Compléments sur les polynômes 1 Factorisation 2 Lien entre

Compl´ements sur les polynˆomes
1 Factorisation
Propri´et´e
Deux fonctions polynˆomes sont ´egales si et seulement si elles ont le
mˆeme degr´e et les mˆemes coefficients.
Th´eor`eme (Factorisation)
Le nombre aest racine du polynˆome fsi et seulement si on peut
mettre (x−a) en facteur dans l’expression de f(x).
Alors, on a
f(x) = (x−a)g(x)
Remarque : si deg(f) = nalors deg(g) = n−1.
Exemple : f(x) = 4x3−3x2−5x+ 2
On remarque que f(−1) = 0. Donc on peut factoriser f(x) par (x+1).
Comme fest de degr´e 3, f(x) s’´ecrit f(x) = (x+ 1)(ax2+bx +c).
Apr`es identication des coefficients, on obtient f(x) = (x+ 1)(4x2−
7x+ 2).
Exercice 1
Pour tout x∈R, on pose P(x) = −2x3+ 3x2−6x+ 5.
En remarquant une racine ´evidente, factoriser P(x) et r´esoudre
P(x)>0.
Exercice 2
Soit fla fonction d´efinie pour tout x6=−5 par f(x) = −2x2−9x+ 2
x+ 5
1. D´eterminer les r´eels a,bet ctels que pour tout x6=−5,
f(x) = ax +b+c
x+ 5.
2. En d´eduire que la courbe de fadmet une asymptote oblique
en +∞et en −∞ dont on pr´ecisera une ´equation.
Rappel : La droite (d) d’´equation y=mx +p(m6=
0) est asymptote oblique `a la courbe de fen +∞si
lim
x→+∞
f(x)−(mx +p) = 0.
2 Lien entre coefficients et racines des
trinˆomes du second degr´e
Soit f(x) = ax2+bx +c, avec a6= 0. On pose ∆ = b2−4ac.
On suppose ici que ∆ >0, donc fadmet deux racines x1et x2.
ax2+bx +c=a(x−x1)(x−x2)
ax2+b
ax+c a=ax2−(x1+x2)x+x1x2
Par identification :
x1+x2=−b
a
x1×x2=c
a
Th´eor`eme (Somme et produit des racines)
Si le polynˆome ax2+bx +ca des racines (i.e. ∆ >0), leur somme est
−b
aet leur produit est c a.
Exercice 3 (Calcul mental)
Pour chaque trinˆome f(x), trouver une racine ´evidente, d´eterminer
l’autre racine, et en d´eduire une forme factoris´ee de f(x).
1. f(x) = x2−4x−5
2. f(x) = 2x2+ 10x−12
3. f(x) = −x2+ 5x−6
Remarque
Deux nombres ont pour somme Set pour produit Psi et seulement
si ce sont les racines du polynˆome x2−Sx +P.
Exercice 4
Existe-t-il des rectangles dont le p´erim`etre mesure 22 cm et l’aire 24
cm2? Lesquels ?