Harm Maths_ Dérivation - intégration 2007

Harmonisation Mathématiques
Dérivation - Intégration
A. Quidelleur Dérivation - Intégration 1/6
SRC1 Meaux 2006-2007 M21.1
1. Dérivation
1.1. Rappel
Soit une droite D. Soit M1 de coordonnées (x1,y1) et M2 de coordonnées (x2, y2) deux points de D. On appelle
coefficient directeur de la droite D le rapport
21
21
xx
yy
.
1.2. Définition géométrique de la fonction dérivée
Soit f une fonction continue sur R. On note C la courbe représentative de f.
Soit M le point de C d’abscisse x0. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point M est égal au nombre
dérivé de f en x0, noté f’(x0).
1.3. Fonctions de référence
k est un réel, n, p et q des entiers relatifs non nuls.
On admettra les formules suivantes (à connaître).
Ensemble de dérivabilité
Fonction f
Dérivée f’
kx 
0x 
n
xx 
1n
xnx 
 ;00;
x
1
x
2
x
1
x
 ;00;
n
nx
x
1
x
1n
1n
x
1
nxnx 
D
M
1
M
2
x1
x2
y2
y1
y
x
x
0
f(x0)
x0
C
M
Tangente à C au point M
Pente : f’(x0)
f(x)

A. Quidelleur Dérivation - Intégration 2/6
SRC1 Meaux 2006-2007 M21.1
;0
xx 
x2
1
x
;0
q
p
xx 
1
q
p
x
q
p
x
 Exercice
Calculez la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes.
1)
2xf 
2)
xxf 
3)
3
xxf 
4)
3
1
xxf 
5)
2
1
xxf 
1.4. Opérations sur les dérivées
Soient u et v deux fonctions dérivables sur R. k est un réel non nul.
n, p et q sont des entiers naturels non nuls.
On admettra les formules suivantes (à connaître).
'uk'uk 
2
u
'u
'
u
1
1nn u'un'u 
1
q
p
q
p
u'u
q
p
'u
'v'u'vu 
'vuv'u'vu 
2
v
'vuv'u
'
v
u
v'u'v'vu  
 Exercice
Calculez la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes.
6)
52 xx3xf 
7)
3
x5xf 
8)
3x
1
xf 
9)
3
1x2xf 
10)
3
1
1x4xf 
11)
xx3
5x
xf 2
12)
2
x31xxf 
13)
x51xf 
2. Dérivée des fonctions de référence
 La fonction logarithme népérien
La fonction ln est dérivable sur
;0
:
x
1
xln',0x 
.
Soit u une fonction définie et strictement positive sur
;0
. Alors
u
'u
'uln 
.
 La fonction exponentielle
La fonction exponentielle est dérivable sur :
xx e'e,x 
.
Soit u une fonction définie et dérivable sur :
uu e'u'e 
.
 Les fonctions trigonométriques

A. Quidelleur TD Mathématiques pour la Physique 2/6
SRC1 Meaux 2004-2005
La fonction cos est dérivable sur :
xsinxcos',x 
.
La fonction sin dérivable sur :
xcosxsin',x 
.
Soit u une fonction dérivable sur . Alors
usin'u'ucos 
et
ucos'u'usin 
.
 Exercices
14)
'4xln 2
15)
'e 1x3 2
16)
'1x2sin 
17)
'x2cos 
3. Primitives d’une fonction
3.1. Définition
Soit f une fonction définie sur R.
Soit F une fonction définie et dérivable sur R.
F est une primitive de f sur R si et seulement si
xfx'F,Rx 
.
 Exemple
Soient
2
x
2
1
x:F 
et
xx:f 
.
F et f sont définies sur .
F est dérivable sur et
xx2
2
1
x'F,x 12  
.
Soit
xfx'F,x 
.
Donc F est une primitive de f sur .
Si F est une primitive de f sur l’intervalle R, alors les primitives de f sur I sont les fonctions G définies sur I par
kxFxG,Rx 
, où
Rk 
.
 Exemple
Soient
2
x
2
1
x:F 
et
xx:f 
.
On a vu que F est une primitive de f sur .
Soit k un réel.
Soit
kxFkx
2
1
x:G 2
.
G est définie et dérivable sur . De plus,
xfx0x2
2
1
x'G,x 12  
.
G est aussi une primitive de f.
3.2. Primitives usuelles
k est un réel, n, p et q des entiers relatifs non nuls.
u est une fonction admettant des primitives, u’ est sa dérivée. (Attention aux intervalles de définition en pratique).
Fonction f
Une primitive F
n
u'u 
1n
u
1n
1
n
nu'u
u
'u 
(n1)
1n
u
1n
1

A. Quidelleur TD Mathématiques pour la Physique 2/6
SRC1 Meaux 2004-2005
q
p
u'u 
1
q
p
u
1
q
p
1
 Exercice
Calculez une primitive de chacune des fonctions suivantes.
18)
5xf 
19)
2
xxf 
20)
3
26x
x2
xf 
21)
1xxxf 32 
22)
x
2
xf 
23)
x5
exf 
24)
x4cosxf 
25)
x5sinxf 
4. Calcul intégral
4.1. Définition
Soient a et b deux réels.
Soit f une fonction admettant des primitives sur l’intervalle [a;b].
Soit F une primitive de f sur l’intervalle [a;b].
On appelle « intégrale de a à b » de la fonction f, le nombre réel défini par F(b) – F(a).
On note
aFbFdxxf
b
a
ou encore
aFbFf
b
a
.
a est appelée la borne inférieure de l’intégrale, b la borne supérieure.
 Exemple
Soit
2
x3x:f 
.
Calculons
dxxf
5
2
f est continue et admet des primitives sur [2;5].
Une primitive de F sur [2;5] est
3
xx:F 
.
Donc
117252F5Fdxxf 33
5
2
.
 Exercice
Calculez
26)
dxx3
2
5
2
27)
dx4
3
5
28)
dxx
7
6
29)
dx1x2x5
0
1
4
4.2. Interprétation géométrique
Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
dxxf
b
a
est l’aire du domaine de frontières :
 la courbe C
 l’axe des abscisses
 la droite d’équation x=a

A. Quidelleur Dérivation - Intégration 2/6
SRC1 Meaux 2005-2006 H23
 la droite d’équation x=b
Il s’agit d’une aire orientée : elle peut être positive ou négative.
 Exemples
1) Aire positive
2) Aire négative
 Exercice
Calculez géométriquement
30)
dxxf
4
0
où la courbe représentative de f est la suivante :
4.3. Propriétés importantes
a, b, c et k sont des réels.
f est une fonction intégrable sur [a;b], [b;c] et [a;c].
g est une fonction intégrable sur [a;b].
  b
c
c
a
b
afff
  a
b
b
aff
  b
a
b
afkfk
  b
a
b
a
b
agfgf
Si f est paire,
a
0
a
af2f
Si f est impaire,
0f
a
a
 Exercice
Calculez
31)
1
1
42 dxxx
32)
2
2
5dxx
x
f(x)
a
b
Aire =
dxxf
b
a
0
x
f(x)
a
b
Aire =
dxxf
b
a
0
0
1
1
x
f(x)