POLYNOME DU SECOND DEGRE 1 Fonctions polynômes 2

POLYNOME DU SECOND DEGRE
1 Fonctions polynˆomes
D´efinition 1.1 On appelle fonction polynˆome de degr´entoute fonction Pd´efinie sur Rde la
forme :
P(x)=anxn+an−1xn−1+···+apxp+···+a2x2+a1x+a0
•a0,a1, ..., ansont appel´es coefficients de P
•Le terme apxpun le monˆome de degr´ep
•n=deg(P),ledegr´edupolynˆome de P.
•Si tous les coefficients sont nuls, Pest dit fonction ou polynˆome nul.
Exemple 1.1
1. La fonction Pd´efinie par P(x)=7x6−5x4+3x−11 est une fonction polynˆome de degr´e6
2. La fonction affine ax +bavec a=0est une fonction polynˆome de degr´e1
3. La fonction constante kavec k=0est une fonction polynˆome de degr´e0
4. La fonction Qd´efinie par : Q(x)=x3+x+1
xn’est pas une fonction polynˆome.
Th´eor`eme 1.1
Toute fonction polynˆome, f,diff´erente du polynˆome nul, s’´ecrit de mani`ere unique sous la forme :
f(x)=anxn+an−1xn−1+···+apxp+···+a2x2+a1x+a0
avec an=0
Exemple 1.2
La fonction f(x)=(x+1)(x+2) est une fonction polynˆome. Elle peut s’´ecrire f(x)=x2+3x+2.
D´efinition 1.2
On appelle racine d’une fonction polynˆome Ptoute solution x0de l’´equation P(x)=0
Exemple 1.3
1. Les racines de la fonction polynˆome Pd´efinie sur Rpar : P(x)=(x−1)(x+π)(x−√2) sont
1,−πet √2.
2. Les fonctions polynˆomes du 1er degr´eax +badmettent toutes une seule racine x0=−b
a.
3. La fonction polynˆome f(x)=x2+1 n’a aucune racine r´eelle.
2Fonctiontrinˆome du second degr´e
D´efinition 2.1 On appelle fonction polynˆome du second degr´etoute fonction P,d´efinie sur
R, pouvant se ramener `alaforme:P(x)=ax2+bx +co`ua, b et c sont des r´eels avec a=0
L’expression ax2+bx +cest appel´ee trinˆome du second degr´e.
1

Exemple 2.1
1. P(x)=x2−7x+12,ona:a=1,b=−7et c=12.
2. P(x)=4x2,ona:a=4,b=0et c=0.
3. 2x+1,6x3+4x+2 et (x−1)2−x2ne sont pas du second degr´e.
3 Forme canonique du trinˆome
On consid`ere un trinˆome ax2+bx +cavec a=0.
Propri´et´e1Tout trinˆome du second degr´epeuts’´ecrire sous la forme a(x+α)2−β.
Exemple 3.1
Soit le trinˆome : x2−8x+9
Comme : x2−8x=x2−2×4x+4
2−42=(x−4)2−16
On a : x2−8x+9=(x−4)2−16 + 9 = (x−4)2−7
Preuve :Transformation de l’´ecrituredanslecasg´en´eral
Soit le trinˆome : ax2+bx +c,avec(a=0)
Par factorisation de aon a : a(x2+b
ax+c a)
or x2+b
ax=x+b 2a2−b2
4a2
d’o`ua(x2+b
ax+c a)=ax+b 2a2−b2
4a2+c
a=ax+b 2a2−b2
−4ac
4a2
Pour simplifier cette ´ecriture, on pose ∆ = b2−4ac.
On a donc : ax2+bx +c=ax+b
2a2−∆
4a2
D´efinition 3.1
•∆=b2−4ac s’appelle le discriminant du trinˆome ax2+bx +c.
•La forme P(x)=ax+b
2a2−∆ 4a, s’appelle la forme canonique de P(x)
4Repr´esentation graphique et variation
Dans un rep`ere (O; i, j), on consid`ere Cfla courbe repr´esentative de la fonction f : x−→ ax2+bx+c
avec a=0,Pla parabole d’´equation y=x2et Pala parabole d’´equation y=ax2.
Propri´et´e2On obtient Cf`apartirdePapar une translation de vecteur −b
2a
i−∆
4a
j
Th´eor`eme 4.1 La repr´esentation graphique d’une fonction polynˆome du second degr´eestunepa-
rabole.
•Elle est tourn´ee vers le ”haut” si a>0,tourn´ee vers le ”bas” si a<0.
•Son axe de sym´etrie est la droite d’´equation : x=−b
2a
•Le point S−b
2a;−∆ 4aest son sommet.
