UPMC - Cours de M2 Alg`ebre homologique et cohomologie des

UPMC - Cours de M2 Alg`ebre homologique et
cohomologie des faisceaux
Examen du 16 d´ecembre 2015
3 heures. Les t´el´ephones, les calculatrices et tous les documents sont interdits.
Le soin apport´e `a la r´edaction sera un ´el´ement important de la notation.
Exercice 1
Soit Gun groupe. Un G-ensemble consiste en la donn´ee d’un ensemble X
muni d’une action `a gauche de G, c’est `a dire d’une application G×X→X
not´ee (g, x)7→ g·xtelle que, pour g, g0∈G,x∈X, on a g·(g0·x)=(gg0)·xet
e·x=x, avec el’´el´ement neutre de G. Un morphisme de G-ensembles est une
application f:X→X0entre G-ensembles telle que pour tout g∈G,x∈X,
f(g·x) = g·f(x). On note Ens la cat´egorie des (petits) ensembles, G−Ens celle
des (petits) G-ensembles et o:G− Ens → Ens le foncteur d’oubli de l’action
de G.
1. Montrer que oadmet un adjoint `a droite σ. On pourra commencer par
calculer σ({pt}).
2. Montrer que oadmet un adjoint `a gauche τ. On pourra commencer par
calculer τ({pt}).
Exercice 2
On dit qu’une cat´egorie Cest cocompl`ete si toutes les colimites index´ees par
des petites cat´egories existent dans C. Un foncteur F:C→Dentre cat´egories
cocompl`etes est dit cocontinu s’il commute aux colimites. Si Cest une cat´egorie,
on note
b
Cla cat´egorie des pr´efaisceaux sur C, autrement dit la cat´egorie des
foncteurs Cop → Ens. On fixe une petite cat´egorie C.
1. Rappeler la d´efinition du foncteur de Yoneda h:C→
b
Cet l’´enonc´e du
lemme de Yoneda. (On utilisera la notation hXpour h(X).)
2. Montrer que
b
Cest cocompl`ete.
3. Soit Fun objet de
b
C. On consid`ere la petite cat´egorie CFdont les objets
sont les paires (X, x) avec Xun objet de Cet xun ´el´ement de F(X).
Un morphisme (X, x)→(X0, x0) est un morphisme g:X→X0tel que
1

F(g)(x0) = x. On note o:CF→Cle foncteur d’oubli de x. Montrer que
Fest isomorphe `a la colimite lim
−→CF
ho((X,x)).
4. Soit Dune cat´egorie cocompl`ete. On note Fonc(C, D) la cat´egorie des
foncteurs C→Det CocFonc(
b
C, D) la sous-cat´egorie pleine de Fonc(
b
C, D)
form´ee des foncteurs cocontinus. On veut montrer que le foncteur
H: CocFonc(
b
C, D)−→ Fonc(C, D)
donn´e par composition avec hest une ´equivalence de cat´egories. Montrer
que Hest pleinement fid`ele.
5. Soit G:C→Dun foncteur. On consid`ere le foncteur G!:
b
C→Dqui
envoie un objet Fsur lim
−→CF
G(o((X, x))). Montrer que G!est adjoint `a
gauche du foncteur G∗:D→
b
Cqui `a un objet dassocie le foncteur
c7→ HomD(G(c), d).
6. Montrer que G!est cocontinu et que Gest isomorphe `a G!◦h.
7. Conclure.
Exercice 3
On note Xl’ensemble des entiers positifs muni de la topologie discr`ete et
Yun singleton vu comme espace topologique. Il existe une unique application
(continue) f:X→Y. Soit Eun ensemble, pour tout espace topologique Zon
note EZle faisceau d’ensembles associ´e au pr´efaisceau constant de valeur Zsur
X.
1. D´ecrire f−1(EY) et f∗(EX).
2. Soit F:C→Dl’adjoint `a gauche d’un foncteur G:D→C. Rappeler
la construction des morphismes de foncteurs F G →IdDet IdC→GF
associ´es.
3. D´ecrire les morphismes f−1f∗(EX)→EXet EY→f∗f−1(EY).
Exercice 4
Soit Xun espace topologique. Soit Pun pr´efaisceau d’ensembles sur X.
Pour Uun ouvert et U= (Ui)i∈Iun recouvrement ouvert de Uon note P(U)
l’ensemble des familles (si)i∈Iavec si∈P(Ui) et si|Ui∩Uj=sj|Ui∩Ujpour
tout i, j.
1. On munit l’ensemble des recouvrements ouverts de Ud’une structure
d’ensemble partiellement ordonn´e (et donc d’une structure de cat´egorie)
par U= (Ui)i∈I≤ U0= (U0
j)j∈I0si pour tout jil existe i(j) tel que
U0
j⊂Ui(j). On d´efinit un morphisme P(U)→P(U0) en envoyant (si)i∈I
sur (si(j)|U0
j)j∈I0. V´erifier qu’il est ind´ependant des choix.
2. On note L(P) le pr´efaisceau U7→ lim
−→ P(U), la colimite ´etant prise sur l’en-
semble des recouvrements ouverts de U. Calculer L(P) et LL(P) lorsque
Pest un pr´efaisceau constant.
2

3. Soit Pun pr´efaisceau d’ensembles sur X. Montrer que L(P) est s´epar´e.
4. On suppose que Pest s´epar´e. Montrer que L(P) est un faisceau.
5. On suppose que Pest un faisceau. Montrer que le morphisme canonique
P→LL(P) est un isomorphisme.
6. Soit Pun pr´efaisceau d’ensembles sur X. Montrer que LL(P) est iso-
morphe au faisceau associ´e `a P.
3