POLYNOME DU SECOND DEGRE 1 Fonctions polynômes 2

POLYNOME DU SECOND DEGRE
1
Fonctions polynômes
Définition 1.1 On appelle fonction polynôme de degré n toute fonction P définie sur R de la
forme :
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + ap xp + · · · + a2 x2 + a1 x + a0
•
•
•
•
a0 , a1 , . . ., an sont appelés coefficients de P
Le terme ap xp un le monôme de degré p
n = deg(P ), le degré du polynôme de P .
Si tous les coefficients sont nuls, P est dit fonction ou polynôme nul.
Exemple 1.1
1. La fonction P définie par P (x) = 7x6 − 5x4 + 3x − 11 est une fonction polynôme de degré 6
2. La fonction affine ax + b avec a = 0 est une fonction polynôme de degré 1
3. La fonction constante k avec k = 0 est une fonction polynôme de degré 0
1
4. La fonction Q définie par : Q(x) = x3 + x + n’est pas une fonction polynôme.
x
Théorème 1.1
Toute fonction polynôme, f , différente du polynôme nul, s’écrit de manière unique sous la forme :
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + ap xp + · · · + a2 x2 + a1 x + a0
avec an = 0
Exemple 1.2
La fonction f (x) = (x + 1)(x + 2) est une fonction polynôme. Elle peut s’écrire f (x) = x2 + 3x + 2.
Définition 1.2
On appelle racine d’une fonction polynôme P toute solution x0 de l’équation P (x) = 0
Exemple 1.3
√
1. Les racines de la fonction polynôme P définie sur R par : P (x) = (x − 1)(x + π)(x − 2) sont
√
1, −π et 2.
b
2. Les fonctions polynômes du 1er degré ax + b admettent toutes une seule racine x0 = − .
a
3. La fonction polynôme f (x) = x2 + 1 n’a aucune racine réelle.
2
Fonction trinôme du second degré
Définition 2.1 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P , définie sur
R, pouvant se ramener à la forme : P (x) = ax2 + bx + c où a, b et c sont des réels avec a = 0
L’expression ax2 + bx + c est appelée trinôme du second degré.
1
Exemple 2.1
1. P (x) = x2 − 7x + 12, on a : a = 1, b = −7 et c = 12.
2. P (x) = 4x2 , on a : a = 4, b = 0 et c = 0.
3. 2x + 1, 6x3 + 4x + 2 et (x − 1)2 − x2 ne sont pas du second degré.
3
Forme canonique du trinôme
On considère un trinôme ax2 + bx + c avec a = 0.
Propriété 1 Tout trinôme du second degré peut s’écrire sous la forme a (x + α)2 − β .
Exemple 3.1
Soit le trinôme : x2 − 8x + 9
Comme : x2 − 8x = x2 − 2 × 4x + 42 − 42 = (x − 4)2 − 16
On a : x2 − 8x + 9 = (x − 4)2 − 16 + 9 = (x − 4)2 − 7
Preuve :Transformation de l’écriture dans le cas général
Soit le trinôme : ax2 + bx + c, avec (a = 0)
Par factorisation de a on a : a(x2 + ab x + ac )
b 2
b2
− 4a
or x2 + ab x = x + 2a
2
b
c
b 2
b2
c
2
d’où a(x + a x + a ) = a x + 2a
− 4a
+
=
a
x+
2
a
Pour simplifier cette écriture, on pose ∆ = b2 −
4ac.
b 2
∆
2
On a donc : ax + bx + c = a x + 2a − 4a2
b 2
2a
−
b2 −4ac
4a2
Définition 3.1
• ∆ = b2 − 4ac s’appelle le discriminant du trinôme ax2 + bx + c.
• La forme P (x) = a x +
4
b 2
2a
−
∆
4a ,
s’appelle la forme canonique de P (x)
Représentation graphique et variation
Dans un repère (O;i, j), on considère Cf la courbe représentative de la fonction f : x −→ ax2 +bx+c
avec a = 0, P la parabole d’équation y = x2 et Pa la parabole d’équation y = ax2 .
Propriété 2 On obtient Cf à partir de Pa par une translation de vecteur −
b ∆
i− j
2a
4a
Théorème 4.1 La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré est une parabole.
• Elle est tournée vers le ”haut” si a > 0, tournée vers le ”bas” si a < 0.
b
• Son axe de symétrie est la droite d’équation : x = − 2a
b
∆
• Le point S − 2a ; − 4a
est son sommet.
2
Selon la valeur de a, on a donc les tableaux de variations suivants :
x
f
5
Si a > 0
b
− 2a
−∞
+∞
+∞
+∞
x
∆
− 4a
−∞
f
Si a < 0
b
− 2a
∆
− 4a
+∞
−∞
−∞
Résolution de l’équation ax2 + bx + c = 0
Résoudre ax2 + bx + c = 0 avec (a = 0) revient à résoudre l’équation : a
qui s’écrit encore :
∆
b 2
= 2
x+
2a
4a
x+
b 2
2a
−
∆
4a2
=0
Cette équation n’a de solution que lorsque ∆ est positif ou nul.
