PO : valeur absolue, racine carrée, fonctions ref

Le DST garantisseur sera dès que possible à partir de la rentrée des vacances de février. Le repère est la
fiche d’auto-évaluation ci-dessous. Les vacances étant les vacances, je n’ai pas donné de travail. Mais il
m’est revenu que certains 1S m’avaient demandé de leur taper une liste d’exercices d’entrainement
Je vous mets des exercices bateau correspondant aux attendus standards du programme qui ont de plus la
propriété d’être synthétiques sans être trop difficiles.
Je rappelle que le processus garantisseur que j’offre est suffisamment « engageant pour moi » pour que je
me réserve en contre-partie, à ce DST spécifique toute liberté pour mesurer les niveaux. Mon but étant
non pas de mettre des mauvaises notes mais de me garantir à moi-même que je ne commets pas d’injustice.
Du coup, je ne veux pas spoiler trop ce DST (sinon ça biaise la mesure)
Tout sera fait pour que le sérieux garantisse une note « honorable en 1S en maths » (c’est-à-dire au dessus
de 8-9 environ, le reste évaluant « l’horrible » notion de « force en maths »)
J’ai repris le tableau de compétences QUE VOUS AVEZ DÉJÀ A L’ETAT VIERGE DANS UN BILLET
pour y glisser des exercices. J’ajouterai le produit scalaire (en 1S) plus tard et mettrai un alerte quand ce
sera fait, sur mathcommun
Les exercices sont en bordeau.
Voici la liste de compétences commandées par le programme officiel (et concernées par les cours dispensés
depuis septembre jusqu’à 114012017). ATTENTION, 1S et 1ES sont présentes dans le même fichier. Voir fin
du doc pour 1ES.
Les compétences ES sont en violet
Pour information, quelques abréviations utilisées dans ce document :
Signe(x) := ( if x>0 then 1 else if x<0 then (-1) else 0 )
PO : Second degré Forme canonique d’une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré,
discriminant. Signe du trinôme.
1/ Résoudre une équation du second degré avec calculatrice quand les coefs sont donnés
4points – 5mn
2/ Résoudre une inéquation du second degré avec calculatrice quand les coefs sont donnés
10points – 10mn
3/ Trouver les nombres (-b) / (2a); signe(b²-4ac); c; signe(a) à la vue d’un extrait suffisant de la courbe de
xax²+bx+c
5points – 20s
4/ Déduire tableau de variation de xax²+bx+c de la seule connaissance de signe(a) et (-b) / (2a)
5 points – 20s
5/ Proposer, quand c’est possible, s’en apercevoir quand ça ne l’est pas, des nombres u,v tels que pour tout x : ax² +
bx+c = a(x+u)(x+v) connaissant a,b,c
5 points 5mn
6/ Culturel, disparu des programmes : connaissant a,b,c avec a non nul et sachant que {x | ax²+bx+c}={u;v} trouver
u+v et uv en 20 secondes.
2 points – 20s
7/ Trouver en 5 secondes l’extremum de x a(x+b)²+c connaissant a,b,c
5 points – 5s
8/ Trouver en 10secondes l’extremum de x (2ax+b)² + c connaissant a,b,c
5 points – 10s
9/ Prouver en mode « classe de 4ième » que (2ax+b)² - (b²-4ac) = 4a(ax²+bx+c) et en déduire un récit avec preuves
du chapitre « second degré » de la classe de première.
20mn – 30points
10/ Trouver tableau de signes de xax²+bx+c quand b²-4ac<0 ou b²-4ac = 0 connaissant a,b,c
5 points – 30s
Exercices : l’inconnue des équations est LA LETTRE x
Résoudre [73x²-61x = 12]
Résoudre [73x²-61x > 12]
Soient a,b,c tels que 7 est solution de [ax²+abx+ac=0] et
b²=4ac et a>1. Trouver b,c
Faire le tableau de variation de xx²+x en indiquant
extremum(s)
On suppose que pour tout nombre x : ax²+abx+c = d(x-3)² 50. Trouver b
On suppose que 19 est solution de l’équation [(a²+1)x² + bx +
3(1+a²)=0]. Trouver b
Résoudre l’équation [9x3 + 10x² + 20x +19 = 0]. Indication :
(-1) est solution.
Le point A(r,s) est le point le plus proche de B(5,5) parmi tous
les points de la droite d’équation [x+y=3], ceci étant obtenu
dans un repère orthonormé. Trouver r,s.
Soient A(1,1) et B(2,2). Soit E l’ensemble des triangles dont les
sommets sont A,B et un point de la droite [y = 50x]. Trouver
dans E des triangles recordman pour l’aire (ceux qui ont la
plus grande possible. Même question avec le périmètre
PO : valeur absolue, racine carrée, fonctions ref
Exercices : l’inconnue des équations est LA LETTRE x
11/ Reconnaitre la courbe de x|x| au sein de propositions dessinées
3 points – 3s
12/ Reconnaitre la courbe de xracine carrée de x au sein de propositions dessinées
5 points – 3s
13/ Etre capable de prouver avec sincérité (sans réciter) le contenu du tableau de variation
de la fonction racine carrée
10points – 5mn
14/ Etre capable de prouver le contenu du tableau de variation de la fonction valeur
absolue
5points – 5mn
15/ Etre capable de donner en moins de 2 secondes la valeur de |toto| connaissant toto.
