaille dans la catégorie des R-modules. Montrer que M est
projectif si et seulement si M est rétract d’un R-module libre. On utilisera que tout R-module M
peut s’ecrire comme le coégaliseur de morphismes d0 , d1 : L1 → L0 avec L1 et L0 libres.
9.3) On travaille dans la catégorie des R-algèbres commutatives. Montrer que A est projectif si
et seulement si A est rétract d’une algèbre de polynômes. On utilisera que toute R-algèbre A
peut s’ecrire comme le coégaliseur de morphismes d0 , d1 : P1 → P0 avec P1 et P0 des algèbres de
polynômes.
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