Mouvement d’une particule dans un champ de force dérivant de l’énergie potentielle Ep = kxy. On considère le référentiel galiléen (R) muni de la base( O,i,j,k). On considère le point M de masse m , susceptible de se déplacer dans le plan xOy . On suppose que M possède l'énergie potentielle Ep = kxy , avec k constante positive . 1) Quelle est la dimension de k? Justifier la réponse. 2) Déterminer la force F qui dérive de Ep. Cette force est-elle conservative? Commenter. 3) Calculer le travail W de F lorsque M se déplace de 0 en A (1,1,0). On donne k = 5USI. Ce travail est-il moteur ou résistant ? 4a) On suppose que M ne subit pas à priori d'autre force que F, montrer que l’énergie mécanique Em est une constante. 4b) Exprimer l'énergie mécanique Em de M en fonction de x, y, x , y . La dérivation par rapport au temps de cette expression de Em donne une relation (r) que l'on précisera entre x, y, x , y , x, y . 4c) On dit que Em est une intégrale première du mouvement : expliquer ce que cela signifie . 4d) Quelles sont les zones du plan xOy qui sont interdites pour M lorsque Em<O ? 4e) On suppose que M est assujetti à se déplacer sans frottement sur la droite d'équation y=d (avec d constante positive ) M subit alors la force F et la réaction de la tige R. Montrer que la relation (r) reste valable dans ce cas , et déterminer x(t) si M est lâché sans vitesse initiale du point (x=O,y=d,z=O) . 5a) Donner l'expression du vecteur moment cinétique L de M en O. 5b) Enoncer et démontrer le théorème du moment cinétique en O. 5c) Appliquer le théorème du moment cinétique à M , et déduire une relation (r') entre x, y, x , y , x, y . 5d) On suppose que M se déplace sur la droite d'équation y=x+l, et que la résultante des forces subies par M se réduit à F. Que devient (r') dans ce cas ? Déterminer x(t) si M est lâché du point d'abscisse a avec une vitesse nulle à t=0. 6a) En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à M, en déduire le système d'équations différentielles satisfaites par x et y . 6b) On pose p=x+y et q=x-y : donner le système d'équations différentielles satisfaites par p et q et résoudre si M est lancé à t=0 du point ( x=a , y=a ) avec la vitesse ( Vo,-Vo ). 6c) En déduire x(t) et y(t) .