Théorème 5.1 L’équation ax2 + bx + c = 0 avec (a = 0) :
1. n’a pas de solution réelle lorsque ∆ < 0 ;
b
lorsque ∆ = 0 ;
2. a une seule solution x0 = − 2a
3. a deux solutions : x1 =
√
−b+ ∆
2a
et x2 =
√
−b− ∆
2a
lorsque ∆ > 0.
Exemple 5.1
1. 5x2 + 6x + 2 = 0 n’a pas de solution réelle car ∆ = −4.
2. x2 − 4x + 4 = 0 a une unique solution x0 = 2 car ∆ = 0 .
3. −6x2 + x + 1 a deux solutions x1 =
6
1+5
−12
= − 12 ; x2 =
1−5
−12
=
1
3
car ∆ = 25.
Somme et produit des racines
Théorème 6.1 Lorsque le trinôme ax2 + bx + c admet des racines distinctes ou confondues, leur
c
b
somme S et leur produit P sont donnés par les relations : S = − et P = .
a
a
Preuve : On distingue les deux cas.
b
, donc S = x1 + x2 = − ab . On a P = x1 × x2 =
• Racines confondues :x1 = x2 = − 2a
a
4ac
∆ = 0 ⇔ b2 = 4ac donc P = 4a
2 =
c
• Racines distinctes :√Il suffit de
√ calculer.
∆
−b− ∆
b
S = x1 + x2 = −b+
2a√ +
2a√ = − a
P = x1 × x2 =
−b+ ∆
2a
×
−b− ∆
2a
=
b2
4a2
et
c
a
Propriété 3 Deux réels ont pour somme S et pour produit P si et seulement si ils sont solutions
de l’équation : x2 − Sx + P = 0
Preuve : Il faut justifier les deux implications de l’équivalence.
• P = x1 × x2 = x21 + x1 × x2 − x21 = x1 (x1 + x2 ) − x21 = x1 S − x21 = Soit P − x1 S − x21 = 0
3
• Réciproquement, Si x1 et x2 sont solutions de x2 − Sx + P = 0, d’après le théorème précédent,
S
P
= P.
x1 + x2 = = S et x1 x2 =
1
1
7
Factorisation du trinôme P (x) = ax2 + bx + c
Théorème 7.1
Le trinôme ax2 + bx + c se factorise en produit de facteurs du premier degré de la manière suivante :
Si ∆ > 0 : ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) où x1 et x2 sont les racines du trinôme.
Si ∆ = 0 : ax2 + bx + c = a(x − x0 )2 où x0 est la racine double du trinôme.
Théorème 7.2
• Si ∆ = 0, on note x0 la racine, on obtient le tableau de signes suivant :
x
−∞
x0
+∞
2
(x − x0 )
+
0
+
2
a(x − x0 )
signe de a 0 signe de a
• Si ∆ > 0, supposons que x1 < x2 , on obtient le tableau de signes suivant :
x
x − x1
x − x2
(x − x1 )(x − x2 )
a(x − x1 )(x − x2 )
−∞
x1
0
|
0
0
−
−
+
signe de a
x2
|
0
0
0
+∞
+
+
−
+
−
+
signe de (−a)
signe de a
2
b
∆
2
• Si ∆ = 0, on utilise la forme canonique : ax + bx + c = a x +
− 2
2a
4a
Comme ∆ est négatif, lŠexpression entre crochets est positive, le signe de P (x) est donc le
même que celui de a
Théorème 7.3 Le trinôme ax2 + bx + c est toujours du signe de a sauf entre les racines lorsqu’elles
existent.
Et en particulier, lorsque ∆ < 0, le trinôme est de signe constant. (Celui de a)
Exemple 7.1
résoudre l’inéquation x2 − 4x + 1 ≥ 0.
√
√
On a ∆ = 12 > 0 , x1 = 2 − 3 et x2 = 2 + 3 .
Comme a = 1 est positif, le trinôme est toujours positif sauf entre ses racines.
√
√
Les solutions de l’inéquation sont donc les réels de l’intervalle ] − ∞; 2 − 3] ∪ [2 + 3; +∞[.
4
8
Tableau récapitulatif
f (x) admet
∆<0
∆=0
∆>0
aucune racine
une seule racine
deux racines
α=
factorisation de f (x)
−b
2a
x1 =
a(x − α)2
impossible
√
−b− ∆
2a
et x1 =
a(x − x1 )(x − x2 )
a>0
x
−b
2a
−b
2a
x
−b
2a
a<0
−b
2a
−b
2a
x
5
x1
x1
x
√
−b+ ∆
2a
x2 x
−b
2a
x2
x