Limites

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille
Master 2, “Math´ematiques pures” (2004-05)
Cat´egories mod`eles et alg`ebre homologique
Probl`emes, Feuille 3
§4. Limites et colimites : r´esultats g´en´eraux
1. Probl`eme : carr´es cart´esiens et cocart´esiens
On se donne un diagramme commutatif
X//
(I)
Y//
(II)
Z
A//B//C
tel que les carr´es (I) et (II) sont cart´esiens. Prouver que le carr´e compos´e
X// Z
A//C
est ´egalement cart´esien. On ´enoncera un r´esultat dual pour les carr´es cocart´esiens.
2. Probl`eme : construction des colimites
Soit Cune cat´egorie. On montre que si tout les produits et tout les ´egaliseurs existent dans
C, alors toutes les limites existent dans C. On notera prα:QαXα→Xαla projection sur la
composante d’index αd’un produit.
On se donne un foncteur F:I → C d´efini sur une petite cat´egorie I. On forme le produit
X0=QiF(i), index´e par l’ensemble de tout les objets de I, et le produit X1=Qu:i→jF(i),
index´e par l’ensemble de tout les morphismes de I. On consid`ere les applications
X0d0
//
d1
//X1
telles que pru◦d0=priet pru◦d1=F(u)◦pri. Prouver que l’´egaliseur ker(d0, d1)∈Ob(C) r´ealise
la limite de Fdans la cat´egorie C.
Expliciter une construction duale pour les colimites.
3. Probl`eme : morphismes entre limites et colimites
3.1) Soit Iune petite cat´egorie. Soient F, G :I → C des foncteurs reli´es par une transformation
naturelle φ:F→G. On suppose que Fet Gont une limite dans C. Montrer que φ:F→Ginduit
un morphisme limIφ: limIF→limIGqui est caract´eris´e par certaines propri´et´es. Dualement,
si Fet Gont une colimite dans C, alors on a un morphisme colimIφ: colimIF→colimIGinduit
par φ:F→G.
3.2) Soit U:J → I un foncteur entre petites cat´egories. Soit F:I → C un foncteur poss´edant
une limite dans C. On suppose que le foncteur compos´e F◦U:J → C poss`ede ´egalement une
limite dans C. Montrer que l’on a un morphisme φ: limIF→limJF◦U. Observer sur des
exemples que ce morphisme n’est pas un isomorphisme en g´en´eral.
BF, Courriel: [email protected]
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3.3) On dit que Jest finale dans Isi pour tout objet i∈Ob(I) on peut trouver un objet
j∈Ob(J) avec un morphisme u:U(j)→iet si pour toute paire de morphismes u1:U(j1)→i
et u2:U(j2)→idans Ion peut trouver un objet j∈Ob(J) avec des morphismes v1:j→j1et
u2:j→j2dans J, tels que le diagramme
U(j1)
u1
##
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
U(j)
v1
oov2//U(j2)
u2
{{v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
i
commute. Prouver que le morphisme naturel φ: limIF→limJF◦Uest un isomorphisme quand
Jest finale dans I.
On ´enoncera des assertions duales pour les colimites.
4. Probl`eme : commutation des limites et des colimites
Le produit cart´esien de deux petites cat´egories Iet Jest la cat´egorie I×J dont les objets sont
les couples d’objets (i, j)∈Ob(I)×Ob(J) est dont les morphismes sont les couples de morphismes
(f, g)∈HomI(i, i0)×HomJ(j, j0).
Soit F:I × J → C un foncteur. On fixe un objet i∈Ob(I). On observera que l’on a un
foncteur F(i, −) : J → C qui applique j∈Ob(J) sur F(i, j)∈Ob(C). Sym´etriquement, si on fixe
j∈Ob(J), alors on a un foncteur F(−, j) : I → C qui applique i∈Ob(I) sur F(i, j)∈Ob(C).
On suppose que toute les colimites et les limites consid´er´ees dans la suite du probl`eme existent.
4.1) Construire des isomorphismes
lim
Ilim JF'lim I×J F'lim Jlim IF.
Dualement, on a des isomorphismes
colim
Icolim JF'colim I×J F'colim Jcolim IF.
4.2) Construire un morphisme
colim
Ilim JF→lim Jcolim IF
et prouver que ce morphisme n’est pas un isomorphisme en g´en´eral. On pourra consid´erer par
exemple un diagramme commutatif d’applications lin´eaires
M11
0//
f1
//
0
g1
M01
0
g0
M10
0//
f0
//M00.
On pourra ´egalement comparer les ensembles `m∈NQn∈NXmn et Qm∈N`n∈NXmn.
§5. Exemples de limites et de colimites
5. Probl`eme : colimites dans la cat´egorie des mono¨ıdes
On travaille dans la cat´egorie Mdes mono¨ıdes. On rappelle qu’un mono¨ıde est un ensemble
Mmuni d’un produit associatif ·:M×M→Met d’un ´el´ement neutre 1 ∈M. Un morphisme
de mono¨ıdes est une application f:M→M0qui pr´eserve les produits et les ´el´ements neutres.