3 points – 2s
Résoudre [ |x+1| > |x+2| ]
Résoudre [ |x+1| < |x+2| ]
Résoudre [ |x+1| = |x+2| ]
Résoudre [ |x²+1| > |x+2| ]
Dessiner (un bon extrait de) la courbe de x|3x-5|
Résoudre [ ax² + b|x| +c = 0] sachant que
{x | x dans IR et ax²+bx+c =0 } = {70;188}
Prouver que si 0<a<b et si r(a+b)=r(a)+r(b) alors a=b (sachant que r abrège « fonction
racine carrée »)
Soit a un nombre. Prouver que cos( |a| ) = cos(a)
Prouver qu’on ne peut pas obtenir la racine carrée de 2 en divisant un nombre entier par
un autre. (Indication : le carré d’un nombre impair est impair)
On suppose que 7|a+3|+2|8a-4| = a-b-1. Prouver que a>b
PO dérivation
18/ Savoir dessiner la courbe de la dérivée d’une fonction quand la courbe de la fonction f
est donnée et que f n’est pas « trop méchante ».
10 points – 10mn
19/ Connaitre les abréviations relatives à la notion de dérivée : tangente à courbe en un
point, etc
5 points 10s
20/ Dessiner la tangente à une courbe en un point donné, la courbe étant donnée dessinée
3 points – 5s
21/ Savoir calculer la dérivée d’une fonction décrite à l’aide des 5 signes usuels quand le
tableau de règles de dérivation le permet.
10 points – 10mn
22/ Savoir déduire du tableau de signes (éventuellement partiel) de f ‘ le tableau de
variation (idem) de f. Avoir « compris » au moins graphiquement ce qui se passe (pas de
piège ici, interview bienveillante)
5 points – 10s
23/ Savoir la « réciproque affaiblie » de 22 (croissance, etc, sans le mot strict =>
positivité de…)
4 points – 10s à réécrire de manière plus explicite
24/ Passer de droites dessinées (ou suffisamment renseignées) à leurs équations et
réciproquement
10 points – 1mn
25/ Déduire de la connaissance de f ’ la tangente (via son équation) à Cf en un point
donné
Exercices
Essayer à la main de dessiner une fonction f définie sur [0,3] telle que f’ = f
On suppose que pour tout nombre x : g(x)> g’(x) >1 et
f’(x) / g’(x) > f(x) / g(x). Prouver que la fonction (f/g) est strictement croissante sur IR
On suppose que pour tout nombre x>0 : f’(x) = 1/x. Soit g la fonction xxf(x) –x, définie,
comme f, sur IR*+. Prouver que g’ = f
Faire les tableaux de variation demandés dans le livre au chapitre dérivation
Dessiner une fonction définie sur [-7,8] celle que vous voulez, du moment que la tableau
de signes de f ’ soit
x
2/3
7
f’(x)
0
+
0
-
Dessiner une fonction définie sur [-7,8] celle que vous voulez, du moment que la tableau
de variation de f ’ soit
x
f’(x)
-5
-9
Monte
-2
-1
Descend
3
-10
Monte
8
0
Monte
15
1
PO suites
26/ Trouver un terme d’une suite arithmétique ou
géométriques quand 2 autres sont donnés, contigus
quand la suite est géométrique
15 points – 1mn
27/ Trouver u(n) quand n,p sont donnés et p<n et u(p)
est donné et f est donnée et pour tout entier n :
u(n+1) = f(n,u(n))
5 points – dépend de n et de f
28/ Etre capable de redécouvrir, sans les réciter par
cœur les formules célèbres simplifiant 1+2+3+…+n
et 1+a+a²+a3 + … +an
7 points – 15mn
Combien de termes d’une suite est-il nécessaire de connaitre pour savoir si elle est
arithmétique? Géométrique?
Soit u une suite telle que pour tout entier naturel n : u(n+1) = au(n) + b. De plus a-1 est
non nul. On choisit comme nombre k, l’unique possibilité pour que b+k = ak. Prouver que
la suite v : n  (u(n) + k) est une suite géométrique. En déduire une façon rapide de
trouver u(10000) quand on connait juste u(5) et a
Soient u,v des suites qui sont toutes les deux arithmétiques. On suppose que u(1)+v(1)=9
et u(5)+v(5) = 10. Peut-on en déduire u(100)+v(100)?
Soient u,v des suites qui sont toutes les deux géométriques. On suppose que u(4)+v(4)=9 et
u(5)+v(5) = 10. Peut-on en déduire u(100)+v(100)?
Sachant que ab = 9500, peut-on en déduire qui est (a+77)(b-77)?
Combien y a-t-il de suites géométriques u telles que u(1) = 7 et u(1)+u(2)+u(3) = 8?
Combien y a-t-il de suites arithmétiques u telles que u(1) = 7 et u(1)+u(2)+u(3) = 8?
Pour les premières ES
Les items sont les même qu’en 1S sauf que certains ne sont pas au programme de votre classe. Ils sont faciles à
identifier!!! Le document est donc le même document. En 1ES, s’ajoute :
PO pourcentages (révision 5ième + mot savant CM, TE) + aptitude à traduire des histoires racontées
« concrètement » en suites ou autre
29/ Savoir traduire les énoncés journalistiques ou économiques en langage matheux
10 points – 10s
30/ Connaissant les CM de plusieurs évolutions successives, trouver celui de l’évolution globale résultant de
leur composition ainsi que leur TE
15 points – 2mn (mais dépend du nombre d’évolutions)
31/ Connaissant le CM d’une évolution, trouver celui de l’évolution réciproque ainsi que leur TE
10 points – 2mn
32/ Reconnaitre si une suite donnée par une histoire qui s’exprime en pourcentages est arithmétique,
géométrique ou ni l’un ni l’autre
5 points – 10s
33/ Etre capable de déduire une phrase du genre « pour tout n : un+1 = … un … » à partir d’une histoire qui
définit u en des termes « concrets » et quand c’est possible. (Exemple : tous les ans, le poids de Bambin double,
on note, pour chaque n, son poids au 1 er janvier de l’année 2001 + n)
15 points – 2mn (valorisation car très posée au bac)