Partiel du 10.11.10 - Université Paris

Université Paris-Dauphine Intégration & Probabilités
Département MIDO Halim Doss
DUMI2E L3 année /
Examen Partiel
Exercice 1
Soit Xi(i≥1) une suite de variables de Bernoulli, indépendantes et de même loi :
P(Xi= 1) = P(Xi=−1) = 0.5
On s’intéresse à la marche aléatoire : Zn=Pn
i=1 Xi. Plus précisément, on cherche à évaluer la probabilité :
pn=P(Zn> n a), pour : 0<a<1.
1. Donner la fonction génératrice commune des Xi, puis celle de Zn.
2. En remarquant que : pn=P(uZn> una)pour : u > 1, déduire : pn≤min
u>1ϕ(u), où :
ϕ(u)=2−nu−n a u+1
un
(Utiliser l’inégalité de Markov) puis, en étudiant ln ϕ(u), vérifier que :
1
nln pn≤ −1 2[(1 −a) ln(1 −a) + (1 + a) ln(1 + a)] <0
et en déduire la limite de pnlorsque : n→+∞.
Exercice 2
Soit Xn(n≥1) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant une même loi exponentielle E(1).
1. Calculer : P(Xn> r)pour : r > 0donné.
2. Déduire, pour tout : α > 0:P(Aα), où : Aα= lim sup
n→+∞
{Xn> α ln n}.
3. On pose : L= lim sup
n→+∞
(Xn/ln n).
a. Vérifier que Ldéfinit bien une variable aléatoire à valeurs dans R∪ {+∞}.
b. Prouver que, pour tout α > 0:P(L > α)≤P(Aα)≤P(L≥α).
c. Déduire la valeur de P(L≥α)en fonction de αpour tout α > 0. Quelle est la loi de L?
TSVP

Exercice 3
Soit fn(n≥1) une suite de fonctions continues et positives sur R, convergeant simplement sur Rvers
une fonction continue f, et : Fn(x) = Zx
0
fn(t)dt. Montrer que :
1. Si g= sup
n≥1
fnest Lebesgue intégrable sur R,Fnconverge simplement vers une fonction Fpartout
dérivable et F0=f
2. Si fn(x) = n ϕ(n x −n+ 2), où ϕ:R7→ R+est une fonction non nulle, continue sur R, et nulle en
dehors de l’intervalle [0,1],fnet Fnconvergent simplement vers des limites respectives fet F, et fest
continue mais n’est pas la dérivée de F.
Exercice 4
Soient (Ω,A, P )un espace probabilisé, et Xune variable aléatoire réelle définie sur Ω,presque surement
à valeurs dans ]0,+∞[. Pour tout réel : r > 0, on pose : Ar={ω∈Ω|X(ω)< r }.
1. Prouver que : P(Ar)→0lorsque : r↓0.
2. Déduire que, si une suite Bnd’éléments de Aest telle que : RBnX(ω)dP (ω)→0, alors : P(Bn)→0
(commencer par majorer P(Bn∩Ac
r)).
3. Prouver que la réciproque est vraie si : E(|X|)<+∞(considérer la suite Xk=X1Ak).