Champ de force d`énergie potentielle de la forme Ep = kxy

Mouvement d’une particule dans un champ de force dérivant de l’énergie potentielle Ep = kxy.
On considère le référentiel galiléen (R) muni de la base( O,i,j,k).
On considère le point M de masse m , susceptible de se déplacer dans le plan xOy .
On suppose que M possède l'énergie potentielle Ep = kxy , avec k constante positive .
1) Quelle est la dimension de k? Justifier la réponse.
2) Déterminer la force F qui dérive de Ep. Cette force est-elle conservative? Commenter.
3) Calculer le travail W de F lorsque M se déplace de 0 en A (1,1,0). On donne k = 5USI. Ce
travail est-il moteur ou résistant ?
4a) On suppose que M ne subit pas à priori d'autre force que F, montrer que l’énergie
mécanique Em est une constante.
4b) Exprimer l'énergie mécanique Em de M en fonction de x, y,
y,x 
.
La dérivation par rapport au temps de cette expression de Em donne une relation (r) que
l'on précisera entre
y,x,y,x,y,x 
.
4c) On dit que Em est une intégrale première du mouvement : expliquer ce que cela signifie .
4d) Quelles sont les zones du plan xOy qui sont interdites pour M lorsque Em<O ?
4e) On suppose que M est assujetti à se déplacer sans frottement sur la droite d'équation y=d
(avec d constante positive ) M subit alors la force F et la réaction de la tige R. Montrer que
la relation (r) reste valable dans ce cas , et déterminer x(t) si M est lâché sans vitesse
initiale du point (x=O,y=d,z=O) .
5a) Donner l'expression du vecteur moment cinétique L de M en O.
5b) Enoncer et démontrer le théorème du moment cinétique en O.
5c) Appliquer le théorème du moment cinétique à M , et déduire une relation (r') entre
y,x,y,x,y,x 
.
5d) On suppose que M se déplace sur la droite d'équation y=x+l, et que la résultante des forces
subies par M se réduit à F. Que devient (r') dans ce cas ? Déterminer x(t) si M est lâché du
point d'abscisse a avec une vitesse nulle à t=0.
6a) En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à M, en déduire le système
d'équations différentielles satisfaites par x et y .
6b) On pose p=x+y et q=x-y : donner le système d'équations différentielles satisfaites par p et q
et
résoudre si M est lancé à t=0 du point ( x=a , y=a ) avec la vitesse ( Vo,-Vo ).
6c) En déduire x(t) et y(t) .