Compléments sur les polynômes 1 Factorisation 2 Lien entre

Compléments sur les polynômes
1
Factorisation
Propriété
Deux fonctions polynômes sont égales si et seulement si elles ont le
même degré et les mêmes coefficients.
Théorème (Factorisation)
Le nombre a est racine du polynôme f si et seulement si on peut
mettre (x − a) en facteur dans l’expression de f (x).
Alors, on a
f (x) = (x − a)g(x)
Remarque : si deg(f ) = n alors deg(g) = n − 1.
Exemple : f (x) = 4x3 − 3x2 − 5x + 2
On remarque que f (−1) = 0. Donc on peut factoriser f (x) par (x+1).
Comme f est de degré 3, f (x) s’écrit f (x) = (x + 1)(ax2 + bx + c).
Après identication des coefficients, on obtient f (x) = (x + 1)(4x2 −
7x + 2).
Exercice 1
Pour tout x ∈ R, on pose P (x) = −2x3 + 3x2 − 6x + 5.
En remarquant une racine évidente, factoriser P (x) et résoudre
P (x) > 0.
Exercice 2
−2x2 − 9x + 2
Soit f la fonction définie pour tout x 6= −5 par f (x) =
x+5
1. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout x 6= −5,
c
f (x) = ax + b +
.
x+5
2. En déduire que la courbe de f admet une asymptote oblique
en +∞ et en −∞ dont on précisera une équation.
Rappel : La droite (d) d’équation y = mx + p (m 6=
0) est asymptote oblique à la courbe de f en +∞ si
lim f (x) − (mx + p) = 0.
x→+∞
2
Lien entre coefficients et
trinômes du second degré
racines
des
Soit f (x) = ax2 + bx + c, avec a 6= 0. On pose ∆ = b2 − 4ac.
On suppose ici que ∆ > 0, donc f admet deux racines x1 et x2 .
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
c
b
2
a x + x+
= a x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2
a
a
Par identification :

 x1 + x2 = − b
a
 x1 × x2 = c
a
Théorème (Somme et produit des racines)
Si le polynôme ax2 + bx + c a des racines (i.e. ∆ > 0), leur somme est
b
c
− et leur produit est .
a
a
Exercice 3 (Calcul mental)
Pour chaque trinôme f (x), trouver une racine évidente, déterminer
l’autre racine, et en déduire une forme factorisée de f (x).
1. f (x) = x2 − 4x − 5
2. f (x) = 2x2 + 10x − 12
3. f (x) = −x2 + 5x − 6
Remarque
Deux nombres ont pour somme S et pour produit P si et seulement
si ce sont les racines du polynôme x2 − Sx + P .
Exercice 4
Existe-t-il des rectangles dont le périmètre mesure 22 cm et l’aire 24
cm2 ? Lesquels ?