Harm Maths_ Dérivation - intégration 2007

Harmonisation Mathématiques
Dérivation - Intégration
1. Dérivation
1.1. Rappel
Soit une droite D. Soit M1 de coordonnées (x1,y1) et M2 de coordonnées (x2, y2) deux points de D. On appelle
y  y2
coefficient directeur de la droite D le rapport 1
.
x1  x 2
y
M
D
y2
2
x1
x2
y1
M
1
x
1.2. Définition géométrique de la fonction dérivée
Soit f une fonction continue sur R. On note C la courbe représentative de f.
Soit M le point de C d’abscisse x0. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point M est égal au nombre
dérivé de f en x0, noté f’(x0).
f(x)
C
x0
0
f(x0)
x
M
Tangente à C au point M
Pente : f’(x0)
1.3. Fonctions de référence
k est un réel, n, p et q des entiers relatifs non nuls.
On admettra les formules suivantes (à connaître).
Ensemble de dérivabilité


 ;0  0;
 ;0  0;
A. Quidelleur
SRC1 Meaux 2006-2007
Fonction f
xk
x  xn
1
x
x
1
x  n  x n
x
Dérivée f’
x0
x  n  x n 1
1
x 2
x
x  n  x n 1  n 
Dérivation - Intégration
1
x
n 1
1/6
M21.1
0;
x x
0;

xx
x
1
2 x
p
p
q

p  1
x   x q 
q
Exercice
Calculez la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes.
f x   2
1)
1
4) f x   x 3
2) f x   x
3) f x   x
5) f x   x
3

1
2
1.4. Opérations sur les dérivées
Soient u et v deux fonctions dérivables sur R. k est un réel non nul.
n, p et q sont des entiers naturels non nuls.
On admettra les formules suivantes (à connaître).
k  u '  k  u'
u'
 1
 '   2
u
u
u '  n  u'u
n

 u  u'v  u  v '
 ' 
v2
v
p 
 1 
 p p
 u q  '   u'u  q 
  q
 
u  v  '  v 'u' v 
u  v '  u' v '
n 1
u  v  '  u'v  u  v '
Exercice
Calculez la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes.
6) f x   3  x 2  x 5
9) f x   2x  13
7) f x   5x 3
10) f x   4 x  1 3
8) f x  
1
x3

12) f x   x  1  3  x 2
13) f x   1  5x
1
11) f x  

x 5
3x 2  x
2. Dérivée des fonctions de référence

La fonction logarithme népérien
La fonction ln est dérivable sur 0;  : x  0, ln' x  
1
.
x
Soit u une fonction définie et strictement positive sur 0;  . Alors

lnu  '  u' .
u
La fonction exponentielle
 
La fonction exponentielle est dérivable sur  : x  , e x '  e x .
 
Soit u une fonction définie et dérivable sur  : e u '  u' e u .

Les fonctions trigonométriques
A. Quidelleur
SRC1 Meaux 2006-2007
Dérivation - Intégration
2/6
M21.1
La fonction cos est dérivable sur  : x  , cos' x    sin x  .
La fonction sin dérivable sur  : x  , sin' x   cos x  .
Soit u une fonction dérivable sur  . Alors  cos u  '  u' sin u  et  sin u  '  u' cos u  .

Exercices
14)
ln x

15) e 3 x
2
2
1

4 '
16) sin 2 x  1 '
'
17) cos  2 x  '
3. Primitives d’une fonction
3.1. Définition
Soit f une fonction définie sur R.
Soit F une fonction définie et dérivable sur R.
F est une primitive de f sur R si et seulement si x  R , F' x   f x  .

Exemple
1 2
x et f : x  x .
2
F et f sont définies sur  .
Soient F : x 
1
F est dérivable sur  et x  , F' x    2  x 2 1  x .
2
Soit x  , F' x   f x  .
Donc F est une primitive de f sur  .
Si F est une primitive de f sur l’intervalle R, alors les primitives de f sur I sont les fonctions G définies sur I par
x  R , Gx   Fx   k , où k  R .

Exemple
1 2
x et f : x  x .
2
On a vu que F est une primitive de f sur  .
Soit k un réel.
1
Soit G : x  x 2  k  Fx   k .
2
Soient F : x 
1
G est définie et dérivable sur  . De plus, x  , G' x    2  x 2 1  0  x  f x  .
2
G est aussi une primitive de f.
3.2. Primitives usuelles
k est un réel, n, p et q des entiers relatifs non nuls.
u est une fonction admettant des primitives, u’ est sa dérivée. (Attention aux intervalles de définition en pratique).
Fonction f
u'u n
u'
 u'u n (n1)
un
A. Quidelleur
SRC1 Meaux 2004-2005
Une primitive F
1
u n 1
n 1
1
u  n 1
n 1
TD Mathématiques pour la Physique
2/6
u'u

p
q
1
p
1
q
u
p
1
q
Exercice
Calculez une primitive de chacune des fonctions suivantes.

18) f x   5
19) f x   x 2
20) f x  
x

21) f x   x 2 x 3  1
22) f x  
2x
2
6

24) f x   cos 4 x 
25) f x   sin  5x 
2
x
23) f x   e 5 x
3
4. Calcul intégral
4.1. Définition
Soient a et b deux réels.
Soit f une fonction admettant des primitives sur l’intervalle [a;b].
Soit F une primitive de f sur l’intervalle [a;b].
On appelle « intégrale de a à b » de la fonction f, le nombre réel défini par F(b) – F(a).
On note

b
b
f x dx  Fb  Fa  ou encore f  Fb  Fa  .

a
a
a est appelée la borne inférieure de l’intégrale, b la borne supérieure.

Exemple
Soit f : x  3x 2 .
Calculons
5
 f x dx
2
f est continue et admet des primitives sur [2;5].
Une primitive de F sur [2;5] est F : x  x 3 .
5
 f xdx  F5  F2  5
Donc

3
2
 2 3  117 .
Exercice
Calculez
26)
27)

2

3
5
5
7
3x 2 dx
28)

4 dx
29)
 5x
x dx
6
0
1
4

 2x  1 dx
4.2. Interprétation géométrique
Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
b
 f x  dx est l’aire du domaine de frontières :
a
 la courbe C
 l’axe des abscisses
 la droite d’équation x=a
A. Quidelleur
SRC1 Meaux 2004-2005
TD Mathématiques pour la Physique
2/6
 la droite d’équation x=b
Il s’agit d’une aire orientée : elle peut être positive ou négative.

Exemples
1) Aire positive
Aire =
f(x)
0
a
b
a
b
b
 f x dx
a
x
2) Aire négative
f(x)
0
x
Aire =

Exercice
b
 f x dx
a
Calculez géométriquement
30)
4
 f x dx où la courbe représentative de f est la suivante :
0
f(x)
1
0
x
1
4.3. Propriétés importantes
a, b, c et k sont des réels.
f est une fonction intégrable sur [a;b], [b;c] et [a;c].
g est une fonction intégrable sur [a;b].
b
c
a
a
b
b
  
 f   f
k f  k  f
c
b
a
a
b
b
a

Exercice
b
a
a


Si f est paire, f  2  f
a
b
a
b
af  g   af  ag
f f f
0
a
f  0
Si f est impaire,
a
Calculez
31)
 x
1
1
2

 x 4 dx
A. Quidelleur
SRC1 Meaux 2005-2006
32)

2
x 5 dx
2
Dérivation - Intégration
2/6
H23
33)


34)




sin x dx
cos2x dx
A. Quidelleur
SRC1 Meaux 2005-2006
Excel
2/6
H22