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5.1) On affirme que tout foncteur sur une petite cat´egorie F:I → M poss`ede une colimite dans
M. On demande de prouver ce r´esultat. On prouvera l’existence des coproduits et des co´egaliseurs
en en donnant une r´ealisation explicite. On concluera en utilisant le r´esultat de l’exercice 2.
5.2) On note Gla cat´egorie des groupes. On a un foncteur d’oubli U:G → M. Soit F:I → G
un foncteur. Prouver que la colimite dans la cat´egorie des mono¨ıdes du foncteur compos´e U◦F:
I → M poss`ede une structure de groupe et repr´esente la colimite de F:I → G dans la cat´egorie
des groupes.
6. Probl`eme : coproduits dans les cat´egories d’alg`ebres
6.1) On fixe un anneau de base K. On prendra tout les produits tensoriels sur K. Soient Aet B
des alg`ebres associatives. Montrer que le produit tensoriel A⊗Bposs`ede une structure d’alg`ebre
naturelle.
6.2) On suppose que Aet Bsont des K-alg`ebres commutatives. Montrer que A⊗Brepr´esente le
coproduit de Aet Bdans la cat´egorie des alg`ebres associatives et commutatives.
6.3) Observer que le produit tensoriel A⊗Bne repr´esente pas le coproduit de Aet Bdans la
cat´egorie des alg`ebres associatives. Donner une r´ealisation explicite de ce coproduit en s’inspirant
de la construction du coproduit dans la cat´egorie des mono¨ıdes et en utilisant le produit tensoriel.
7. Probl`eme : colimites sequentielles et modules de fractions
On fixe un anneau de base R. On travaille dans la cat´egorie des R-modules C=RMod.
7.1) On consid`ere le syst`eme multiplicatif S={un, n ∈N}associ´e `a un ´el´ement u∈R. Soit M
un R-module. Prouver que la colimite s´equentielle
colim(Mu −−→Mu −−→ · · · u −−→Mu −−→ · · ·)
s’identifie au module de fractions M[u−1]
7.2) Prouver en adaptant les arguments de la question pr´ec´edente que la colimite s´equentielle
colim(Z1 −−→Z2 −−→ · · · n −−→Zn+1 −−→ · · ·)
s’identifie au Z-module Qdes nombres rationnels.
7.3) Plus g´en´eralement, on se donne un syst`eme multiplicatif S. On consid`ere la cat´egorie Sdont
les objets sont les ´el´ements s∈Set telle que
HomS(s, t) = {u∈Stels que t=us}.
Le produit de composition de Sest induit par la multiplication dans R. Soit Mun R-module. On
consid`ere le foncteur F:S → RMod qui applique tout objet s∈Ob(S) sur le module F(s) = M,
et un morphisme u∈HomS(s, t) correspondant `a un ´el´ement u∈Ssur l’application lin´eaire
F(u) : M→Md´efinie par la multiplication par u∈S. Prouver que la colimite de ce foncteur
s’identifie au module de fractions M[S−1]
§6. Objets projectifs
8. Probl`eme : foncteurs repr´esentables et limites
8.1) On se donne un foncteur F:C → D. On suppose que toutes les limites, respectivement toutes
les colimites, existent dans D. Soit G:I → C un foncteur qui poss`ede une limite, respectivement
une colimite, dans C. Construire un morphisme naturel F(limIG(i)) →limIF(G(i)), respective-
ment colimIF(G(i)) →F(colimIG(i)). On dit que Fpr´eserve les limites, respectivement les
colimites, si ce morphisme est une bijection pour tout G:I → C.
8.2) On consid`ere le foncteur repr´esentable FA:C → Ens associ´e `a un objet A∈Ob C fix´e. On
rappelle que par d´efinition on a FA(X) = HomC(A, X). Prouver que FApr´eserve toutes les limites.
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8.3) Montrer que FAne pr´eserve pas les coproduits en g´en´eral.
8.4) Montrer que FAne pr´eserve pas les co´egaliseurs en g´en´eral.
9. Probl`eme : objets projectifs
On dit qu’un objet Aest projectif si l’application naturelle
Coker(FA(d0), FA(d1)) →FA(Coker(d0, d1))
est bijective pour toute paire parall`ele de morphismes d0, d1:X1→X0.
9.1) On dit qu’un objet A0est r´etract de Asi on a des morphismes i:A→A0et r:A0→Atel
que ri =IdA0. Montrer qu’un r´etract d’objet projectif est encore projectif.
9.2) On fixe un anneau R. On travaille dans la cat´egorie des R-modules. Montrer que Mest
projectif si et seulement si Mest r´etract d’un R-module libre. On utilisera que tout R-module M
peut s’ecrire comme le co´egaliseur de morphismes d0, d1:L1→L0avec L1et L0libres.
9.3) On travaille dans la cat´egorie des R-alg`ebres commutatives. Montrer que Aest projectif si
et seulement si Aest r´etract d’une alg`ebre de polynˆomes. On utilisera que toute R-alg`ebre A
peut s’ecrire comme le co´egaliseur de morphismes d0, d1:P1→P0avec P1et P0des alg`ebres de
polynˆomes.
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