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Selon la valeur de a, on a donc les tableaux de variations suivants :
Si a>0
x−∞ − b
2a+∞
+∞+∞
f
−∆
4a
Si a<0
x−∞ − b
2a+∞
−∆
4a
f
−∞ −∞
5R´esolution de l’´equation ax2+bx +c=0
R´esoudre ax2+bx +c=0avec(a=0)revient`ar´esoudre l’´equation : ax+b
2a2−∆
4a2=0
qui s’´ecrit encore :
x+b
2a2
=∆
4a2
Cette ´equation n’a de solution que lorsque ∆ est positif ou nul.
Th´eor`eme 5.1 L’´equation ax2+bx +c=0avec (a=0):
1. n’a pas de solution r´eelle lorsque ∆<0;
2. a une seule solution x0=−b
2alorsque ∆=0;
3. a deux solutions : x1=−b+√∆
2aet x2=−b−√∆ 2alorsque ∆>0.
Exemple 5.1
1. 5x2+6x+2=0 n’a pas de solution r´eelle car ∆=−4.
2. x2−4x+4=0 a une unique solution x0=2car ∆=0.
3. −6x2+x+1 adeuxsolutionsx1=1+5
−12 =−1 2;x2=1−5 −12 =1 3car ∆=25.
6 Somme et produit des racines
Th´eor`eme 6.1 Lorsqueletrinˆome ax2+bx +cadmet des racines distinctes ou confondues, leur
somme S et leur produit P sont donn´es par les relations : S=−b
aet P=c a.
Preuve : On distingue les deux cas.
•Racines confondues :x1=x2=−b
2a,doncS=x1+x2=−b a.OnaP=x1×x2=b2
4a2et
∆=0⇔b2=4ac donc P=4ac
4a2=a
c
•Racines distinctes :Ilsuffitdecalculer.
S=x1+x2=−b+√∆
2a+−b−√∆ 2a=−b a
P=x1×x2=−b+√∆
2a×−b−√∆ 2a=c a
Propri´et´e3Deux r´eels ont pour somme Set pour produit Psi et seulement si ils sont solutions
de l’´equation : x2−Sx +P=0
Preuve : Il faut justifier les deux implications de l’´equivalence.
•P=x1×x2=x2
1+x1×x2−x2 1=x1(x1+x2)−x2 1=x1S−x2 1=SoitP−x1S−x2 1=0
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•R´eciproquement, Si x1et x2sont solutions de x2−Sx+P=0,d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent,
x1+x2=S
1=Set x1x2=P 1=P.
7 Factorisation du trinˆome P(x)=ax2+bx +c
Th´eor`eme 7.1
Le trinˆome ax2+bx +cse factorise en produit de facteurs du premier degr´edelamani`ere suivante :
Si ∆>0:ax2+bx +c=a(x−x1)(x−x2)o`ux1et x2sont les racines du trinˆome.
Si ∆=0:ax2+bx +c=a(x−x0)2o`ux0est la racine double du trinˆome.
Th´eor`eme 7.2
•Si ∆=0,onnotex0la racine, on obtient le tableau de signes suivant :
x−∞ x0+∞
(x−x0)2+0+
a(x−x0)2signe de a0signe de a
•Si ∆>0,supposonsquex1<x
2, on obtient le tableau de signes suivant :
x−∞ x1x2+∞
x−x1−0+ |+
x−x2−| − 0+
(x−x1)(x−x2)+0 −0+
a(x−x1)(x−x2)signe de a0signe de (−a)0signe de a
•Si ∆=0, on utilise la forme canonique : ax2+bx +c=ax+b
2a2
−∆
4a2
Comme ∆est n´egatif, lˇ Sexpression entre crochets est positive, le signe de P(x)est donc le
mˆeme que celui de a
Th´eor`eme 7.3 Le trinˆome ax2+bx +cest toujours du signe de asauf entre les racines lorsqu’elles
existent.
Et en particulier, lorsque ∆<0,letrinˆome est de signe constant. (Celui de a)
Exemple 7.1
r´esoudre l’in´equation x2−4x+1≥0.
On a ∆=12>0,x1=2−√3et x2=2+√3.
Comme a=1est positif, le trinˆome est toujours positif sauf entre ses racines.
Les solutions de l’in´equation sont donc les r´eels de l’intervalle ]−∞;2−√3] ∪[2 + √3; +∞[.
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8 Tableau r´ecapitulatif
∆<0∆=0 ∆>0
f(x)admet aucune racine une seule racine deux racines
α=−b
2ax1=−b−√∆ 2aet x1=−b+√∆ 2a
factorisation de f(x)impossible a(x−α)2a(x−x1)(x−x2)
a>0
x
−b
2a
x
−b
2a
x
−b
2a
x1x2
a<0x
−b
2a
x
−b
2a
x
−b
2a
x1x2
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